Questão 169 — ENEM 2012

Matrizes (produto e média aritmética) Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

(A)

\begin{bmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}

(B)

\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \end{bmatrix}

(C)

\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

(D)

\begin{bmatrix} \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}

(E)

\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} \\ \tfrac{1}{4} \\ \tfrac{1}{4} \\ \tfrac{1}{4} \end{bmatrix}

Resolução

O que você precisa saber

No produto de matrizes, cada linha da primeira multiplica uma coluna da segunda, termo a termo, e os produtos se somam.
Uma matriz de 4 linhas e 4 colunas só multiplica, pela direita, uma matriz que tenha 4 linhas.
Média de 4 notas é cada nota vezes um quarto, somadas.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: a matriz que, multiplicada à direita da tabela, devolve a média de cada linha.

ESTRUTURAR

Matriz de notas: 4 × 4 (disciplinas nas linhas, bimestres nas colunas).
Média: soma da linha dividida por 4.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Escolher uma coluna 4 × 1 com todos os termos iguais a um quarto.

A armadilha: escolher a linha de quartos (alternativa B). Ela tem os números certos, mas é uma matriz 1 × 4, e a tabela 4 × 4 não pode ser multiplicada por ela à direita.

CALCULAR

Linha de Matemática vezes a coluna de quartos:

5{,}9 \cdot \tfrac{1}{4} + 6{,}2 \cdot \tfrac{1}{4} + 4{,}5 \cdot \tfrac{1}{4} + 5{,}5 \cdot \tfrac{1}{4} = \frac{22{,}1}{4} = 5{,}525

O resultado é uma coluna 4 × 1 com as quatro médias.

CONFERIR

A coluna de 1s daria a soma das notas (22,1), e a de meios, o dobro da média; só a de quartos dá a média ✓.

Resposta

Uma matriz coluna, com 4 linhas, em que todos os termos valem um quarto.

Alternativa correta E

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H21 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

Em palavras de salaO enunciado conta relações em palavras. Você dá nome às quantidades desconhecidas, transforma cada frase numa equação e resolve. A parte difícil é montar. Resolver costuma ser o mais fácil.

Por que é H21

As médias das disciplinas saem de um produto de matrizes com a tabela de notas. Resolver situação-problema cuja modelagem envolve conhecimentos algébricos é a H21.

A H21 nesta questão

A tabela é 4 × 4 e cada linha precisa virar a média das 4 notas. Para isso, multiplique à direita por uma coluna 4 × 1 com todos os termos iguais a 1/4. Matemática: (5,9 + 6,2 + 4,5 + 5,5)/4 = 5,525.

O que muda na hora de resolver

A H21 pede para conferir a ordem das matrizes antes do produto. Quem escolhe a linha de quartos, que é 1 × 4, marca B.

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