DOSSIÊ 900+ · ENEM 2024
Galinheiro / área máxima
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa 20 reais, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa 15 reais.
O fazendeiro quer gastar, no máximo, 6 000 reais na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2024 · Q146
- Acerto geral
- 19% de 747 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 26% acerta
- Quem tira 800
- 31% acerta
- Parâmetro b
- 902 valor do Inep
#38 de 588 · entre as 45. Microdados do ENEM 2024 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE MODELAGEM
O PERÍMETRO NÃO TEM O MESMO PREÇO.
A questão original não traz desenho. Este apoio organiza a informação decisiva: os lados L e C têm custos diferentes por metro.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
O aluno pode correr para fórmulas de máximo antes de traduzir corretamente o custo da cerca.
Os quatro lados não têm o mesmo custo: 2L usam tela de 20 reais por metro e 2C usam tela de 15 reais por metro.
Tratar a cerca como se todo metro custasse o mesmo destrói o modelo antes da função quadrática aparecer.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 146
- Gabarito
- B
- Conteúdo
- Funções · Geometria plana
- Subconteúdo
- Função quadrática · otimização de área · restrição de custo
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Otimização · leitura de restrição
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A fórmula da área é elementar: A = L·C. O obstáculo está em perceber que o perímetro tem dois preços diferentes.
- A restrição correta é 40L + 30C = 6000. Se o aluno escreve apenas 2L + 2C = algum valor, já perdeu a informação central do problema.
- Depois da modelagem, ainda é necessário transformar a área em uma função de uma variável e reconhecer o máximo de uma parábola.
ANTES DA CONTA
Não comece pela área. Comece pelo dinheiro. Como há dois lados L a 20 reais por metro e dois lados C a 15 reais por metro, o custo total é 40L + 30C. Para obter a maior área possível, usamos todo o orçamento: 40L + 30C = 6000.
custo total: 40L
custo total: 30C
no máximo da área, a restrição fica ativa
Antes de maximizar a área, descubra quanto custa cada direção do retângulo.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Transforme primeiro a restrição de custo em uma equação mais simples: dividindo tudo por 10, fica 4L + 3C = 600.
DICA 02
Isole C e substitua em A = L·C. Para evitar frações durante a otimização, você pode maximizar 3A em vez de A — o ponto de máximo é o mesmo.
DICA 03
Você chegará a 3A = -4L² + 600L. O valor de L no vértice é 75 m; depois volte à restrição para encontrar C.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
DO ORÇAMENTO À PARÁBOLA
A função quadrática só aparece depois que o custo de cada par de lados é modelado corretamente.
- INTERPRETARO galinheiro é um retângulo de lados L e C. A pergunta pede o maior lado quando a área é máxima. O dado mais importante não é o perímetro: é que os lados L e C usam telas com preços diferentes.
- ESTRUTURAROs dois lados L custam 2 · 20 · L = 40L. Os dois lados C custam 2 · 15 · C = 30C. No máximo da área, todo o orçamento é utilizado, então 40L + 30C = 6000, ou, dividindo por 10, 4L + 3C = 600.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAA área é A = L·C. Da restrição, 3C = 600 − 4L. Em vez de introduzir uma fração, multiplique a área por 3: 3A = L(600 − 4L). Maximizar 3A produz exatamente o mesmo L que maximizar A.
- CALCULARTemos 3A = -4L² + 600L, uma parábola voltada para baixo. O vértice ocorre em L = 600 ÷ 8 = 75. Voltando à restrição: 4·75 + 3C = 600, então 300 + 3C = 600, 3C = 300 e C = 100.
- CONFERIRAs dimensões são 75 m × 100 m. O custo é 40·75 + 30·100 = 3000 + 3000 = 6000, exatamente o orçamento. O maior lado mede 100 m. Alternativa B.
SEGUNDO CAMINHO
MAXIMIZAR PELO PRODUTO DE FATORES
Da restrição 4L + 3C = 600, escreva 3C = 600 − 4L. Como 3A = 3LC = L(3C), temos 3A = L(600 − 4L). Fatorando: 3A = 4L(150 − L). Para dois fatores com soma fixa 150, o produto é máximo quando eles são iguais: L = 75. Daí C = 100. Esse caminho evita a fórmula do vértice.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu escreveria imediatamente: 40L + 30C = 6000.
2. Dividiria por 10: 4L + 3C = 600.
3. Usaria 3A = L(600 − 4L) para evitar frações e achar rapidamente o vértice em L = 75.
4. Voltaria à restrição: C = 100. Como a pergunta pede o maior lado, marcaria 100.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro mais perigoso acontece antes da parábola: usar uma restrição de perímetro como se toda a tela tivesse o mesmo preço. A questão foi construída para punir a leitura automática de “retângulo + orçamento”. Aqui, cada direção tem um custo diferente. Se a equação inicial estiver errada, toda a otimização pode estar impecável e ainda assim produzir uma resposta falsa.
DISTRATOR PRINCIPAL
USAR O PERÍMETRO E APAGAR OS PREÇOS
O candidato pode tratar os 6 000 reais como se correspondessem a um único preço por metro e montar um perímetro comum. É um erro de modelagem, não de função quadrática.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
MODELE A RESTRIÇÃO ANTES DO OBJETIVO
Em problemas de máximo ou mínimo com custo, não pergunte primeiro “qual é a fórmula da área?”. Pergunte: qual é a restrição e quais grandezas têm pesos diferentes dentro dela?
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
O padrão aparece em cercas, produção, embalagens, receitas e projetos: existe uma grandeza a maximizar ou minimizar e uma restrição linear escondida no contexto. A estratégia é sempre separar objetivo e restrição, reduzir para uma variável e só então otimizar.