DETERMINANTES E MATRIZ INVERSA

Um número só que diz se a matriz tem volta.

O determinante resume uma matriz quadrada num único número. Ele decide se existe inversa, se um sistema tem solução única, se três pontos estão alinhados e qual é a área de um triângulo no plano. Esta página ensina a calcular sem errar sinal, a usar as propriedades para economizar conta e a aplicar tudo isso em questões reais do PAVE.

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1 · DETERMINANTE DE ORDEM 2

Diagonal principal menos diagonal secundária.

Só matriz quadrada tem determinante. Ele é indicado com barras retas, \(\det A\) ou \(|A|\). Para ordem 1, é o próprio elemento. Para ordem 2:

\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\qquad\begin{vmatrix}4&3\\2&5\end{vmatrix}=20-6=14\]

Determinante com incógnita vira equação. Por exemplo, \(\begin{vmatrix}x&2\\3&x\end{vmatrix}=10\) dá \(x^2-6=10\), ou seja, \(x=4\) ou \(x=-4\). Confira as duas raízes: a questão pode pedir só a positiva.

O sinal de menos vale para o produto inteiro da secundária. Com números negativos, use parênteses: \(\begin{vmatrix}2&-1\\3&4\end{vmatrix}=2\cdot4-(-1)\cdot3=8+3=11\).

O que esse número mede

As colunas \((a,c)\) e \((b,d)\) podem ser vistas como duas setas que saem da origem. Elas formam um paralelogramo, e a área desse paralelogramo é \(|ad-bc|\). Quando o determinante é zero, as setas estão na mesma reta e o paralelogramo "achata": a matriz perde informação e não tem como ser desfeita.

Determinante como áreaMalha quadriculada com duas setas saindo da origem: uma até o ponto 3, 1 e outra até o ponto 1, 2. Elas formam um paralelogramo dourado de área 5, que é o determinante 3 vezes 2 menos 1 vezes 1. (3, 1)(1, 2) 5 3·2 − 1·1 = 5
\(\begin{vmatrix}3&1\\1&2\end{vmatrix}=5\): o paralelogramo dourado tem área 5.
2 · DETERMINANTE DE ORDEM 3

Regra de Sarrus: três produtos somam, três subtraem.

Repita as duas primeiras colunas à direita. Some os três produtos que descem para a direita e subtraia os três que descem para a esquerda:

\[\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)\]

Exemplo. Para \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{vmatrix}\):

\[(0+40+0)-(15+24+0)=40-39=1\]
Escreva os seis produtos antes de somar. O erro mais comum é de sinal: um produto com um número negativo, ou um produto da direita que foi somado em vez de subtraído.

Sarrus vale só para ordem 3.

Regra de SarrusMatriz 3 por 3 com as letras a até i e, à direita, as duas primeiras colunas repetidas. Três setas azuis descem para a direita, com sinal mais, e três setas douradas descem para a esquerda, com sinal menos. abcabdefdeghigh azul: soma (+) dourado: subtrai (−)
Os seis produtos da regra de Sarrus: três somam, três subtraem.

Linha ou coluna com zeros: desenvolvimento de Laplace

Escolha a fila com mais zeros. Cada elemento dela é multiplicado pelo determinante que sobra quando se apagam a sua linha e a sua coluna, com sinal alternado em xadrez (\(+\,-\,+\) na primeira linha). Elementos iguais a zero somem da conta.

Laplace funciona para qualquer ordem, inclusive 4 ou mais, onde Sarrus não vale.

Exemplo. A 1ª coluna de \(\begin{vmatrix}2&1&3\\0&4&1\\0&5&2\end{vmatrix}\) tem dois zeros. Sobra só o termo do 2:

\[2\cdot\begin{vmatrix}4&1\\5&2\end{vmatrix}=2\cdot(8-5)=6\]
PAVE 3 2024 · Questão 23 Fácil–média

Determinante com incógnita

As inundações no Rio Grande do Sul, em maio deste ano, afetaram mais de 2 milhões de pessoas. O número de mortos em decorrência das enchentes que atingiram o estado aumentou para 177 nesta terça-feira (18 de junho) e há 37 pessoas desaparecidas.

