H19 · Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas
Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.Competência 5: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
O texto descreve como um valor é calculado (preço, folha de pagamento, concentração) e as alternativas são fórmulas. Você traduz a regra para a álgebra e testa a fórmula com um número pequeno.
Que expressão diz, em símbolos, exatamente o que o texto diz em palavras?
Como reconhecer no enunciado
- Em 23 das 24 questões de H19 o enunciado fala em expressão, relação, equação ou função.
- A resposta é uma fórmula: "a expressão que representa o preço y", "a quantia Y é expressa por", "a relação entre T e F foi".
- Funções (6), razão e porcentagem (5) e expressões algébricas (4) lideram, mas a habilidade é a mesma: traduzir.
Uma questão lida com a H19
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Aplicativos que gerenciam serviços de hospedagem têm ganhado espaço no Brasil e no mundo por oferecer opções diferenciadas em termos de localização e valores de hospedagem. Em um desses aplicativos, o preço P a ser pago pela hospedagem é calculado considerando um preço por diária d, acrescido de uma taxa fixa de limpeza L e de uma taxa de serviço. Essa taxa de serviço é um valor percentual s calculado sobre o valor pago pelo total das diárias.
Nessa situação, o preço a ser pago ao aplicativo para uma hospedagem de n diárias pode ser obtido pela expressão
Lendo com a H19
O texto descreve o preço em palavras e as alternativas são expressões. Identificar a representação algébrica que expressa a relação entre as grandezas é a H19.
Resolução completa no padrão RT
O total das diárias é d \cdot n. A taxa de serviço é a porcentagem s desse total, não das diárias isoladas.
O que a questão quer de verdade: montar o preço total somando diárias, limpeza e taxa de serviço.
• Diárias: d \cdot n.
• Limpeza: L (fixa).
• Serviço: s \cdot (d \cdot n).
Somar as três partes.
A armadilha: aplicar a taxa só sobre uma diária, d \cdot s (alternativa B), ou somar s como se fosse um valor em reais (alternativa E).
P = d \cdot n + L + d \cdot n \cdot s
Teste: 3 diárias de 100, limpeza de 50 e taxa de 10%. Pela fórmula, 300 + 50 + 30 = 380, que é o que se pagaria de fato.
Leve para outras questões: para montar fórmulas, teste com números simples. Veja sobre qual valor cada porcentagem incide.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Para concretar a laje de sua residência, uma pessoa contratou uma construtora. Tal empresa informa que o preço y do concreto bombeado é composto de duas partes: uma fixa, chamada de taxa de bombeamento, e uma variável, que depende do volume x de concreto utilizado. Sabe-se que a taxa de bombeamento custa \text{R\$ 500,00} e que o metro cúbico do concreto bombeado é de \text{R\$ 250,00}.
A expressão que representa o preço y em função do volume x, em metro cúbico, é
Taxa fixa de R$ 500,00 mais R$ 250,00 por metro cúbico vira y = 250x + 500. É a tradução mais direta da base, com 49% de acerto.
Resolução completa no padrão RT
A parte fixa não depende do volume: entra somada. A parte variável cresce com cada metro cúbico: entra multiplicando x.
O que a questão quer de verdade: escrever o preço como parte fixa mais parte proporcional ao volume.
- Parte fixa (taxa de bombeamento): 500.
- Parte variável: 250 por metro cúbico, ou seja, 250x.
Somar a parte variável e a parte fixa.
A armadilha: trocar os papéis e escrever y = 500x + 250 (alternativa E), multiplicando a taxa fixa pelo volume.
y = 250x + 500
Com x = 0 o preço seria 500, só a taxa de bombeamento ✓. Com 2 m³: 250 · 2 + 500 = 1 000.
Leve para outras questões: em "taxa fixa mais valor por unidade", o fixo é o termo independente e o valor por unidade multiplica a variável. Teste x = 0 para conferir.
Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe \text{R\$ 1 000,00} por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo \text{R\$ 80,00} por dia trabalhado.
Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por
X é o total de funcionários, e um deles é o gerente. A expressão precisa descontar esse um dos diaristas. Só 11% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
X conta todos os funcionários, inclusive o gerente. Então há X − 1 diaristas, cada um recebendo 160 reais por semana.
O que a questão quer de verdade: a folha semanal, gerente mais diaristas, em função do total X de funcionários.
- Gerente: 1 000 reais por semana.
- Diaristas: X − 1, cada um com 160 reais por semana.
Somar o salário do gerente com 160 vezes o número de diaristas.
A armadilha: tratar os X funcionários como diaristas e escrever Y = 160X + 1 000 (alternativa E). Um deles é o gerente.
Y = 1\,000 + 160\,(X - 1) = 160X + 840
Com X = 1, só o gerente: 160 + 840 = 1\,000. Com X = 3, gerente e dois diaristas: 1\,000 + 320 = 1\,320 = 160 \cdot 3 + 840.
Leve para outras questões: teste a fórmula com um caso pequeno (X = 1). Se não dá o valor certo, alguém foi contado errado.
Contar alguém duas vezes ou aplicar a taxa no lugar errado. Na 2019 Q168 quem trata o gerente como diarista marca 160X + 1 000 (E). Na 2021 Q141 quem aplica a taxa de serviço em uma diária só marca a B.
Onde a H19 mora no Banco
Todas as questões de H19, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2017 | Q136 | Matemática financeira (juros compostos e valor atual) | Média–difícil | – | 16% |
| 2023 | Q162 | Função afim | Fácil | 612 | 49% |
| 2024 | Q156 | Expressões algébricas e função afim | Fácil | 618 | 42% |
| 2025 | Q157 | Razão e modelagem algébrica | Fácil | 661 | 43% |
| 2012 | Q143 | Grandezas direta e inversamente proporcionais | Fácil–média | 664 | 33% |
| 2012 | Q141 | Expressões algébricas (área de retângulo) | Fácil–média | 682 | 32% |
| 2023 | Q150 | Porcentagem e expressão algébrica | Fácil | 688 | 40% |
| 2019 | Q165 | Razão e inequação (modelagem) | Média | 695 | 28% |
| 2021 | Q141 | Expressão algébrica (porcentagem) | Fácil–média | 706 | 28% |
| 2024 | Q166 | Razão e densidade demográfica | Fácil–média | 725 | 19% |
| 2015 | Q152 | Função exponencial (crescimento percentual) | Fácil–média | 736 | 15% |
| 2013 | Q153 | Proporcionalidade e potências de expoente fracionário | Média | 737 | 19% |
| 2014 | Q170 | Comprimento da circunferência (canudo de diploma) | Média | 760 | 30% |
| 2018 | Q148 | Função afim e proporcionalidade (modelagem) | Média–difícil | 766 | 26% |
| 2020 | Q152 | Volume de prismas e porcentagem | Média | 768 | 18% |
| 2018 | Q170 | Funções trigonométricas (modelagem do movimento circular) | Média | 771 | 20% |
| 2015 | Q175 | Expressões algébricas (substituição) | Média | 817 | 21% |
| 2013 | Q171 | Equação do 1º grau com duas variáveis (semáforo) | Média | 821 | 22% |
| 2020 | Q149 | Logaritmos (propriedades) | Média–difícil | 866 | 16% |
| 2019 | Q168 | Função afim (modelagem) | Fácil–média | 879 | 12% |
| 2016 | Q180 | Logaritmos (escala Richter) | Média–difícil | 898 | 21% |
| 2017 | Q166 | Funções trigonométricas (modelagem com cosseno) | Média–difícil | 919 | 19% |
| 2014 | Q148 | Equação da circunferência e funções | Média–difícil | 928 | 15% |
| 2025 | Q160 | Função tangente | Difícil | 1049 | 15% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Dite uma regra em voz alta ("R$ 5,00 de bandeirada mais R$ 2,00 por km") e peça a fórmula (2 min). Projete a 2019 Q168 e peça para testar cada alternativa com X = 1 (4 min). Feche: toda fórmula se confere com um caso pequeno (4 min).