DOSSIÊ 900+ · ENEM 2025
Herói / mediatriz
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.
Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2025 · Q153
- Acerto geral
- 20% de 793 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 25% acerta
- Quem tira 800
- 57% acerta
- Parâmetro b
- 816 valor do Inep
#146 de 588. Microdados do ENEM 2025 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
EQUIDISTANTE DOS VILÕES = MEDIATRIZ.
O contexto do jogo esconde um lugar geométrico clássico. Depois que você reconhece a mediatriz, a questão vira uma reta.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
O desenho chama atenção para o quadrado, mas a condição decisiva está na palavra equidistante.
Todo ponto equidistante de T e V pertence à mediatriz do segmento TV.
A trajetória não passa pelos vilões; ela é perpendicular a TV e passa pelo seu ponto médio.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 153
- Gabarito
- A
- Conteúdo
- Geometria analítica · Mediatriz
- Subconteúdo
- Lugar geométrico · equação da reta · coeficiente angular
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Leitura do plano · mediatriz · equação da reta
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- O enunciado veste uma propriedade geométrica simples com um contexto de programação e movimento, exigindo que o aluno transforme uma regra do jogo em lugar geométrico.
- A figura traz um quadrado inclinado. Isso pode induzir a tentar trabalhar com lados e diagonais sem perceber que basta estudar o segmento que une os dois vilões.
- Mesmo reconhecendo a mediatriz, ainda é preciso obter ponto médio + coeficiente angular perpendicular e então escrever a equação da reta sem errar sinais.
ANTES DA CONTA
Pare na palavra equidistante. O conjunto de pontos que têm a mesma distância de T e V é a mediatriz de TV. A partir daí, você só precisa encontrar o ponto médio de TV e a inclinação perpendicular.
o segmento TV é a referência geométrica
a mediatriz passa obrigatoriamente por M
é o oposto do inverso de 1/3
Antes de procurar a equação, traduza “equidistante de dois pontos” em “mediatriz”.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
A trajetória segura é o conjunto de pontos cuja distância até T é igual à distância até V. Qual é o nome desse lugar geométrico?
DICA 02
Pela geometria do quadrado, T = (2,4) e V = (8,6). O ponto médio é M = (5,5).
DICA 03
A reta TV tem coeficiente angular 1/3. Uma reta perpendicular a ela tem coeficiente −3. Use M = (5,5).
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
A CONTA COMEÇA DEPOIS DE RECONHECER A MEDIATRIZ
A parte mais importante não é montar a equação da reta; é descobrir qual reta o contexto está descrevendo.
- INTERPRETARPara não ser atacado, o herói deve permanecer à mesma distância dos dois vilões. Portanto, sua trajetória deve ser formada por pontos equidistantes de T e V.
- ESTRUTURARO lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento que os une. Pela figura, T = (2,4) e V = (8,6).
- ESCOLHER ESTRATÉGIAEncontre o ponto médio de TV e o coeficiente angular de TV. A mediatriz passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento.
- CALCULARO ponto médio é M = ((2+8)/2, (4+6)/2) = (5,5). A inclinação de TV é (6−4)/(8−2) = 1/3; logo a mediatriz tem inclinação −3. Então y − 5 = −3(x − 5), isto é, y = −3x + 20.
- CONFERIRA reta é decrescente, como a diagonal segura mostrada no quadrado. Além disso, o ponto inicial S = (6,2) satisfaz a equação: 2 = −18 + 20. Alternativa A.
SEGUNDO CAMINHO
ATALHO PELA DIAGONAL DO QUADRADO
Como o quadrado tem os vilões em vértices opostos T e V, a diagonal SU é a mediatriz de TV. Você pode usar diretamente dois pontos dessa diagonal. Como S = (6,2) e U = (4,8), seu coeficiente é (8−2)/(4−6) = −3. Usando S: 2 = −3·6 + b, então b = 20. Logo y = −3x + 20.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu circularia “equidistante dos vilões” e escreveria ao lado: mediatriz.
2. Veria que a trajetória é a diagonal SU, claramente decrescente. Isso já elimina D e E.
3. Testaria o ponto S = (6,2) nas alternativas restantes. Só y = −3x + 20 funciona. Alternativa A.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro clássico é encontrar o segmento TV e usar sua própria equação como trajetória. Mas os pontos de TV não são equidistantes de T e V. A trajetória correta é a mediatriz: perpendicular a TV e passando pelo ponto médio.
DISTRATOR PRINCIPAL
PERPENDICULAR NÃO É “MESMA INCLINAÇÃO”
As alternativas com coeficiente +3 capturam quem percebe a magnitude da inclinação, mas esquece que uma reta perpendicular a TV deve ter sinal oposto. Já os diferentes termos independentes distinguem quem encontra a inclinação, mas não usa corretamente um ponto da trajetória.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
EQUIDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS → MEDIATRIZ
Sempre que aparecer “mesma distância de A e B”, “equidistante de dois pontos” ou uma divisão do plano em regiões de proximidade, pense imediatamente em mediatriz. É uma tradução semântica que economiza muita conta.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
A ideia reaparece em localização de antenas, postos de atendimento, fronteiras de influência, problemas de Voronoi e geometria analítica. Primeiro identifique o lugar geométrico; só depois escolha coordenadas e equações.