De acordo com balanço divulgado pela Defesa Civil, o estado ainda conta com 478 municípios afetados pelas fortes chuvas. Cerca de 10 mil pessoas continuam em abrigos.

Referência: Adaptado de https://sul21.com.br/noticias/geral/2024/06/mortes-por-enchentes-no-rio-grande-do-sul-chegam-a-177/. Acesso em: 19/06/2024.

Para entender a dinâmica das famílias deslocadas pelos efeitos das enchentes no Rio Grande do Sul, foi conduzida uma pesquisa em abrigos. Um grupo de 350 mães foi entrevistado em um abrigo na cidade de Porto Alegre. Foi analisado que o número médio de filhos \(n(x)\) que cada mãe possui pode ser modelado pela determinante da matriz \(A\), onde:

\[A = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 3 & -2 \\ -1 & 1 & x \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}.\]

Utilizando \(n(x) = \det A\), determine a expressão que indica o número médio de filhos que cada mãe tem como função \(n(x)\):

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Use a regra de Sarrus ou desenvolva pela 1ª coluna, que tem um zero. Cuidado com os sinais dos produtos que descem da direita para a esquerda.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: \(\det A\) escrito como expressão em \(x\). O número 350 é contexto e não entra na conta.

  2. ESTRUTURAR

    Desenvolvendo pela 1ª linha, os três menores são:

    - de \(\frac{1}{3}\): \(\begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - x\);

    - de \(3\): \(\begin{vmatrix} -1 & x \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2\);

    - de \(-2\): \(\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Montar \(\det A = \frac{1}{3}(2 - x) - 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-1)\), com os sinais + − + da 1ª linha, e conferir por Sarrus.

    A armadilha: esquecer o sinal "−" do cofator do meio. Aí o termo \(+6\) vira \(-6\) e o resultado sai \(\frac{-10 - x}{3}\), que nem está nas alternativas; quem não confere acaba chutando.

  4. CALCULAR
    \[\det A = \frac{2 - x}{3} + 6 + 2 = \frac{2 - x}{3} + \frac{24}{3} = \frac{26 - x}{3}\]

    Por Sarrus: diagonais principais \(\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) \cdot 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}\); diagonais secundárias \((-2) \cdot 1 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot x \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \cdot 2 = \frac{x}{3} - 6\).

    \[\det A = \frac{8}{3} - \left(\frac{x}{3} - 6\right) = \frac{26 - x}{3}\]
  5. CONFERIR

    Teste com \(x = 2\): a 2ª linha fica \((-1, 1, 2)\), e \(\det A = \frac{1}{3}(2 - 2) + 6 + 2 = 8\). Pela fórmula, \(\frac{26 - 2}{3} = 8\) ✓.

    Por que as outras tentam: B (\(\frac{x}{3}\)) guarda só o termo com \(x\) da conta, e com o sinal trocado. C, D e E não saem de um erro direto de sinal nessa conta; o teste com \(x = 2\) elimina todas (dão \(4\), \(\frac{11}{3}\) e \(\frac{20}{3}\)).

Resposta: A

Leve para outras questões: num determinante com letra, depois de calcular, teste um valor simples da letra na matriz e na resposta. Se os dois baterem, a conta está certa.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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PAVE 3 2013 · Questão 12 Média

Colunas trocadas e um elemento mudado

Qual é a relação entre os determinantes das matrizes dadas abaixo?

\[A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ e & 1 & f \\ g & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad B = \begin{pmatrix} a - 3 & c & b \\ e & f & 1 \\ g & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

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Repare que \(B\) é \(A\) com a 2ª e a 3ª colunas trocadas, e com \(a\) trocado por \(a - 3\). Trocar duas colunas muda o sinal do determinante. E o que o "−3" faz?

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: escrever \(\det(B)\) em função de \(\det(A)\).

  2. ESTRUTURAR

    • \(\det(A) = a \cdot 1 \cdot 1 + b \cdot f \cdot g + c \cdot e \cdot 0 - c \cdot 1 \cdot g - a \cdot f \cdot 0 - b \cdot e \cdot 1\).

    • \(\det(B)\) pela mesma regra.

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular os dois determinantes por Sarrus e comparar.

