Matrizes: lei de formação, tipos, operações e produto, com questões resolvidas

1 · O QUE É MATRIZ

Matriz é uma tabela, e cada posição tem um significado.

Uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas é de ordem $m\times n$ (lê-se "m por n"). O elemento $a_{ij}$ fica na linha $i$ e na coluna $j$: o primeiro índice é sempre a linha.

No exemplo ao lado, $a_{ij}$ é o número de ônibus que saíram da cidade $i$ para a cidade $j$ num dia:

SOMA DE UMA LINHATotal que saiu daquela cidade. Linha 2: $3+0+8=11$.
SOMA DE UMA COLUNATotal que chegou àquela cidade. Coluna 3: $4+8+0=12$.
POSIÇÃO TROCADA$a_{12}=6$ (da 1 para a 2) é diferente de $a_{21}=3$ (da 2 para a 1).

Antes de qualquer conta, escreva ao lado da matriz: "linha = …" e "coluna = …". As alternativas erradas costumam ser a resposta de quem somou na direção errada.

Linha 2 (azul): saíram 11 ônibus da cidade 2. Coluna 3 (dourado): chegaram 12 à cidade 3.

Matrizes iguais têm a mesma ordem e os mesmos elementos nas mesmas posições. Por isso, $\begin{bmatrix}x+1&4\\2&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&4\\2&7\end{bmatrix}$ vale só com $x=4$ e $y=7$: cada posição vira uma equação.

PAVE 3 2019 · Questão 17 Fácil–média

Trajetos entre cidades do RS

Uma empresa de transporte rodoviário da região Sul do estado, tem um diagrama que representa um sistema de relações entre os trajetos de sua frota de veículos.

Diagrama de trajetos: Rio Grande liga-se a Pelotas e a Ijuí; Pelotas liga-se a Rio Grande, Porto Alegre e Santa Maria; Ijuí liga-se a Rio Grande, Porto Alegre e Santa Maria.

Admite-se que i, j referem-se às cidades e variam de forma que: Pelotas = 1; Rio Grande = 2; Porto Alegre = 3; Santa Maria = 4 e Ijuí = 5. Nesse sentido, podemos construir uma matriz $A = [a_{ij}]_{5 \times 5}$ que represente esses trajetos de acordo com:

\[a_{ij} \left\{ \begin{array}{c} 1 \text{ se } i \text{ está ligado diretamente a } j \\ 0 \text{ se } i = j \text{ ou } i \text{ não está ligado diretamente a } j \end{array} \right\}\]

Assim, é correto afirmar que

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Se Pelotas está ligada a Rio Grande, Rio Grande também está ligada a Pelotas. O que isso diz sobre $a_{12}$ e $a_{21}$?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: montar a matriz das ligações do diagrama e reconhecer a propriedade dela.
ESTRUTURAR
Ligações do diagrama: Pelotas–Rio Grande, Pelotas–Porto Alegre, Pelotas–Santa Maria, Rio Grande–Ijuí, Porto Alegre–Ijuí e Santa Maria–Ijuí.
\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Montar a matriz e testar cada alternativa.
A armadilha: na linha de Pelotas, contar também a curva de Rio Grande a Ijuí, que passa por cima do desenho mas não toca Pelotas. Pelotas tem 3 ligações, e não 4.
CALCULAR
Cada ligação vale nos dois sentidos, então $a_{ij} = a_{ji}$: a matriz é simétrica.
Diagonal: toda zero ($a_{ii} = 0$ pela regra), então o traço é 0.
Primeira linha (Pelotas): $0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 3$.
CONFERIR
Confira na matriz: ela é igual à sua transposta ✓.
Por que as outras tentam: A exigiria $a_{12} = -a_{21}$, mas os dois valem 1. B exigiria 1 na diagonal, e ela é toda zero. C erra o traço, que é 0. E conta 4 ligações para Pelotas, quando são 3.

Resposta: D

Leve para outras questões: ligação de mão dupla (estrada, amizade, aperto de mão) gera matriz simétrica. Ligação de mão única (seguir, enviar) pode não gerar.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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No ENEM, a mesma ideia: some na direção certa

As duas questões abaixo usam matrizes 5 × 5 quase iguais. Numa, a resposta está na soma de uma linha; na outra, na soma de uma coluna. A alternativa errada mais marcada é sempre a da direção trocada.

