H21 · Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.Competência 5: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
O enunciado conta relações em palavras. Você dá nome às quantidades desconhecidas, transforma cada frase numa equação e resolve. A parte difícil é montar. Resolver costuma ser o mais fácil.
Qual conta responde exatamente o que foi perguntado?
Como reconhecer no enunciado
- A pergunta pede um único valor: "qual o preço", "quantos alunos", "qual o tempo necessário".
- O texto tem relações escritas por extenso: "excedeu em 33", "é igual ao preço de um tíquete vermelho mais cinco centavos", "quando se igualam".
- Metade das questões de H21 é de funções (12 de 23) e quase um terço é de equações e sistemas (7).
Uma questão lida com a H21
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
O metrô de um município oferece dois tipos de tíquetes com colorações diferentes, azul e vermelha, sendo vendidos em cartelas, cada qual com nove tíquetes da mesma cor e mesmo valor unitário. Duas cartelas de tíquetes azuis e uma cartela de tíquetes vermelhos são vendidas por R$ 32,40. Sabe-se que o preço de um tíquete azul menos o preço de um tíquete vermelho é igual ao preço de um tíquete vermelho mais cinco centavos.
Qual o preço, em real, de uma cartela de tíquetes vermelhos?
Lendo com a H21
Nada aqui é fórmula pronta. Você precisa criar o modelo (duas incógnitas, duas frases, duas equações) a partir de uma situação de metrô. Resolver situação cuja modelagem é algébrica é a definição da H21.
Resolução completa no padrão RT
Chame de a o preço de um tíquete azul e de v o de um vermelho. Cada cartela tem 9 tíquetes. Monte duas equações e lembre que a pergunta é o preço da cartela, não do tíquete.
O que a questão quer de verdade: o preço de 9 tíquetes vermelhos.
• Duas cartelas azuis e uma vermelha: 9(2a + v) = 32{,}40, ou seja, 2a + v = 3{,}60.
• Diferença de preços: a - v = v + 0{,}05, ou seja, a = 2v + 0{,}05.
Substituir a na primeira equação, achar v e multiplicar por 9.
A armadilha: parar no preço de um tíquete vermelho (0,70) ou confundir com o azul. A pergunta pede a cartela vermelha inteira.
2(2v + 0{,}05) + v = 3{,}60
5v + 0{,}10 = 3{,}60 \Rightarrow v = 0{,}70
\text{cartela vermelha} = 9 \cdot 0{,}70 = 6{,}30
Tíquete azul: 2 \cdot 0{,}70 + 0{,}05 = 1{,}45. Duas cartelas azuis: 18 \cdot 1{,}45 = 26{,}10; mais 6,30 dá 32,40 ✓.
Leve para outras questões: em sistemas com pacotes (cartelas, caixas), trabalhe com o preço unitário e só multiplique pelo tamanho do pacote no final.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
Q_O = -20 + 4P
Q_D = 46 - 2P
em que Q_O é quantidade de oferta, Q_D é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando Q_O e Q_D se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
O modelo já vem dado (as duas retas de oferta e demanda). A única modelagem é transformar "se igualam" em uma equação. Por isso é a H21 mais fácil da base.
Resolução completa no padrão RT
Iguale as duas expressões, oferta igual a demanda, e resolva a equação em P.
O que a questão quer de verdade: o preço P que deixa as duas quantidades iguais.
• Q_O = -20 + 4P.
• Q_D = 46 - 2P.
• Equilíbrio: Q_O = Q_D.
Igualar e isolar P.
A armadilha: achar o preço em que a oferta é zero, 4P = 20, P = 5 (alternativa A). A pergunta pede as duas quantidades iguais, não a oferta nula.
-20 + 4P = 46 - 2P
6P = 66
P = 11
Q_O = -20 + 44 = 24 e Q_D = 46 - 22 = 24 ✓.
Leve para outras questões: "se igualam" vira uma equação; iguale as duas expressões e resolva.
Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete?
São três grupos de alunos, duas condições e uma porcentagem. O aluno precisa criar as incógnitas e escrever uma equação para cada frase. A dificuldade é toda de modelagem: a conta final é pequena.
Resolução completa no padrão RT
Chame de x quem comprou 1 bilhete e de y quem comprou 3. Escreva o total de alunos (contando os 80 que faltaram) e o total de bilhetes. A diferença entre eles é 33.
