Qual é a relação entre os determinantes das matrizes dadas abaixo?
A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ e & 1 & f \\ g & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad B = \begin{pmatrix} a - 3 & c & b \\ e & f & 1 \\ g & 1 & 0 \end{pmatrix}PAVE 3 · 2013
Questão 12 — PAVE 3 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Repare que B é A com a 2ª e a 3ª colunas trocadas, e com a trocado por a - 3. Trocar duas colunas muda o sinal do determinante. E o que o "−3" faz?
Resolução
O que você precisa saber
- Trocar duas colunas (ou linhas) troca o sinal do determinante.
- O determinante é linear em cada coluna: dá para separar a 1ª coluna (a − 3, e, g) em (a, e, g) + (−3, 0, 0).
- Regra de Sarrus para matrizes 3 × 3.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever \det(B) em função de \det(A).
ESTRUTURAR
• \det(A) = a \cdot 1 \cdot 1 + b \cdot f \cdot g + c \cdot e \cdot 0 - c \cdot 1 \cdot g - a \cdot f \cdot 0 - b \cdot e \cdot 1.
• \det(B) pela mesma regra.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular os dois determinantes por Sarrus e comparar.
A armadilha: ver só a troca de colunas e marcar -\det(A) com o -3 junto (alternativa B). A troca muda o sinal da parte que vem de A, mas o -3 no lugar de a entra multiplicado por f \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1, e vira +3.
CALCULAR
\det(A) = a + bfg - cg - be\det(B) = (a - 3)(f \cdot 0 - 1 \cdot 1) - c(e \cdot 0 - 1 \cdot g) + b(e \cdot 1 - f \cdot g)\det(B) = -a + 3 + cg + be - bfg = -(a + bfg - cg - be) + 3\det(B) = -\det(A) + 3CONFERIR
Teste numérico com a = b = c = e = f = g = 0: \det(A) = 0 e \det(B) = (-3)(0 - 1) = 3; e -0 + 3 = 3 ✓. Outro teste, com a = 1 e o resto 0: \det(A) = 1 e \det(B) = (1 - 3)(-1) = 2 = -1 + 3 ✓.
Por que as outras tentam: A esquece a troca de sinal pela troca de colunas. B erra o sinal do 3. C e E tratam o "−3" como se multiplicasse a matriz inteira, e não como uma alteração de um só elemento.
Resposta
\det(B) = -\det(A) + 3.
Alternativa correta
D