ENEM 2018 · Questão 136 Fácil–média

Transferências entre bancos

A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz $A = [a_{ij}]$, em que $1 \le i \le 5$ e $1 \le j \le 5$, e o elemento $a_{ij}$ corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos $a_{ii} = 0$, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco

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O primeiro índice, i, é quem envia. Some cada linha: a linha i é tudo o que o banco i transferiu.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a linha da matriz com a maior soma.
ESTRUTURAR
• $a_{ij}$: valor do banco i para o banco j.
• Linha i: tudo que o banco i enviou.
• Coluna j: tudo que o banco j recebeu.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar as cinco linhas e comparar.
A armadilha: somar as colunas, que dão o que cada banco recebeu. A maior coluna é a 2, com 6, e levaria ao banco 2 (alternativa B).
CALCULAR
• Linha 1: $0 + 2 + 0 + 2 + 2 = 6$
• Linha 2: $0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3$
• Linha 3: $1 + 2 + 0 + 1 + 1 = 5$
• Linha 4: $0 + 2 + 2 + 0 + 0 = 4$
• Linha 5: $3 + 0 + 1 + 1 + 0 = 5$
CONFERIR
A soma das linhas (23) é igual à soma das colunas ($4 + 6 + 5 + 5 + 3 = 23$): todo valor enviado é recebido por alguém. O banco 1 enviou 6 milhões, o maior total.

Resposta: A

Leve para outras questões: antes de somar, decida o que a linha e a coluna significam. Enviar e receber trocam linha por coluna.

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ENEM 2019 · Questão 144 Fácil

Acertos da semana

Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro questões de múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz.

\[\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix}\]

Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, respectivamente, enquanto que as colunas de 1 a 5 indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectivamente, em que os testes foram aplicados.

O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na

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Os dias estão nas colunas. Some cada coluna.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a coluna da matriz com a maior soma.
ESTRUTURAR
- Linhas: Ana, Bruno, Carlos, Denis, Érica.
- Colunas: segunda a sexta.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar cada coluna.
A armadilha: somar as linhas, que são os alunos. A maior soma de linha é a da linha 2 (Bruno, 12 acertos), o que levaria a marcar a terça-feira (alternativa B) por confundir "2ª linha" com "2º dia".
CALCULAR
• Segunda: $3 + 3 + 2 + 3 + 0 = 11$
• Terça: $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$
• Quarta: $0 + 4 + 2 + 4 + 0 = 10$
• Quinta: $1 + 1 + 3 + 1 + 4 = 10$
• Sexta: $2 + 2 + 2 + 0 + 4 = 10$
Maior: segunda-feira.
CONFERIR
Total geral pelas colunas: 11 + 10 + 10 + 10 + 10 = 51. Pelas linhas: 8 + 12 + 11 + 10 + 10 = 51. As contas fecham.

Resposta: A

Leve para outras questões: em matriz de dados, leia primeiro o que é linha e o que é coluna. Somar a direção errada é o erro mais comum.

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2 · LEI DE FORMAÇÃO E TIPOS

Uma regra pode gerar a matriz inteira, posição por posição.

Construir $B=(b_{ij})_{2\times2}$ com $b_{ij}=i+2j$ é calcular cada elemento trocando $i$ pela linha e $j$ pela coluna:

\[b_{11}=3\quad b_{12}=5\quad b_{21}=4\quad b_{22}=6\qquad B=\begin{bmatrix}3&5\\4&6\end{bmatrix}\]

Comece sempre pela primeira linha e preencha da esquerda para a direita. Na prova, confira a ordem pedida: uma matriz $3\times2$ tem 3 linhas e 2 colunas.

Leis com condição. Às vezes a regra muda conforme a posição, como $a_{ij}=1$ se $i=j$ e $a_{ij}=0$ se $i\neq j$. Marque primeiro a diagonal ($i=j$), depois o que fica acima ($i<j$) e abaixo ($i>j$) dela.

