DOSSIÊ 900+ · ENEM 2024

Hospital / cardiologistas

150 de 588 pelo b do Inep 814 b do Inep
GABARITOE PARÂMETRO Bb 814 (Inep) · #150 CAUSA DOMINANTEOrganização por casos

Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.

QUESTÃO OFICIAL

ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.

ENEM 2024 Caderno 7 · Azul Q180

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

A
7!4! · 3! · 6!4!
B
7!3! · 4! · 6!2! · 4!
C
7!3! · 4! + 6!2! · 4! + 5!1! · 4!
D
(7!3! · 4! + 6!2! · 4!) · (7!4! · 3! + 6!1! · 5!) · (7!5! · 2! + 6!0! · 6!)
E
(7!3! · 4! · 6!2! · 4!) + (7!4! · 3! · 6!1! · 5!) + (7!5! · 2! · 6!0! · 6!)

Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.

DADOS DO INEP · ENEM 2024 · Q180

Acerto geral
15%
de 747 mil no caderno azul
Quem tira 700
14%
acerta
Quem tira 800
53%
acerta
Parâmetro b
814
valor do Inep

#150 de 588. Microdados do ENEM 2024 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.

APOIO VISUAL

“PELO MENOS 3” SIGNIFICA 3 CASOS.

Dentro de cada composição da equipe, as escolhas de cardiologistas e neurologistas são multiplicadas. Como os três casos são distintos, os resultados são somados.

Três casos: 3 cardiologistas e 2 neurologistas, 4 e 1, 5 e 0; contagens 525, 210 e 21, total 756.
Apoio didático · ENEM 2024 · Caderno 7 Azul · Q180. Toque ou clique para ampliar.

MAPA DA QUESTÃO

ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.

O QUE PARECE DIFÍCIL Uma alternativa cheia de fatoriais

A quantidade de símbolos esconde uma decisão simples de organização.

O QUE REALMENTE DECIDE Separar 3 casos

3C+2N, 4C+1N e 5C+0N. Nada além disso é permitido.

ONDE SE PERDE A QUESTÃO Somar e multiplicar no lugar errado

Escolhas dentro do mesmo caso multiplicam; casos diferentes somam.

IDENTIFICAÇÃO

A QUESTÃO EM UMA LINHA

Caderno
Caderno 7 · Azul
Questão
180
Gabarito
E
Conteúdo
Análise combinatória
Subconteúdo
Combinação simples · princípio aditivo · casos disjuntos

DIFICULDADE

ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA

PARÂMETRO Bb 814 (Inep) · #150#150 de 588
CAUSA DOMINANTEOrganização por casos

Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.

Também pesa: “Pelo menos” · combinação · soma e produto

POR QUE É DIFÍCIL?

A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA

  • O enunciado não pede diretamente o número de equipes; pede a expressão que representa a contagem, então é preciso ler os fatoriais estruturalmente.
  • “Pelo menos 3 cardiologistas” não significa exatamente 3. Existem três composições possíveis da equipe de cinco médicos.
  • É necessário combinar corretamente os princípios multiplicativo e aditivo: as escolhas de especialidades dentro de um caso ocorrem juntas; os casos são alternativas disjuntas.

ANTES DA CONTA

Liste primeiro as composições possíveis da equipe: 3C+2N, 4C+1N e 5C+0N. Só depois traduza cada caso para combinações.

3 + 2
CASO 1 3C e 2N

mínimo permitido

4 + 1
CASO 2 4C e 1N

também atende

5 + 0
CASO 3 5C e 0N

também atende

A palavra “pelo menos” deve acionar imediatamente uma lista de casos. Depois, use produto dentro de cada caso e soma entre os casos. Como o item pede a expressão, a resposta final é a alternativa E; 756 serve apenas como conferência.

DICAS PROGRESSIVAS

ABRA SÓ O QUE PRECISAR

DICA 01

Se a equipe tem 5 médicos e pelo menos 3 são cardiologistas, quais quantidades de cardiologistas são possíveis?

DICA 02

No caso 3C+2N, escolha 3 entre 7 cardiologistas e 2 entre 6 neurologistas. Essas escolhas são somadas ou multiplicadas?

DICA 03

Depois de calcular cada composição, os três casos podem acontecer ao mesmo tempo ou são alternativas diferentes?

RESOLUÇÃO PADRÃO OURO

RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Organize o raciocínio antes da conta.

  1. INTERPRETAR
    “Pelo menos 3 cardiologistas” permite 3, 4 ou 5 cardiologistas na equipe.
  2. ESTRUTURAR
    Os casos são: 3C+2N, 4C+1N e 5C+0N.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA
    Em cada caso, escolha cardiologistas e neurologistas por combinação e multiplique. Depois some os três casos, porque são disjuntos.
  4. CALCULAR
    A questão pede a expressão numérica, não apenas seu valor. A expressão correta é C(7,3)·C(6,2) + C(7,4)·C(6,1) + C(7,5)·C(6,0), que corresponde à alternativa E. Como conferência, seu valor é 35·15 + 35·6 + 21·1 = 756.
  5. CONFERIR
    As únicas quantidades possíveis de cardiologistas são 3, 4 e 5; nenhum caso foi omitido nem contado duas vezes. Resposta pedida pela questão: alternativa E. 756 é apenas o valor numérico dessa expressão.

SEGUNDO CAMINHO

SEGUNDO CAMINHO

Conte todas as equipes de cinco médicos e retire as que têm 0, 1 ou 2 cardiologistas. Funciona, mas gera mais termos. Para prova, listar diretamente 3, 4 e 5 cardiologistas é mais curto e mais seguro.

NA PROVA EU FARIA ASSIM

Eu escreveria apenas 3+2 | 4+1 | 5+0. Isso praticamente entrega a estrutura da alternativa E antes de calcular qualquer fatorial. Não é necessário chegar a 756 para responder.

VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.

Usar apenas C(7,3)·C(6,2), como se “pelo menos 3” significasse “exatamente 3”.

DISTRATOR PRINCIPAL

DISTRATOR PRINCIPAL

A alternativa B representa somente o primeiro caso, 3 cardiologistas e 2 neurologistas.

COMO RECONHECER UMA PARECIDA?

RECONHEÇA A ESTRUTURA

Sempre que aparecer “pelo menos”, “no máximo” ou “ao menos”, traduza a condição em uma lista explícita de casos antes de contar.

APRENDIZADO TRANSFERÍVEL

O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

Produto responde a “e”; soma responde a “ou”. Essa tradução resolve grande parte das questões de combinatória com casos.

ESTRATÉGIA DE TEMPOMeta de prova: 2–3 minutos. Não desenvolva fatoriais de início: encontre a estrutura da alternativa primeiro.