Questão 17 PAVE 3 2019: Matrizes: matriz de adjacência simétrica (resolvida)

Uma empresa de transporte rodoviário da região Sul do estado, tem um diagrama que representa um sistema de relações entre os trajetos de sua frota de veículos.

Admite-se que i, j referem-se às cidades e variam de forma que: Pelotas = 1; Rio Grande = 2; Porto Alegre = 3; Santa Maria = 4 e Ijuí = 5. Nesse sentido, podemos construir uma matriz A = [a_{ij}]_{5 \times 5} que represente esses trajetos de acordo com:

a_{ij} \left\{ \begin{array}{c} 1 \text{ se } i \text{ está ligado diretamente a } j \\ 0 \text{ se } i = j \text{ ou } i \text{ não está ligado diretamente a } j \end{array} \right\}

Assim, é correto afirmar que

(A)

a matriz A é antissimétrica.

(B)

a matriz A é uma matriz identidade.

(C)

o traço da matriz A é diferente de zero.

(D)

a matriz A é simétrica.

(E)

a soma dos elementos da primeira linha é 4.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Matriz simétrica: aᵢⱼ = aⱼᵢ para todos i e j.
Antissimétrica: aᵢⱼ = −aⱼᵢ (a diagonal tem de ser zero).
Traço é a soma da diagonal principal.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: montar a matriz das ligações do diagrama e reconhecer a propriedade dela.

ESTRUTURAR

Ligações do diagrama: Pelotas–Rio Grande, Pelotas–Porto Alegre, Pelotas–Santa Maria, Rio Grande–Ijuí, Porto Alegre–Ijuí e Santa Maria–Ijuí.

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Montar a matriz e testar cada alternativa.

A armadilha: na linha de Pelotas, contar também a curva de Rio Grande a Ijuí, que passa por cima do desenho mas não toca Pelotas. Pelotas tem 3 ligações, e não 4.

CALCULAR

Cada ligação vale nos dois sentidos, então a_{ij} = a_{ji}: a matriz é simétrica.

Diagonal: toda zero (a_{ii} = 0 pela regra), então o traço é 0.

Primeira linha (Pelotas): 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 3.

CONFERIR

Confira na matriz: ela é igual à sua transposta ✓.

Por que as outras tentam: A exigiria a_{12} = -a_{21}, mas os dois valem 1. B exigiria 1 na diagonal, e ela é toda zero. C erra o traço, que é 0. E conta 4 ligações para Pelotas, quando são 3.

Resposta

A matriz A é simétrica.

Alternativa correta D