Um ponto P, sobre a reta r de equação 3x + 2y = 6, tem ordenada negativa. Essa reta intercepta os eixos x e y nos pontos A e B, respectivamente. Considerando O a origem do sistema de coordenadas e que os triângulos AOP e AOB têm áreas de mesma medida, é correto afirmar que a abscissa do ponto P é
PAVE 3 · 2014
Questão 13 — PAVE 3 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os dois triângulos têm o lado OA em comum, sobre o eixo x. Com a mesma base, áreas iguais exigem a mesma altura: a distância de P ao eixo x é igual à de B.
Resolução
O que você precisa saber
- Interseção com o eixo x: faça y = 0; com o eixo y: faça x = 0.
- Área do triângulo = base × altura ÷ 2.
- A altura relativa a uma base sobre o eixo x é o módulo da ordenada do terceiro vértice.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a abscissa de P, ponto da reta abaixo do eixo x, que faz o triângulo AOP ter a mesma área de AOB.
ESTRUTURAR
• A = (2, 0) e B = (0, 3).
• Área de AOB: \frac{2 \cdot 3}{2} = 3.
• Área de AOP: base OA = 2 e altura |y_P|, então vale |y_P|.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar as áreas para achar y_P e voltar na reta para achar x_P.
A armadilha: usar como triângulo AOP o de catetos |x_P| e |y_P| (área \frac{|x_P \cdot y_P|}{2}). Esse é o triângulo com vértice em (x_P, 0), e não em A.
CALCULAR
|y_P| = 3 \text{ e } y_P < 0 \implies y_P = -33x_P + 2(-3) = 6 \iff 3x_P = 12 \iff x_P = 4CONFERIR
P = (4, -3) está na reta: 12 - 6 = 6 ✓. Área de AOP: base OA = 2 e altura |-3| = 3, área \frac{2 \cdot 3}{2} = 3, igual à de AOB ✓.
Por que as outras tentam: A e B saem da armadilha: \frac{|x_P \cdot y_P|}{2} = 3 com y_P = \frac{6 - 3x_P}{2} dá x_P^2 - 2x_P - 4 = 0, ou seja, x_P = 1 \pm \sqrt5. D (3) dá y_P = -\frac32 e área \frac32, metade da certa. E não sai de uma conta direta.
Resposta
A abscissa de P é 4.
Alternativa correta
C