Sendo A uma matriz real de ordem 2 com \det(3A) = -30 e A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & r \\ 6/5 & 3/5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}, a solução do sistema \begin{cases} 3x - 2y = r \\ 7x + 8y = -2r \end{cases}, é
PAVE 3 · 2014
Questão 15 — PAVE 3 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Numa matriz de ordem 2, \det(3A) = 3^2 \det A. Ache \det A, depois \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}, e use isso para descobrir r.
Resolução
O que você precisa saber
- Para matriz de ordem n: det(kA) = kⁿ · det A.
- det(A⁻¹) = 1/det A.
- Sistema homogêneo (termos independentes nulos) com determinante diferente de zero tem só a solução x = 0, y = 0.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de r (tirado das informações sobre A) e, com ele, a solução do sistema.
ESTRUTURAR
• \det(3A) = 9\det A = -30.
• \det A^{-1} = \left(-\frac12\right)\cdot\frac35 - r \cdot \frac65.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar \det A, igualar \det A^{-1} ao inverso e resolver em r. Depois resolver o sistema.
A armadilha: escrever \det(3A) = 3\det A. Em ordem 2, o 3 multiplica as duas linhas e sai ao quadrado.
CALCULAR
\det A = -\frac{30}{9} = -\frac{10}{3} \implies \det A^{-1} = -\frac{3}{10}-\frac{3}{10} - \frac{6r}{5} = -\frac{3}{10} \iff r = 0O sistema fica 3x - 2y = 0 e 7x + 8y = 0, com determinante 3 \cdot 8 - (-2) \cdot 7 = 38 \neq 0. Ele é homogêneo e determinado: a única solução é x = 0, y = 0.
CONFERIR
Testando: 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 = r ✓ e 7 \cdot 0 + 8 \cdot 0 = 0 = -2r ✓.
Por que as outras tentam: A, B e C resolvem o sistema para outros valores de r (38, -38 e 76, respectivamente); são o que se obtém com um r errado. D nem satisfaz a relação entre as duas equações para algum r.
Resposta
x = 0, y = 0.
Alternativa correta
E