Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação x^2 + y^2 - 2x - 6y + 2 = 0. É correto afirmar que F
Fuvest · 2020
Questão 22 — Fuvest 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Equidistante dos eixos: |y| = |x|, ou seja, y = x ou y = -x. Substitua cada reta na equação.
Resolução
O que você precisa saber
- Distância de (x, y) ao eixo OX: |y|; ao eixo OY: |x|.
- Interseção de reta e circunferência: equação do 2º grau.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os pontos da circunferência que estão nas bissetrizes y = x e y = -x.
ESTRUTURAR
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 8ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver as duas interseções separadamente.
A armadilha: esquecer a reta y = -x, ou contar duas vezes o ponto de tangência.
CALCULAR
y = x: 2x^2 - 8x + 2 = 0, ou seja, x^2 - 4x + 1 = 0, x = 2 \pm \sqrt{3}. Os dois valores são positivos: 2 pontos no primeiro quadrante.
y = -x: 2x^2 + 4x + 2 = 0, ou seja, (x + 1)^2 = 0, x = -1. Um ponto, (-1, 1), no segundo quadrante (a reta é tangente).
Total: 3 pontos.
CONFERIR
(-1, 1): 1 + 1 + 2 - 6 + 2 = 0. O centro (1, 3) está a \frac{|1 + 3|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} da reta y = -x, igual ao raio: tangência. Alternativa D, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
Tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
Alternativa correta
D