Tipo	Como reconhecer
Linha / coluna	uma linha só ($1\times n$) ou uma coluna só ($m\times1$)
Nula	todos os elementos iguais a 0
Quadrada	mesmo número de linhas e colunas; tem diagonal principal $a_{11},a_{22},\dots$
Diagonal	quadrada, com zeros fora da diagonal principal
Triangular	quadrada, com zeros só acima (ou só abaixo) da diagonal
Identidade $I_n$	1 na diagonal principal e 0 no resto; $A\cdot I=A$
Simétrica	$A^t=A$, ou seja, $a_{ij}=a_{ji}$
Traço	soma da diagonal principal

Transposta: linhas viram colunas

A transposta $A^t$ se obtém escrevendo a 1ª linha de $A$ como 1ª coluna, a 2ª linha como 2ª coluna, e assim por diante. Uma matriz $m\times n$ vira $n\times m$, e o elemento $a_{ij}$ vai para a posição $ji$.

Uma matriz é simétrica quando não muda ao ser transposta: os elementos se espelham na diagonal principal, como as distâncias entre cidades (de A até B é o mesmo que de B até A).

Igualdade de matrizes

Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e os elementos de mesma posição são iguais. Uma igualdade entre matrizes $2\times2$ vale por quatro equações, uma para cada posição:

\[\begin{bmatrix}x+y&3\\1&x-y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&3\\1&4\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases}\Rightarrow x=7,\ y=3\]

As posições que já têm números iguais dos dois lados só servem para conferir. As que têm incógnitas viram um sistema.

A 1ª linha de $A$ (azul) vira a 1ª coluna de $A^t$.

PAVE 3 2017 · Questão 15 Fácil–média

Matriz pela lei de formação

A matriz $A = (a_{ij})_{3 \times 2}$, tal que $a_{ij} = -2i + j^2$ é igual a

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Calcule só $a_{11}$ e compare com as alternativas. Depois confirme mais um elemento.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: montar a matriz 3 × 2 em que cada elemento vale $-2i + j^2$.
ESTRUTURAR
• Linhas: $i = 1, 2, 3$.
• Colunas: $j = 1, 2$.
• $j^2$ vale 1 na coluna 1 e 4 na coluna 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular os seis elementos, ou só os suficientes para eliminar alternativas.
A armadilha: trocar $i$ com $j$ (usar $-2j + i^2$). Com isso, $a_{12}$ daria $-3$, e não 2.
CALCULAR
\[a_{11} = -2 + 1 = -1 \qquad a_{12} = -2 + 4 = 2\]
\[a_{21} = -4 + 1 = -3 \qquad a_{22} = -4 + 4 = 0\]
\[a_{31} = -6 + 1 = -5 \qquad a_{32} = -6 + 4 = -2\]
\[A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\]
CONFERIR
Padrão: descendo uma linha, cada elemento diminui 2 (por causa do $-2i$); passando para a coluna 2, aumenta 3 (de $j^2 = 1$ para $j^2 = 4$). A matriz B segue esse padrão ✓.
Por que as outras tentam: só $a_{11} = -1$ já elimina todas as outras, porque A, C, D e E começam com 2, 0, $-2$ e 1. E é só a numeração das posições (1 a 6), para quem não usa a lei de formação.

Resposta: B

Leve para outras questões: em matriz por lei de formação, calcule primeiro o elemento que mais elimina alternativas (em geral $a_{11}$). Lembre: o primeiro índice é a linha.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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3 · SOMA E NÚMERO VEZES MATRIZ

Somar matrizes é somar posição com posição.

Só se somam (ou subtraem) matrizes de mesma ordem. Cada elemento do resultado é a soma dos elementos que ocupam a mesma posição.

Exemplo. Duas lojas vendem camisetas P, M e G. Nas linhas, a loja; nas colunas, o tamanho. Janeiro e fevereiro somados dão o bimestre:

\[\begin{bmatrix}10&15&8\\6&9&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12&11&5\\7&10&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}22&26&13\\13&19&10\end{bmatrix}\]

A soma só faz sentido porque as duas tabelas têm o mesmo significado em cada posição: loja na linha, tamanho na coluna.

Subtração e matriz oposta. A oposta $-A$ troca o sinal de todos os elementos, e $A-B=A+(-B)$. Na tabela das lojas, fevereiro menos janeiro mostra quanto cada tamanho vendeu a mais (positivo) ou a menos (negativo) em cada loja. A soma de matrizes tem as mesmas propriedades da soma de números: a ordem não importa ($A+B=B+A$) e a matriz nula faz o papel do zero.

