H2 · Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.Competência 1: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Você enxerga a regra que se repete (um bloco de números, uma multiplicação, um jeito de escolher) e usa essa regra para chegar longe ou para contar, sem listar tudo.
Qual é a regra que se repete, e quantas vezes ela acontece?
Como reconhecer no enunciado
- São dois grupos: contagem (14 das 24) e sequências (8). O INEP junta padrão e contagem na mesma habilidade.
- Em 9 das 24 a resposta é uma expressão, não um número: "é dado por", "a expressão numérica que representa", "expressa por meio de combinações".
- Nas de sequência aparecem posições distantes: "o 2 015º item", "o centésimo quadrado", "a 24ª semana".
Uma questão lida com a H2
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) incluir a linha de autopeças em campanha veiculada contra a falsificação, as agências fiscalizadoras divulgaram que os cinco principais produtos de autopeças falsificados são: rolamento, pastilha de freio, caixa de direção, catalisador e amortecedor.
Disponível em: www.oficinabrasil.com.br. Acesso em: 25 ago. 2014 (adaptado).
Após uma grande apreensão, as peças falsas foram cadastradas utilizando-se a codificação:
1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção, 4: catalisador e 5: amortecedor.
Ao final obteve-se a sequência: 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ... que apresenta um padrão de formação que consiste na repetição de um bloco de números. Essa sequência descreve a ordem em que os produtos apreendidos foram cadastrados.
O 2 015º item cadastrado foi um(a)
Lendo com a H2
Não tem fórmula de PA nem de PG. O aluno identifica um padrão numérico (o bloco que se repete) e usa esse padrão para chegar a uma posição distante. É a primeira metade da H2 ao pé da letra.
Resolução completa no padrão RT
Ache o bloco que se repete e conte quantos números ele tem. Depois divida 2 015 por esse tamanho e olhe o resto.
O que a questão quer de verdade: qual código ocupa a posição 2 015 e a que peça ele corresponde.
- Bloco: 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4 (8 números).
- Depois do 4, a sequência volta ao 5 e o bloco recomeça.
Dividir 2 015 por 8 e usar o resto.
A armadilha: incluir o 5 do recomeço e achar que o bloco tem 9 números (5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5). Com 9, o resto de 2 015 é 8, o que leva ao 4, catalisador (alternativa B).
2\,015 = 8 \cdot 251 + 7
O 2 015º termo é o 7º do bloco: 5, 4, 3, 2, 1, 2, **3**, 4. Código 3: caixa de direção.
8 \cdot 251 = 2\,008: o 2 008º termo fecha um bloco (é um 4). Contando 7 a partir do 2 009º: 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3. O 2 015º é 3.
Leve para outras questões: em sequências que se repetem, confira o bloco copiando-o duas vezes seguidas. O primeiro elemento do bloco seguinte não faz parte do bloco.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da profundidade em um rio, sendo L_0 a intensidade na sua superfície.
Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo o mesmo padrão do esquema.
A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a
O esquema mostra três profundidades e pede a sexta. Quem enxerga a multiplicação por 2/3 a cada metro resolve com uma potência. 48% acertaram, a H2 mais fácil da base.
Resolução completa no padrão RT
A cada metro, a intensidade é multiplicada pelo mesmo número. Descubra esse número comparando dois metros seguidos e aplique-o 6 vezes.
O que a questão quer de verdade: a intensidade depois de 6 multiplicações pela mesma razão.
• 0 m: L_0. 1 m: \frac{2}{3}L_0. 2 m: \frac{4}{9}L_0. 3 m: \frac{8}{27}L_0.
• Razão: \frac{2}{3} por metro.
Calcular \left(\frac{2}{3}\right)^6 L_0.
A armadilha: errar o expoente por um. Com expoente 5 sai \frac{32}{243} (alternativa C) e com 7 sai \frac{128}{2\,187} (alternativa E). A profundidade de 6 m corresponde a 6 multiplicações a partir da superfície.
L_6 = \left(\frac{2}{3}\right)^6 L_0 = \frac{2^6}{3^6} L_0 = \frac{64}{729} L_0
Seguindo o esquema: 4 m dá \frac{16}{81}, 5 m dá \frac{32}{243} e 6 m dá \frac{64}{729} ✓.
Leve para outras questões: em padrões que se multiplicam, ache a razão e use o expoente igual ao número de passos. Confira o expoente com um termo conhecido da tabela.
Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
É a segunda metade da H2, princípios de contagem. São três escolhas ao mesmo tempo (algarismos, letras com maiúscula e minúscula, posições). Só 14% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
Três decisões: quais caracteres (10 opções por algarismo, 52 por letra, contando maiúsculas e minúsculas) e em que posições ficam as duas letras e os dois algarismos.
O que a questão quer de verdade: quantas senhas de 2 algarismos e 2 letras existem, contando as escolhas de caracteres e as posições.
- 4 posições: 2 algarismos e 2 letras, em qualquer ordem.
- Algarismos: 10 opções cada. Letras: 52 opções cada.
Multiplicar as escolhas dos caracteres pelo número de arranjos dos tipos (LLDD, LDLD, ...).
A armadilha: esquecer as posições e ficar com 10^2 \cdot 52^2 (alternativa B), como se as letras tivessem lugar fixo. Usar 26 em vez de 52 (alternativa D) esquece que maiúscula e minúscula são diferentes.
\text{caracteres: } 10 \cdot 10 \cdot 52 \cdot 52 = 10^2 \cdot 52^2
\text{posições dos tipos: } \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \quad (\text{LLDD, LDLD, LDDL, DLLD, DLDL, DDLL})
\text{total} = 10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}
As 6 disposições listadas conferem com \tfrac{24}{4} = 6 ✓.
Leve para outras questões: quando os tipos de caractere podem trocar de lugar, multiplique também pelo número de arranjos dos tipos.
Contar o bloco ou o expoente com um a mais ou a menos. Na 2019 Q155 quem põe o 5 do recomeço dentro do bloco marca catalisador (B). Na 2023 Q169 quem erra o expoente por um marca C ou E.
Onde a H2 mora no Banco
Todas as questões de H2, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2013 | Q165 | Análise combinatória (coloração com simetria) | Difícil | – | 34% |
| 2017 | Q143 | Análise combinatória (combinação com repetição) | Difícil | – | 11% |
| 2023 | Q169 | Progressão geométrica | Fácil–média | 601 | 49% |
| 2020 | Q155 | Progressão geométrica | Média | 674 | 28% |
| 2023 | Q176 | Sequências (números figurados) | Média | 674 | 35% |
| 2024 | Q142 | Progressão geométrica e potências | Média | 710 | 22% |
| 2018 | Q162 | Sequências (progressão geométrica e contagem) | Fácil–média | 712 | 28% |
| 2021 | Q136 | Potências e equação do 2º grau (número de ouro) | Média | 726 | 35% |
| 2021 | Q179 | Análise combinatória (combinações) | Média | 743 | 22% |
| 2019 | Q155 | Sequências periódicas | Média | 770 | 28% |
| 2013 | Q138 | Princípio fundamental da contagem (senhas) | Média | 776 | 26% |
| 2022 | Q155 | Combinação simples | Média | 781 | 31% |
| 2020 | Q163 | Análise combinatória (anagramas com restrição) | Média | 782 | 20% |
| 2025 | Q180 | Sequências e expressões algébricas | Fácil | 795 | 18% |
| 2019 | Q171 | Análise combinatória (permutação com repetição) | Média–difícil | 796 | 19% |
| 2025 | Q155 | Princípio fundamental da contagem | Média | 796 | 26% |
| 2016 | Q147 | Análise combinatória (combinações com restrição) | Média | 814 | 20% |
| 2024 | Q180 | Análise combinatória: combinações | Média–difícil | 814 | 15% |
| 2022 | Q159 | Sequências periódicas (resto da divisão) | Média | 830 | 22% |
| 2016 | Q168 | Análise combinatória (permutação com repetição) | Média–difícil | 836 | 14% |
| 2018 | Q165 | Análise combinatória (combinação e princípio multiplicativo) | Difícil | 886 | 26% |
| 2015 | Q164 | Análise combinatória (arranjo) | Média | 914 | 21% |
| 2014 | Q146 | Divisores e fatoração em primos | Média–difícil | 989 | 17% |
| 2014 | Q163 | Análise combinatória (princípio multiplicativo e permutações) | Média–difícil | 1228 | 19% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Dê a 2019 Q155 e peça só o bloco que se repete, escrito duas vezes seguidas (2 min). Compare os blocos da turma: quem pôs 9 números? (3 min). Depois a 2016 Q168: peça a lista das decisões que a pessoa toma antes de qualquer conta (5 min). Regra para levar: padrão primeiro, conta depois.