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ENEM · 2024

Questão 146 — ENEM 2024

Função quadrática: máximo e mínimo Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa \text{R\$ 20,00}, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa \text{R\$ 15,00}. O fazendeiro quer gastar, no máximo, \text{R\$ 6 000,00} na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

(A)

(B)

100

(C)

175

(D)

200

(E)

350

Resolução

O que você precisa saber

O retângulo tem dois lados L e dois lados C.
Uma função do 2º grau com o termo ao quadrado negativo tem valor máximo no vértice.
O vértice fica no meio das duas raízes.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: as medidas do retângulo de maior área que dá para cercar com 6 000 reais, e qual dos dois lados é o maior.

ESTRUTURAR

• Dois lados L, a 20 reais o metro: 2L \cdot 20 = 40L.

• Dois lados C, a 15 reais o metro: 2C \cdot 15 = 30C.

• Gasto: 40L + 30C = 6\,000.

• Área: L \cdot C.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Usar o gasto para escrever C em função de L, montar a área como função do 2º grau e achar o vértice.

A armadilha: achar que a maior área é sempre a de um quadrado. Isso só vale quando todos os lados custam o mesmo. Aqui, o lado mais caro (L) fica menor.

CALCULAR

30C = 6\,000 - 40L \;\Rightarrow\; C = 200 - \frac{4L}{3}A(L) = L\left(200 - \frac{4L}{3}\right)

As raízes são L = 0 e L = 150. O vértice fica no meio:

L = \frac{0 + 150}{2} = 75C = 200 - \frac{4 \cdot 75}{3} = 100

CONFERIR

Gasto: 40 \cdot 75 + 30 \cdot 100 = 3\,000 + 3\,000 = 6\,000 ✓. Repare que, no máximo, o dinheiro se divide igualmente entre os dois tipos de tela.

O maior lado é C, com 100 m.

Resposta

O maior lado mede 100 m.

Alternativa correta B

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H22 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

Em palavras de salaUma conclusão para tirar (classificação de desempenho, medida preventiva, saque válido ou não) e uma fórmula ou figura que sustenta essa conclusão. Você faz a conta e usa o resultado como argumento.

Por que é H22

A pergunta é qual medida dá a maior área, e a conclusão se sustenta com álgebra: o vértice da função quadrática. Usar conhecimentos algébricos como argumento é a H22.

A H22 nesta questão

O gasto 40L + 30C = 6 000 dá C = 200 − 4L/3. A área L × C é máxima no vértice, em L = 75, com C = 100. O maior lado é 100 m.

O que muda na hora de resolver

A H22 pede uma conta que sustente a escolha, e o palpite do quadrado não sustenta, porque as telas têm preços diferentes. Só 19% acertaram, e a conferência rápida é ver que cada par de lados leva 3 000 reais.

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