A localização de uma cidade \mathbf{A} é representada, no plano cartesiano retangular, pelo ponto de coordenadas (2,3) e a de uma cidade \mathbf{B} pelo ponto de coordenadas (8,9). Um automóvel partindo de A, por uma estrada em linha reta, pretendia chegar em B, mas teve uma pane após percorrer 1/3 do trajeto. Quais são as coordenadas do ponto que representa o local da estrada onde o automóvel parou?
PAVE 3 · 2013
Questão 13 — PAVE 3 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
De A até B, o x aumenta 6 e o y aumenta 6. Em \frac13 do caminho, quanto cada um já aumentou?
Resolução
O que você precisa saber
- Ponto a uma fração k do caminho de A até B: P = A + k · (B − A).
- Num segmento de reta, x e y avançam na mesma proporção.
- Ponto médio é o caso k = 1/2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ponto do segmento AB que está a \frac13 do caminho, a partir de A.
ESTRUTURAR
• A = (2, 3), B = (8, 9).
• B - A = (6, 6).
• P = A + \frac13(B - A).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar a A um terço do deslocamento.
A armadilha: tomar \frac13 das coordenadas de B, ou partir de B em vez de A. O ponto de pane fica perto de A, a \frac13 do caminho, e não a \frac13 de B.
CALCULAR
P = (2, 3) + \frac13(6, 6) = (2 + 2,\ 3 + 2) = (4, 5)CONFERIR
AP = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2 e AB = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2: \frac{AP}{AB} = \frac13 ✓. E P está na reta y = x + 1, como A e B ✓.
Por que as outras tentam: D (5, 4) troca as coordenadas e não está na estrada. A, B e E também ficam fora da reta y = x + 1. B (\frac{10}{3}, 4) mistura uma fração no x com o passo certo no y.
Resposta
O automóvel parou em (4, 5).
Alternativa correta
C