Sendo n um número escolhido ao acaso no conjunto \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}, a probabilidade da equação x^2 + y^2 - \left(\frac{4n + 5}{3}\right) = 0 representar uma circunferência de raio maior que 2 é
PAVE 3 · 2014
Questão 14 — PAVE 3 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A equação é x^2 + y^2 = \frac{4n + 5}{3}: o lado direito é R^2. Raio maior que 2 quer dizer R^2 > 4. Quantos n do conjunto servem?
Resolução
O que você precisa saber
- x² + y² = R² é a circunferência de centro na origem e raio R.
- R > 2 equivale a R² > 4 (com R positivo).
- Probabilidade = casos favoráveis ÷ casos possíveis.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: em quantos dos 11 valores de n a equação é uma circunferência de raio maior que 2.
ESTRUTURAR
• R^2 = \frac{4n + 5}{3}.
• Condição: \frac{4n + 5}{3} > 4.
• Casos possíveis: 11.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver a inequação em n e contar os inteiros do conjunto que a satisfazem.
A armadilha: comparar R^2 com 2 em vez de 4 (esquecer de elevar o 2 ao quadrado).
CALCULAR
\frac{4n + 5}{3} > 4 \iff 4n + 5 > 12 \iff n > \frac{7}{4} = 1{,}75Valores do conjunto: n \in \{2, 3, 4, 5\}, 4 casos.
P = \frac{4}{11}CONFERIR
Teste: n = 2 dá R^2 = \frac{13}{3} \approx 4{,}33 > 4 ✓; n = 1 dá R^2 = 3 < 4, raio \sqrt3 \approx 1{,}73, que fica de fora ✓.
Por que as outras tentam: C (\frac{5}{11}) usa R^2 > 2, que inclui o n = 1. A (\frac{3}{11}) perde um dos quatro casos. D e E aparecem quando se acha que nenhum ou todos os valores servem.
Resposta
\frac{4}{11}.
Alternativa correta
B