Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere a seguinte matriz:
A = \begin{pmatrix} \operatorname{sen}\theta & 7 & -\cos\theta \\ \cos\theta & 7 & \operatorname{sen}\theta \\ \operatorname{sen}\theta & 13 & \cos\theta \end{pmatrix}Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de \theta \in [0, \pi] que satisfazem \det A = -13.
Expanda o determinante e agrupe: aparecem \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta, 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta e \cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta.
O que a questão quer de verdade: resolver \det A = -13 em [0, \pi] e somar as soluções.
Pela 1ª linha (escrevendo s = \operatorname{sen}\theta e c = \cos\theta):
s(7c - 13s) - 7(c^2 - s^2)\quad - c(13c - 7s)= 14sc - 13s^2 - 13c^2 - 7c^2 + 7s^2= 7 \cdot 2sc - 13(s^2 + c^2) - 7(c^2 - s^2)Trocar por arcos duplos: \det A = 7\operatorname{sen}2\theta - 13 - 7\cos 2\theta.
A armadilha: resolver \tan 2\theta = 1 e esquecer a segunda volta. Com 2\theta \in [0, 2\pi], há duas soluções para 2\theta, não uma. Ficar só com \theta = \frac{\pi}{8} não dá nenhuma alternativa.
Em \theta = \frac{\pi}{8}, 2\theta = \frac{\pi}{4}: seno e cosseno valem \frac{\sqrt{2}}{2}, e \det A = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 13 - 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -13. Em \frac{5\pi}{8}, os dois valem -\frac{\sqrt{2}}{2}, e a conta também dá -13. Alternativa C.
\dfrac{3\pi}{4}.