    A armadilha: ver só a troca de colunas e marcar \(-\det(A)\) com o \(-3\) junto (alternativa B). A troca muda o sinal da parte que vem de \(A\), mas o \(-3\) no lugar de \(a\) entra multiplicado por \(f \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1\), e vira \(+3\).

  4. CALCULAR
    \[\det(A) = a + bfg - cg - be\]
    \[\det(B) = (a - 3)(f \cdot 0 - 1 \cdot 1) - c(e \cdot 0 - 1 \cdot g) + b(e \cdot 1 - f \cdot g)\]
    \[\det(B) = -a + 3 + cg + be - bfg = -(a + bfg - cg - be) + 3\]
    \[\det(B) = -\det(A) + 3\]
  5. CONFERIR

    Teste numérico com \(a = b = c = e = f = g = 0\): \(\det(A) = 0\) e \(\det(B) = (-3)(0 - 1) = 3\); e \(-0 + 3 = 3\) ✓. Outro teste, com \(a = 1\) e o resto 0: \(\det(A) = 1\) e \(\det(B) = (1 - 3)(-1) = 2 = -1 + 3\) ✓.

    Por que as outras tentam: A esquece a troca de sinal pela troca de colunas. B erra o sinal do 3. C e E tratam o "−3" como se multiplicasse a matriz inteira, e não como uma alteração de um só elemento.

Resposta: D

Leve para outras questões: antes de calcular, compare as matrizes. Troca de colunas muda o sinal; mexer em um só elemento soma "(mudança) × (cofator)". Aqui o cofator de \(a - 3\) em \(B\) vale \(-1\).

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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3 · PROPRIEDADES

Muitas vezes dá para saber o determinante sem calcular.

  • TROCAR DUAS FILAS

    Trocar duas linhas (ou duas colunas) de lugar troca o sinal do determinante.

  • DETERMINANTE ZERO

    Se há uma fila de zeros, duas filas iguais ou duas filas proporcionais, o determinante é 0.

  • UMA FILA VEZES \(k\)

    Multiplicar uma única linha por \(k\) multiplica o determinante por \(k\).

  • MATRIZ INTEIRA VEZES \(k\)

    \(\det(kA)=k^n\cdot\det A\): cada uma das \(n\) linhas leva um fator \(k\). Com \(n=2\): \(\det(2A)=4\det A\).

  • TRANSPOSTA E PRODUTO

    \(\det(A^t)=\det A\) e \(\det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B\).

  • TRIANGULAR

    Com zeros só abaixo (ou só acima) da diagonal, o determinante é o produto da diagonal principal.

Exemplo. \(A\) é de ordem 3 e \(\det A=2\). Então \(\det(3A)=3^3\cdot2=54\), e não \(3\cdot2=6\).

Exemplo. \(\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\7&0&5\end{vmatrix}=0\) sem conta nenhuma: a 2ª linha é o dobro da 1ª.

Por que \(k^n\)? Volte à figura do paralelogramo: dobrar a matriz de ordem 2 dobra as duas setas, e a área fica 4 vezes maior, como em qualquer ampliação de lado 2. Em ordem 3, o determinante mede um volume, e dobrar as três arestas multiplica o volume por 8.

Antes de aplicar Sarrus, procure atalhos: filas proporcionais, uma fila de zeros, uma matriz triangular. Em prova, isso economiza tempo e evita erro de sinal.
4 · MATRIZ INVERSA

A inversa desfaz a matriz, e só existe se o determinante não for zero.

A inversa de uma matriz quadrada \(A\) é a matriz \(A^{-1}\) com \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\). É o papel que \(\frac{1}{5}\) faz para o número 5. Para ordem 2:

\[A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]

Troque de lugar os elementos da diagonal principal, troque o sinal dos da secundária e divida tudo pelo determinante. Se \(ad-bc=0\), a divisão é impossível: não existe inversa, e a matriz se chama singular.

  • EXISTE INVERSA?Só quando \(\det A\neq0\).
  • DETERMINANTE DA INVERSA\(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}\), porque \(\det A\cdot\det A^{-1}=\det I=1\).
  • EXEMPLO\(A=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\): \(\det A=1\), então \(A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\end{bmatrix}\).