O que a questão quer de verdade: quantos alunos compraram exatamente um bilhete.
- 80 faltaram; 45 compraram 2 bilhetes; y compraram 3; x compraram 1.
- x é 20% dos bilhetes vendidos.
- Bilhetes vendidos = alunos do colégio + 33.
Usar a diferença de 33 para achar y e depois os 20% para achar x.
A armadilha: parar em y = 34 e marcar 34 (alternativa A). 34 é o número de alunos que compraram três bilhetes.
\text{alunos} = 80 + 45 + x + y = x + y + 125
\text{bilhetes} = x + 90 + 3y
x + 90 + 3y = x + y + 125 + 33 \;\Rightarrow\; 2y = 68 \;\Rightarrow\; y = 34
\text{bilhetes} = x + 90 + 102 = x + 192
x = 0{,}2(x + 192) \;\Rightarrow\; 0{,}8x = 38{,}4 \;\Rightarrow\; x = 48
Bilhetes: 48 + 90 + 102 = 240, e 20% de 240 é 48 ✓. Alunos: 80 + 45 + 48 + 34 = 207, e 240 − 207 = 33 ✓.
Leve para outras questões: dê nome a cada quantidade desconhecida e escreva uma equação para cada frase do enunciado. Confira o resultado em todas as frases.
Parar na incógnita errada. Na 2023 Q175 o preço de um tíquete vermelho (0,70) não é a resposta; a pergunta é a cartela de 9. Na 2018 Q178 quem para em y = 34 marca a alternativa A, que é o número de quem comprou três bilhetes. Em H21 o valor do meio do caminho quase sempre está nas alternativas.
Onde a H21 mora no Banco
Todas as questões de H21, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2019 | Q177 | Função trigonométrica (seno) | Difícil | – | 20% |
| 2012 | Q166 | Equação do 1º grau (preço de equilíbrio) | Fácil | 607 | 33% |
| 2014 | Q179 | Equação do 1º grau e porcentagem (reajuste de preço) | Média | 735 | 24% |
| 2023 | Q175 | Sistema de equações do 1º grau | Média | 737 | 27% |
| 2012 | Q169 | Matrizes (produto e média aritmética) | Média | 753 | 23% |
| 2012 | Q168 | Potência com expoente fracionário | Média | 770 | 22% |
| 2017 | Q161 | Função do 2º grau (área máxima) | Média | 774 | 28% |
| 2024 | Q170 | Logaritmos: escala Richter | Fácil–média | 797 | 26% |
| 2013 | Q166 | Função exponencial e logaritmo (meia-vida) | Difícil | 803 | 12% |
| 2022 | Q146 | Sistema linear e equação com solução inteira | Média | 813 | 17% |
| 2019 | Q154 | Logaritmos (aplicação) | Média | 816 | 30% |
| 2013 | Q152 | Função quadrática (vértice sobre o eixo x) | Média | 822 | 14% |
| 2019 | Q137 | Logaritmos (inequação) | Média | 822 | 15% |
| 2016 | Q167 | Função quadrática (raízes e vértice) e áreas | Média | 842 | 29% |
| 2017 | Q168 | Função quadrática (parábola a partir de pontos) | Média–difícil | 843 | 28% |
| 2024 | Q148 | Função exponencial | Média–difícil | 858 | 26% |
| 2020 | Q146 | Inequação modular | Fácil–média | 871 | 25% |
| 2018 | Q178 | Equações do 1º grau (problema com várias incógnitas) | Difícil | 890 | 18% |
| 2018 | Q175 | Sistemas de equações (parcelas) | Média–difícil | 892 | 31% |
| 2016 | Q160 | Logaritmos (decaimento exponencial) | Difícil | 1008 | 23% |
| 2015 | Q161 | Áreas e porcentagem (malha quadriculada) | Difícil | 1033 | 13% |
| 2015 | Q154 | Função logarítmica (equação com logaritmo) | Difícil | 1060 | 11% |
| 2021 | Q152 | Operações definidas e equação do 2º grau | Difícil | 1144 | 21% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Dê a 2018 Q178 e peça só a lista de incógnitas e uma equação por frase, sem resolver (4 min). Compare as montagens da turma no quadro (3 min). Mostre que 34 está nas alternativas e pergunte por quê (2 min). Regra para levar: antes de marcar, releia a pergunta e confira se o seu número é o que ela pede.