Número vezes matriz. Multiplica-se cada elemento pelo número. Se cada camiseta custa R$ 30, a matriz de faturamento de janeiro é $30$ vezes a de quantidades:

\[30\cdot\begin{bmatrix}10&15&8\\6&9&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}300&450&240\\180&270&120\end{bmatrix}\]

Equação com matrizes. Resolve-se como equação comum, isolando a matriz desconhecida: $2X+A=B\Rightarrow X=\frac{1}{2}(B-A)$. A diferença é que cada conta é feita posição por posição.

Soma é posição com posição; produto não é. Na soma e no "número vezes matriz", cada elemento se resolve sozinho. No produto entre duas matrizes, cada elemento usa uma linha e uma coluna inteiras.

4 · PRODUTO DE MATRIZES

Multiplica-se linha por coluna, e o assunto "de dentro" some.

O produto $A\cdot B$ só existe quando o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$. Os números de fora dão a ordem do resultado:

\[A_{m\times \mathbf{n}}\cdot B_{\mathbf{n}\times p}=C_{m\times p}\]

O elemento $c_{ij}$ é a linha $i$ de $A$ vezes a coluna $j$ de $B$, termo a termo, somando tudo. Com quantidades $Q$ e preços $P$:

\[\begin{bmatrix}2&1&3\\4&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5\\8\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot5+1\cdot8+3\cdot2\\4\cdot5+0\cdot8+1\cdot2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24\\22\end{bmatrix}\]

O que o resultado significa: (pessoas × produtos) · (produtos × preço) = (pessoas × gasto). O assunto que fica no meio, os produtos, desaparece, e $c_{i1}$ responde "quanto a pessoa $i$ gastou".

Cada elemento do produto combina uma linha inteira com uma coluna inteira.

Os números de dentro precisam ser iguais; os de fora viram a ordem do produto.

A ORDEM IMPORTAEm geral $A\cdot B\neq B\cdot A$. Às vezes um dos dois nem existe: com $A$ $2\times3$ e $B$ $3\times4$, existe $A\cdot B$, mas não $B\cdot A$.
IDENTIDADE$A\cdot I=I\cdot A=A$. A identidade faz o papel do número 1.
POTÊNCIA$A^2=A\cdot A$, só para matriz quadrada. Não é elevar cada elemento ao quadrado.
PRODUTO NULO$A\cdot B$ pode dar a matriz nula com $A$ e $B$ diferentes da nula. Com matrizes, "produto zero" não obriga um fator a ser zero.

Exemplo de ordem trocada. $\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&2\\3&1\end{bmatrix}$, mas $\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\3&7\end{bmatrix}$.

PAVE 3 2020 · Questão 11 Fácil–média

Fios e tecidos da fábrica pelotense

Em 1910, a Fábrica de Fiação e Tecidos Pelotense insere-se no contexto pelotense, quando entra pela primeira vez em funcionamento. Ela surgiu devido a um fator econômico, sendo uma das mais destacadas no setor têxtil. A economia de Pelotas era praticamente toda voltada para o charque, os navios os levavam de Pelotas ao nordeste brasileiro, porém retornavam, tornando os custos muito elevados. A solução encontrada para resolver esse problema foi a construção de uma fábrica de fiação e tecelagem de algodão na cidade, devido a abundância desse produto no nordeste brasileiro. A fábrica contava com uma enorme força de trabalho feminina. De acordo com o livro de registro de Sócios do Sindicato de Empregados das Indústrias de Fiação e Tecelagem de Pelotas o ano de 1946 eram cerca de 464 mulheres e 164 homens trabalhando na fábrica, e no ano de 1953, eram 511 mulheres e 266 homens.

Naquela época fabricavam tecidos com fios diferentes.

A matriz,

\[N = \begin{bmatrix} 7 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]

representa quantos rolos de fio $j$ eram utilizados para fabricar uma peça de tecido tipo $i$.

Mariana foi funcionária na Fábrica de Fiação e Tecidos Pelotense. Para fabricar 6 peças de tecido tipo 1; 3 peças de tecido tipo 2 e 2 peças de tecido tipo 3, em um mês de trabalho, ela utilizou

