Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
(A)
10^{0{,}5}
(B)
10^{8}
(C)
\dfrac{10^{2{,}5}}{84}
(D)
\dfrac{10^{2{,}5}}{99}
(E)
25 \times 10^{-2}
Pista
A pressão é maior quando o número dentro do log é maior. Em que momento das 10 horas a expressão -(t + 1)(t - 19) chega ao seu valor máximo?
Resolução
O que você precisa saber
log x ≤ 2,5 quer dizer x ≤ 10 elevado a 2,5 (aqui o log é na base 10).
Uma função do 2º grau com o termo em t² negativo tem o ponto mais alto no vértice, no meio das duas raízes.
Como o log é crescente, a pressão é máxima quando o número dentro do log é máximo.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o maior K que mantém a pressão em no máximo 10 atmosferas durante as 10 horas inteiras, de t = 0 até t = 10.
Escreva o número dentro do log como K \cdot g(t), com g(t) = -(t + 1)(t - 19) = (t + 1)(19 - t). Assim, P = 4 \log[K \cdot g(t)].
ESTRUTURAR
• As raízes de g são t = -1 e t = 19.
• O vértice fica no meio delas: t = \tfrac{-1 + 19}{2} = 9, que está dentro das 10 horas.
• O valor máximo é g(9) = 10 \cdot 10 = 100.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
A condição tem de valer no pior momento, que é quando g(t) é máximo. Basta impor P \le 10 em t = 9.
A armadilha: testar só o fim do período, em t = 10. Lá, g(10) = 11 \cdot 9 = 99, o que leva à alternativa D. Mas a pressão passa por um valor maior antes, em t = 9.
Com K = 10^{0{,}5}, em t = 9: P = 4 \log(10^{0{,}5} \cdot 100) = 4 \log 10^{2{,}5} = 4 \cdot 2{,}5 = 10 ✓. Em qualquer outro instante, g(t) é menor que 100 e a pressão fica abaixo de 10.
A alternativa C usa o meio do período, t = 5, em que g(5) = 6 \cdot 14 = 84.
Resposta
K = 10^{0{,}5}.
Alternativa corretaA
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H22 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Em palavras de salaUma conclusão para tirar (classificação de desempenho, medida preventiva, saque válido ou não) e uma fórmula ou figura que sustenta essa conclusão. Você faz a conta e usa o resultado como argumento.
Por que é H22
O maior K se justifica pela condição de pressão valer no pior momento, que é o vértice da quadrática. Usar a álgebra para sustentar a conclusão é a H22.
A H22 nesta questão
A conta que sustenta é impor P ≤ 10 em t = 9, onde (t + 1)(19 − t) chega a 100. Isso dá K = 10^0,5.
O que muda na hora de resolver
A H22 pergunta se a conta responde ao que foi perguntado. Testar só o fim do período (t = 10) leva ao D, mas a pressão passa por um valor maior antes.
