Questão 180 — ENEM 2024

Análise combinatória: combinações Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

(A)

\dfrac{7!}{4!} \times \dfrac{6!}{4!}

(B)

\dfrac{7!}{3! \times 4!} \times \dfrac{6!}{2! \times 4!}

(C)

\dfrac{7!}{3! \times 4!} + \dfrac{6!}{2! \times 4!} + \dfrac{5!}{1! \times 4!}

(D)

\left(\dfrac{7!}{3! \times 4!} + \dfrac{6!}{2! \times 4!}\right) \times \left(\dfrac{7!}{4! \times 3!} + \dfrac{6!}{1! \times 5!}\right) \times \left(\dfrac{7!}{5! \times 2!} + \dfrac{6!}{0! \times 6!}\right)

(E)

\left(\dfrac{7!}{3! \times 4!} \times \dfrac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\dfrac{7!}{4! \times 3!} \times \dfrac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\dfrac{7!}{5! \times 2!} \times \dfrac{6!}{0! \times 6!}\right)

Resolução

O que você precisa saber

Escolher p pessoas de um grupo de n, sem importar a ordem, é a combinação n! ÷ (p! × (n − p)!).
Escolhas feitas juntas (cardiologistas E neurologistas) se multiplicam.
Casos que não acontecem ao mesmo tempo (3, 4 ou 5 cardiologistas) se somam.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: contar as equipes de 5 médicos com 3, 4 ou 5 cardiologistas.

ESTRUTURAR

3 cardiologistas e 2 neurologistas.
4 cardiologistas e 1 neurologista.
5 cardiologistas e nenhum neurologista.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Em cada caso, multiplicar as combinações de cardiologistas e de neurologistas. Depois somar os três casos.

A armadilha: trocar as operações e somar dentro do caso e multiplicar entre os casos (alternativa D). Dentro de um caso as escolhas acontecem juntas (multiplica); entre os casos, ou é um ou é outro (soma).

CALCULAR

\underbrace{C_7^3 \cdot C_6^2}_{3\text{ cardio}} + \underbrace{C_7^4 \cdot C_6^1}_{4\text{ cardio}} + \underbrace{C_7^5 \cdot C_6^0}_{5\text{ cardio}}= 35 \cdot 15 + 35 \cdot 6 + 21 \cdot 1 = 525 + 210 + 21 = 756

CONFERIR

Escrevendo cada combinação com fatoriais, C_7^3 = \dfrac{7!}{3! \times 4!}, C_6^2 = \dfrac{6!}{2! \times 4!} e assim por diante. Isso dá exatamente a expressão com três produtos somados ✓.

Resposta

A soma dos três produtos: 3, 4 ou 5 cardiologistas, cada um multiplicado pelos neurologistas que completam a equipe.

Alternativa correta E

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H2 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Em palavras de salaVocê enxerga a regra que se repete (um bloco de números, uma multiplicação, um jeito de escolher) e usa essa regra para chegar longe ou para contar, sem listar tudo.

Por que é H2

É uma contagem de equipes com a condição de pelo menos 3 cardiologistas. Identificar princípios de contagem é a H2.

A H2 nesta questão

São três casos: 3 cardio e 2 neuro, 4 e 1, 5 e 0. Em cada caso multiplica as combinações. Depois soma os três casos, que é a alternativa E.

O que muda na hora de resolver

A H2 pede para reconhecer o princípio certo em cada parte. Dentro do caso, as escolhas acontecem juntas e multiplicam. Entre os casos, é um ou outro, e soma. Só 15% acertaram.

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