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O elemento $n_{ij}$ fica na linha $i$ (tecido) e na coluna $j$ (fio). Todas as alternativas falam do fio 2: use só a coluna 2.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos rolos de fio 2 Mariana usou para 6 peças do tecido 1, 3 do tecido 2 e 2 do tecido 3.
ESTRUTURAR
• Coluna 2 de $N$ (fio 2): tecido 1 usa 5, tecido 2 usa 3, tecido 3 usa 1 rolo por peça.
• Peças: 6, 3 e 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar a linha das quantidades $(6\ \ 3\ \ 2)$ pela coluna 2 de $N$. É um elemento do produto $(6\ \ 3\ \ 2) \cdot N$.
A armadilha: ler a linha 2 como "fio 2". A linha 2 é o tecido 2: $(2, 3, 1)$ são os rolos dos três fios para uma peça desse tecido. Com ela, sairia $6 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 23$.
CALCULAR
\[6 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 30 + 9 + 2 = 41\]
CONFERIR
O produto completo $(6\ \ 3\ \ 2) \cdot N = (56\ \ 41\ \ 11)$ dá os rolos dos fios 1, 2 e 3; o do fio 2 é 41 ✓.
Por que as outras tentam: C (40) é o que sai com 1 peça do tecido 3 no lugar de 2 ($30 + 9 + 1$). A (31), B (38) e E (85) não saem de uma leitura natural da matriz; vêm de erros de produto.

Resposta: D

Leve para outras questões: em matriz de tabela, diga em voz alta o que é a linha e o que é a coluna antes de calcular. Para um total, multiplique as quantidades pela coluna certa e some.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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PAVE 3 2025 · Questão 21 Média

O que um elemento do produto significa

A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) ocorre anualmente no Brasil e realiza provas que visam a identificar talentos na área da Matemática, além de promover a inclusão social e aprimorar a qualidade do ensino da disciplina no país por meio de avaliações desafiadoras, projetos e premiações. Na 19ª edição da OBMEP, realizada em 2024, pela primeira vez em uma década, uma estudante da rede municipal de ensino de Pelotas conquistou uma medalha de bronze em nível nacional. Além desse destaque, outros 17 alunos de seis escolas municipais também foram reconhecidos, recebendo menções honrosas ou medalhas em nível regional.

Referência: adaptado de https://www.pelotas.com.br/noticia/alunos-de-pelotas-conquistam-destaque-nas-olimpiadas-de-matematica. Acesso em: 15/06/2025.

Com base em alguns dados exibidos na notícia, construímos duas tabelas:

Tabela 1: prêmios regionais, estaduais e nacionais de cinco escolas. Colégio Municipal Pelotense 2, 0, 1; EMEF Antônio Joaquim Dias 0, 1, 0; EMEF Santa Terezinha 0, 1, 0; EMEF João da Silva Silveira 0, 2, 0; EMEF Cecília Meireles 0, 1, 0. Tabela 2: medalhas de bronze e de prata por nível. Regional 0 e 2; Estadual 5 e 0; Nacional 1 e 0.

Fonte: Autoria própria.

A partir da Tabela 1, pode-se obter a matriz T1 a seguir:

\[T1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

E a partir da Tabela 2, gerou-se a matriz T2, aplicando a divisão de cada valor pelo total de prêmios naquele nível, para que T2 seja uma matriz de proporções.

\[T2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Sejam $a_{ij}$ os elementos da matriz resultante do produto $T1 \cdot T2$. Nessas condições, qual é a informação representada pelo elemento $a_{41}$ dessa matriz resultante?

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$a_{41}$ usa a linha 4 de T1 e a coluna 1 de T2. Multiplique termo a termo e some.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de $a_{41}$ em $T1 \cdot T2$, que estima as medalhas de bronze da 4ª escola da tabela.
ESTRUTURAR
• Linha 4 de T1 (EMEF João da Silva Silveira): $(0,\ 2,\ 0)$.
• Coluna 1 de T2 (bronze): $(0,\ 1,\ 1)$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fazer o produto escalar da linha 4 pela coluna 1.
A armadilha: trocar a ordem dos índices e usar a linha 1 e a coluna 4. O primeiro índice é a linha, e T2 nem tem coluna 4.
CALCULAR
\[a_{41} = 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2\]
CONFERIR
Interpretação: a EMEF João da Silva Silveira tem 2 prêmios estaduais, e no nível estadual todas as medalhas foram de bronze (5 de bronze e 0 de prata, proporção 1 e 0). Então os 2 prêmios dela contam como 2 medalhas de bronze ✓.
Por que as outras tentam: B (0) é $a_{42}$, a coluna da prata. A (1) é o que sai somando só um termo do produto.

