Geometria analítica: mediatriz e equação da retaMédia
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.
Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
(A)
y=-3x+20
(B)
y=-3x+16
(C)
y=-3x-20
(D)
y=3x+16
(E)
y=3x-16
Pista
Os pontos que ficam à mesma distância de V e de T formam uma reta especial. Num quadrado, ela passa por dois vértices. Quais?
Resolução
O que você precisa saber
Mediatriz de um segmento é a reta dos pontos que ficam à mesma distância das duas pontas. Ela corta o segmento no meio, em ângulo reto.
Num quadrado, as diagonais se cortam no meio e são perpendiculares.
Retas perpendiculares têm coeficientes angulares que multiplicados dão −1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a reta onde o herói fica sempre à mesma distância dos dois vilões, T e V.
Equidistante de T e de V é a definição de mediatriz do segmento TV. Como T e V são vértices opostos do quadrado, TV é uma diagonal.
ESTRUTURAR
Num quadrado, a mediatriz de uma diagonal é a outra diagonal. Então a trajetória é a reta SU, e o herói já começa nela, em S.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar T a partir de S e V, e então escrever a mediatriz de TV: ela passa pelo ponto médio de TV e é perpendicular a TV.
A armadilha: escrever a reta do lado SV ou da diagonal TV. A trajetória não liga os vilões; ela os separa ao meio.
CALCULAR
Lado SV: \vec{SV} = (8-6;\,6-2) = (2;\,4). Girando 90°: (-4;\,2). Então T = S + (-4;\,2) = (2;\,4).
A mediatriz tem coeficiente -3, porque \tfrac{1}{3} \cdot (-3) = -1:
y - 5 = -3(x - 5) \;\Rightarrow\; y = -3x + 20
CONFERIR
S(6; 2): -18 + 20 = 2 ✓, o herói já está na trajetória. U = V + (−4; 2) = (4; 8): -12 + 20 = 8 ✓, a reta é mesmo a diagonal SU. E S está à mesma distância dos vilões: ST = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} e SV = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} ✓.
Resposta
y = -3x + 20
Alternativa corretaA
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H22 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Em palavras de salaUma conclusão para tirar (classificação de desempenho, medida preventiva, saque válido ou não) e uma fórmula ou figura que sustenta essa conclusão. Você faz a conta e usa o resultado como argumento.
Por que é H22
A trajetória sem ataque é o conjunto de pontos à mesma distância dos dois vilões, e isso se prova com álgebra e geometria (mediatriz). Usar esses conhecimentos para sustentar a resposta é a H22.
A H22 nesta questão
A conclusão vem da mediatriz de TV. Ela passa pelo ponto médio de TV e é perpendicular a TV, o que dá y = −3x + 20. O ponto S(6; 2) está nela.
O que muda na hora de resolver
A H22 pede a conta que sustenta a conclusão. Trocar "equidistante" por "mediatriz" é o passo que decide, e quem escreve a reta TV liga os vilões em vez de separá-los.
