H22 · Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação
Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.Competência 5: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Uma conclusão para tirar (classificação de desempenho, medida preventiva, saque válido ou não) e uma fórmula ou figura que sustenta essa conclusão. Você faz a conta e usa o resultado como argumento.
Qual conta algébrica ou geométrica sustenta a conclusão, e eu respondi o que foi perguntado?
Como reconhecer no enunciado
- É a segunda habilidade mais difícil da matriz na mediana da TRI.
- Em 12 das 17 o enunciado pede maior, menor, máximo, mínimo ou uma escolha.
- Funções é o conteúdo de 8 das 17, muitas com vértice de parábola ou logaritmo. Geometria analítica vem em seguida (4).
Uma questão lida com a H22
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105, em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30.
Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário V_0 arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real.
• Ótimo: V_0 \ge 24
• Bom: 20 \le V_0 < 24
• Normal: 10 \le V_0 < 20
• Ruim: 4 \le V_0 < 10
• Péssimo: V_0 < 4
No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?
Lendo com a H22
A empresa classifica o mês com base no menor montante, e a única prova disso é a parábola. Usar a álgebra como argumento para uma conclusão é a H22. Só 11% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
A parábola tem concavidade para cima, então o menor valor está no vértice. Ache o dia do vértice com x_v = -\frac{b}{2a} e calcule V nesse dia.
O que a questão quer de verdade: o menor valor de V(x) para x entre 1 e 30 e a faixa em que ele cai.
• a = \frac{1}{4}, b = -10, c = 105.
• O vértice precisa estar entre os dias 1 e 30 para ser o mínimo do mês.
Calcular o x do vértice e o valor de V nele.
A armadilha: tomar o dia do vértice (20) como se fosse o valor mínimo e marcar "Bom" (alternativa B). Outra é testar só os extremos, dia 1 e dia 30, que dão valores altos e levam a "Ótimo".
x_v = -\frac{-10}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20
V(20) = \frac{20^2}{4} - 10 \cdot 20 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5
Como 4 \le 5 < 10, o desempenho é Ruim.
Dias vizinhos dão valores maiores: V(19) = 90{,}25 - 190 + 105 = 5{,}25 e V(21) = 5{,}25 ✓. O dia 20 está dentro do mês.
Leve para outras questões: em máximo ou mínimo de parábola, o x do vértice responde "quando" e o y do vértice responde "quanto". Leia qual dos dois a questão pede.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Uma pessoa pretende viajar por uma companhia aérea que despacha gratuitamente uma mala com até 10 kg.
Em duas viagens que realizou, essa pessoa utilizou a mesma mala e conseguiu 10 kg com as seguintes combinações de itens:
Para ter certeza de que sua bagagem terá massa de 10 kg, ela decide levar essa mala com duas calças, um sapato e o máximo de camisetas, admitindo que itens do mesmo tipo têm a mesma massa.
Qual a quantidade máxima de camisetas que essa pessoa poderá levar?
Duas viagens com 10 kg cada e a pergunta é quantas camisetas cabem. O argumento é uma combinação das duas equações, sem descobrir a massa de nada. 48% acertaram, a H22 mais fácil.
Resolução completa no padrão RT
Não precisa achar a massa de cada item. Tente combinar as duas equações para sobrar exatamente "2 calças + 1 sapato".
O que a questão quer de verdade: um número n tal que n camisetas + 2 calças + 1 sapato = 10 kg, obtido das duas viagens.
Com c, p e s as massas de camiseta, calça e sapato:
12c + 4p + 3s = 10
18c + 3p + 2s = 10
Procurar a e b com a(12c + 4p + 3s) + b(18c + 3p + 2s) tendo 2p e 1s.
A armadilha: tentar descobrir a massa de cada item, o que é impossível com duas equações, ou "chutar" uma proporção entre as viagens. A combinação certa é o dobro da viagem II menos a viagem I.
4a + 3b = 2 \quad \text{e} \quad 3a + 2b = 1 \Rightarrow a = -1,\ b = 2
2(18c + 3p + 2s) - (12c + 4p + 3s) = 2 \cdot 10 - 10
24c + 2p + s = 10
Confira os coeficientes: 36 - 12 = 24 camisetas, 6 - 4 = 2 calças e 4 - 3 = 1 sapato, e a massa 20 - 10 = 10 kg.
Leve para outras questões: quando o sistema tem mais incógnitas que equações, a pergunta costuma pedir uma combinação. Busque multiplicadores em vez de valores individuais.
A exposição a alguns níveis sonoros pode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas medidas preventivas de acordo com a máquina que o funcionário opera e o nível N de intensidade do som, medido em decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo N = \log_{10} I^{10} - \log_{10} I_0^{10}, I a intensidade do som e I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2.
Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).
Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48 dB ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.
Uma nova máquina, com I = 8 \times 10^{-8}\ \text{W/m}^2, foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz.
Considere 0,3 como aproximação para \log_{10} 2.
O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva
A fórmula de logaritmo define o nível do som, e o nível define a medida preventiva. O aluno precisa da conta para sustentar a escolha. Só 19% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
O expoente 10 desce para a frente do logaritmo, e a diferença de logaritmos vira o logaritmo de uma divisão. Assim, N = 10 \cdot \log_{10} \frac{I}{I_0}. Escreva 8 como 2^3.
O que a questão quer de verdade: calcular N para a nova máquina e ver em qual faixa ele cai.
• I = 8 \times 10^{-8} e I_0 = 10^{-12}, ambos em watt por metro quadrado.
• \log_{10} 2 \approx 0{,}3.
• Faixas: até 48 dB (I), de 48 a 55 dB (II), de 55 a 80 dB (III), de 80 a 115 dB (IV), acima de 115 dB (V).
Simplificar a fórmula, calcular \frac{I}{I_0}, aplicar o logaritmo e multiplicar por 10.
A armadilha: esquecer o expoente 10 e calcular só \log_{10} \frac{I}{I_0} = 4{,}9. Esse valor cai na faixa de som baixo e leva à medida I (alternativa A).
N = 10\log_{10} I - 10\log_{10} I_0 = 10 \cdot \log_{10} \frac{I}{I_0}
\frac{I}{I_0} = \frac{8 \times 10^{-8}}{10^{-12}} = 8 \times 10^{4}
\log_{10}(8 \times 10^4) = 3 \cdot 0{,}3 + 4 = 4{,}9
N = 10 \cdot 4{,}9 = 49 \text{ dB}
Como 48 < 49 < 55, a medida é a II.
Uma intensidade só um pouco abaixo de 10^{-7} daria um pouco menos de 50 dB, e 49 dB fica nessa região ✓.
Leve para outras questões: diante de uma fórmula com logaritmos, simplifique antes de trocar números. Expoentes descem e diferenças viram divisões, o que deixa a conta quase mental.
Usar o número errado como argumento. Na 2023 Q170 quem toma o dia do mínimo (20) como se fosse o valor mínimo marca "Bom" (B). Na 2023 Q152 quem esquece o expoente 10 da fórmula chega a 4,9 e marca a medida I (A).
Onde a H22 mora no Banco
Todas as questões de H22, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2017 | Q162 | Funções (hipérbole e função recíproca) | Média–difícil | – | 13% |
| 2025 | Q172 | Função logarítmica e função quadrática | Difícil | – | 12% |
| 2021 | Q164 | Sistema linear (combinação de equações) | Difícil | 601 | 48% |
| 2013 | Q175 | Geometria analítica (ponto equidistante de três pontos) | Média | 651 | 31% |
| 2020 | Q150 | Função exponencial (meia-vida) | Média | 731 | 27% |
| 2017 | Q171 | Circunferência (comprimento e velocidade) | Média | 766 | 29% |
| 2015 | Q165 | Área de setor circular e inequação | Média | 811 | 24% |
| 2025 | Q153 | Geometria analítica: mediatriz e equação da reta | Média | 816 | 20% |
| 2016 | Q166 | Geometria analítica (distância e comprimento de semicircunferência) | Média–difícil | 843 | 28% |
| 2023 | Q170 | Função quadrática (valor mínimo) | Média | 846 | 11% |
| 2024 | Q171 | Áreas de polígonos regulares com mesmo perímetro | Média–difícil | 872 | 16% |
| 2018 | Q138 | Equação da circunferência e da reta | Média–difícil | 882 | 18% |
| 2023 | Q152 | Logaritmos | Média–difícil | 889 | 20% |
| 2024 | Q146 | Função quadrática: máximo e mínimo | Média–difícil | 902 | 18% |
| 2022 | Q150 | Função quadrática (valor máximo) | Média–difícil | 918 | 14% |
| 2018 | Q161 | Geometria analítica (lugar geométrico: circunferência de Apolônio) | Difícil | 948 | 11% |
| 2015 | Q180 | Função trigonométrica (mínimo do cosseno) | Média–difícil | 1194 | 18% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
No quadro: "o vértice de y = x² − 6x + 10 é (3, 1)". Pergunte: qual é o menor valor de y? E em que x? (3 min). Projete a 2023 Q170 e mostre a alternativa B (3 min). Feche com a 2023 Q152: simplificar a fórmula antes de pôr números (4 min).