Resposta: C

Leve para outras questões: para um elemento do produto, não calcule a matriz toda: pegue só a linha e a coluna dele. Em problemas com tabelas, a linha e a coluna dizem o que o número significa.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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5 · NÍVEL VESTIBULAR

Sistema como produto e potências que se repetem.

Forma matricial de um sistema

Todo sistema linear pode ser escrito como um produto $A\cdot X=B$: $A$ guarda os coeficientes, $X$ as incógnitas e $B$ os termos independentes.

\[\begin{cases}2x+y=7\\x-3y=0\end{cases}\iff\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}\]

Faça o produto para conferir: a linha 1 dá $2x+y$ e a linha 2 dá $x-3y$. É essa forma que liga matrizes à página de sistemas lineares.

Potências: calcule poucas e procure o padrão

Para $A^{50}$, ninguém multiplica 50 vezes. Calcule $A^2$ e $A^3$ e observe. Com $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$:

\[A^2=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\quad A^3=\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad A^n=\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}\]

Na prova dissertativa, mostre as primeiras potências calculadas e escreva o padrão com $n$. A banca quer ver de onde veio a regra.

Transposta do produto e matriz inversa

Ao transpor um produto, a ordem dos fatores se inverte: $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$. A inversa $A^{-1}$ é a matriz que, multiplicada por $A$, dá a identidade: $A\cdot A^{-1}=I$. Ela só existe quando o determinante de $A$ não é zero, assunto da página de determinantes. Com a inversa, o sistema $A\cdot X=B$ se resolve como $X=A^{-1}\cdot B$, sempre com $A^{-1}$ à esquerda.

Também cai em: matrizes e operações na FUVEST (programa 2026), na UFPR e na UFSC (programa 2027), segundo os programas oficiais.

6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de matriz.

Trocar linha por coluna. $a_{ij}$ é linha $i$, coluna $j$; uma matriz $3\times2$ tem 3 linhas. Veja na questão de 2017.
Somar a direção errada. Leia o que a linha e a coluna representam antes de somar ou multiplicar. Veja na questão de 2020, e no ENEM em 2018 e em 2019.
Esquecer o significado do produto. O elemento do produto responde a uma pergunta do contexto. Veja na questão de 2025.
Multiplicar elemento por elemento quando a questão pede o produto de matrizes. Produto é linha por coluna.
Supor que $A\cdot B=B\cdot A$. A ordem muda o resultado e pode até impedir a conta.
Somar matrizes de ordens diferentes. Soma e subtração só existem com a mesma ordem.

7 · DESAFIO

Médias do boletim calculadas com produto de matrizes.

Antes de olhar as alternativas, escreva a ordem da tabela de notas e a ordem do resultado que você quer. Depois veja qual matriz encaixa entre as duas. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2012 · Questão 169 Média

Médias com produto de matrizes

Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

Tabela de notas com 4 linhas (Matemática, Português, Geografia, História) e 4 colunas (1º a 4º bimestre). Matemática 5,9; 6,2; 4,5; 5,5. Português 6,6; 7,1; 6,5; 8,4. Geografia 8,6; 6,8; 7,8; 9,0. História 6,2; 5,6; 5,9; 7,7.

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

Ver uma pista

A média de cada disciplina é a soma das 4 notas da linha dividida por 4. No produto de matrizes, linha vezes coluna: que coluna faz isso?

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a matriz que, multiplicada à direita da tabela, devolve a média de cada linha.
ESTRUTURAR
- Matriz de notas: 4 × 4 (disciplinas nas linhas, bimestres nas colunas).
- Média: soma da linha dividida por 4.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escolher uma coluna 4 × 1 com todos os termos iguais a um quarto.
A armadilha: escolher a linha de quartos (alternativa B). Ela tem os números certos, mas é uma matriz 1 × 4, e a tabela 4 × 4 não pode ser multiplicada por ela à direita.
CALCULAR
Linha de Matemática vezes a coluna de quartos:
\[5{,}9 \cdot \tfrac{1}{4} + 6{,}2 \cdot \tfrac{1}{4} + 4{,}5 \cdot \tfrac{1}{4} + 5{,}5 \cdot \tfrac{1}{4} = \frac{22{,}1}{4} = 5{,}525\]
O resultado é uma coluna 4 × 1 com as quatro médias.
CONFERIR
A coluna de 1s daria a soma das notas (22,1), e a de meios, o dobro da média; só a de quartos dá a média ✓.

