No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x^2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a
Fuvest · 2016
Questão 6 — Fuvest 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O raio é a distância do centro a cada reta tangente. Distância de (a, b) a x = 0 é a; a y = x é \frac{|a - b|}{\sqrt{2}}.
Resolução
O que você precisa saber
- Distância de (x₀, y₀) à reta px + qy + c = 0: |px₀ + qy₀ + c| ÷ √(p² + q²).
- Círculo tangente a duas retas: distâncias do centro às retas são iguais ao raio.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: igualar as duas distâncias com b = a^2.
ESTRUTURAR
a = \frac{|a - a^2|}{\sqrt{2}}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver |a^2 - a| = a\sqrt{2} com a > 0 e depois calcular b = a^2.
A armadilha: marcar o valor de a como resposta, em vez de b.
CALCULAR
Dividindo por a > 0: |a - 1| = \sqrt{2}.
a = 1 + \sqrt{2} (a outra raiz, 1 - \sqrt{2}, é negativa).
b = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2b = 3 + 2\sqrt{2}CONFERIR
a - b = (1 + \sqrt{2})(1 - 1 - \sqrt{2}) = -\sqrt{2}(1 + \sqrt{2}), e \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2} = a. Alternativa B, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
3 + 2\sqrt{2}.
Alternativa correta
B