Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: C_1 (de raio 3 e centro O_1) e C_2 (de raio 1 e centro O_2), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q.
Nessas condições, a equação da reta t é
Pela figura, C_1 encosta no eixo y: O_1 = (3; 0) e O_2 = (7; 0). Os raios até P e Q são perpendiculares a t; use semelhança de triângulos com o ponto R.
O que a questão quer de verdade: o ponto R e o ângulo que t faz com o eixo x.
• O_1 = (3; 0), raio 3.
• O_2 = (7; 0), raio 1.
• R no eixo x, à distância d de O_2.
Achar R por semelhança e o ângulo pelo seno. Veja a figura de apoio.
A armadilha: tomar o ângulo de 60° em vez de 30° e chegar à inclinação -\sqrt{3} (alternativa A).
Distância de O_2 = (7; 0) à reta \sqrt{3}x + 3y - 9\sqrt{3} = 0: \frac{|7\sqrt{3} - 9\sqrt{3}|}{\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 ✓. A posição O_1 = (3; 0) vem da figura, em que C_1 encosta no eixo y.
A reta t é y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3\sqrt{3}.