Resposta: E

Leve para outras questões: antes de multiplicar matrizes, confira as ordens; o número de colunas da primeira tem de ser igual ao de linhas da segunda.

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8 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Qual é a ordem da matriz $\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$? Quanto vale $a_{21}$?
Ver resposta
$2\times3$: 2 linhas e 3 colunas. $a_{21}=4$ (linha 2, coluna 1).
2
Construa $A=(a_{ij})_{2\times2}$ com $a_{ij}=3i-j$.
Ver resposta
$A=\begin{bmatrix}2&1\\5&4\end{bmatrix}$.
3
Qual é a transposta de $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$?
Ver resposta
$\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}$.
4
Para que valores $\begin{bmatrix}x&3\\1&2y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&3\\1&8\end{bmatrix}$?
Ver resposta
$x=5$ e $2y=8$, ou seja, $y=4$.
5
Calcule $\begin{bmatrix}1&-2\\0&3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2&1\\4&-1\end{bmatrix}$.
Ver resposta
$\begin{bmatrix}1+4&-2+2\\0+8&3-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&0\\8&1\end{bmatrix}$.
6
$A$ é $2\times3$ e $B$ é $3\times4$. Existe $A\cdot B$? E $B\cdot A$?
Ver resposta
$A\cdot B$ existe e é $2\times4$. $B\cdot A$ não existe, porque $B$ tem 4 colunas e $A$ tem 2 linhas.
7
Calcule $\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$.
Ver resposta
$\begin{bmatrix}1\cdot2+2\cdot1\\0\cdot2+3\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$.
8
Calcule $A^2$ para $A=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$.
Ver resposta
$\begin{bmatrix}4&3\\0&1\end{bmatrix}$. Note que não é elevar cada elemento ao quadrado.
9
Resolva $2X+\begin{bmatrix}1&3\\5&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&3\\9&1\end{bmatrix}$.
Ver resposta
$2X=\begin{bmatrix}2&0\\4&-6\end{bmatrix}$, então $X=\begin{bmatrix}1&0\\2&-3\end{bmatrix}$.
10
Qual é o traço de $\begin{bmatrix}4&1&0\\2&-3&5\\7&1&6\end{bmatrix}$?
Ver resposta
$4+(-3)+6=7$.

RESUMO PARA REVISAR

Matrizes em seis linhas.

$a_{ij}$: linha $i$, coluna $j$. Diga o que a linha e a coluna significam antes de calcular.
Transposta: linhas viram colunas; $m\times n$ vira $n\times m$.
Soma e número vezes matriz: posição por posição, com a mesma ordem.
$A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=C_{m\times p}$: os números de dentro iguais, os de fora dão a ordem.
Produto é linha por coluna, somando. $A\cdot B\neq B\cdot A$ em geral.
O elemento do produto responde a uma pergunta: o assunto do meio some.

Treinar matrizes no Banco Seguir para Determinantes

Tipo	Como reconhecer
Linha / coluna	uma linha só (\(1\times n\)) ou uma coluna só (\(m\times1\))
Nula	todos os elementos iguais a 0
Quadrada	mesmo número de linhas e colunas; tem diagonal principal \(a_{11},a_{22},\dots\)
Diagonal	quadrada, com zeros fora da diagonal principal
Triangular	quadrada, com zeros só acima (ou só abaixo) da diagonal
Identidade \(I_n\)	1 na diagonal principal e 0 no resto; \(A\cdot I=A\)
Simétrica	\(A^t=A\), ou seja, \(a_{ij}=a_{ji}\)
Traço	soma da diagonal principal

Antes da conta, descubra o que é linha e o que é coluna.

Matriz é uma tabela, e cada posição tem um significado.

No ENEM, a mesma ideia: some na direção certa

Uma regra pode gerar a matriz inteira, posição por posição.

Transposta: linhas viram colunas

Igualdade de matrizes

Somar matrizes é somar posição com posição.

Multiplica-se linha por coluna, e o assunto "de dentro" some.

Sistema como produto e potências que se repetem.

Forma matricial de um sistema

Potências: calcule poucas e procure o padrão

Transposta do produto e matriz inversa

Os seis erros que mais derrubam questão de matriz.

Médias do boletim calculadas com produto de matrizes.

Dez contas para fixar, com resposta.

Matrizes em seis linhas.