Para que serve. Um sistema escrito como \(A\cdot X=B\) se resolve como \(X=A^{-1}\cdot B\), do mesmo jeito que \(3x=12\) se resolve multiplicando por \(\frac13\). Com a inversa do exemplo e \(B=\begin{bmatrix}5\\9\end{bmatrix}\), sai \(X=\begin{bmatrix}2\cdot5-1\cdot9\\-5\cdot5+3\cdot9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\).

Em ordem 3, a inversa dá muito trabalho à mão. Na prova, quase sempre basta saber se ela existe (\(\det A\neq0\)) ou usar \(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\).

Para conferir, multiplique \(A\cdot A^{-1}\): tem de dar a identidade. No exemplo, a linha 1 de \(A\) vezes a coluna 1 da inversa dá \(3\cdot2+1\cdot(-5)=1\).

PAVE 3 2015 · Questão 11 Média

Inversa com elementos vindos de um sistema

Dada a matriz \(A = \begin{bmatrix} m & -1 \\ 5 & n \end{bmatrix}\), sabe-se que \((m, n)\) satisfaz o sistema

\[\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = -3 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} = 7 \end{cases}\]

Nessas condições, a matriz inversa de A é

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Primeiro resolva o sistema: \(x = m\) e \(y = n\). Para a inversa 2 × 2: troque de lugar os elementos da diagonal principal, troque o sinal dos outros dois e divida tudo pelo determinante.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: os valores \(m\) e \(n\) (a solução do sistema) e, com eles, a inversa de \(A\).

  2. ESTRUTURAR

    Sistema sem frações (a 1ª equação vezes 12 e a 2ª vezes 10), com \(x = m\) e \(y = n\):

    \[4x - 3y = -36 \qquad 5x + 2y = 70\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Resolver por adição, montar \(A\) e usar a fórmula da inversa 2 × 2.

    A armadilha: na inversa, trocar o sinal da diagonal principal (e não da secundária), ou esquecer de dividir pelo determinante.

  4. CALCULAR

    Multiplicando a 1ª por 2 e a 2ª por 3 e somando: \(8x + 15x = -72 + 210\), ou seja, \(23x = 138\), \(x = 6\). Então \(4 \cdot 6 - 3y = -36\), \(y = 20\).

    \[A = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ 5 & 20 \end{bmatrix} \qquad \det A = 6 \cdot 20 - (-1) \cdot 5 = 125\]
    \[A^{-1} = \frac{1}{125}\begin{bmatrix} 20 & 1 \\ -5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{25} & \frac{1}{125} \\ -\frac{1}{25} & \frac{6}{125} \end{bmatrix}\]
  5. CONFERIR

    No sistema: \(\frac63 - \frac{20}{4} = 2 - 5 = -3\) ✓ e \(\frac62 + \frac{20}{5} = 3 + 4 = 7\) ✓. Produto: \(A \cdot \frac{1}{125}\begin{bmatrix} 20 & 1 \\ -5 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{125}\begin{bmatrix} 120 + 5 & 6 - 6 \\ 100 - 100 & 5 + 120 \end{bmatrix} = I\) ✓.

    Por que as outras tentam: B tem uma coluna de zeros, então nem é inversível. A e C misturam elementos certos (\(\frac{4}{25}\), \(\frac{6}{125}\), 25, 125) em posições erradas. D embaralha os elementos da inversa correta; multiplicando \(A\) por D não sai a identidade.

Resposta: E

Leve para outras questões: inversa 2 × 2 é "troca a diagonal principal, troca o sinal da secundária, divide pelo determinante". Na dúvida entre alternativas, multiplique uma linha de \(A\) por uma coluna da candidata: tem de dar 1 ou 0.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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5 · APLICAÇÕES

Sistemas e geometria analítica usam o mesmo número.

Sistema com solução única

Num sistema com o mesmo número de equações e incógnitas, se o determinante dos coeficientes é diferente de zero, há uma única solução. Se é zero, o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma, e é preciso escalonar para decidir. Veja em sistemas lineares.

Três pontos no plano

Com \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) e \(C(x_3,y_3)\), monte o determinante com uma coluna de 1:

\[D=\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\qquad D=0\iff\text{alinhados}\qquad \text{Área}=\frac{|D|}{2}\]

Exemplo. \((0,1)\), \((1,3)\) e \((2,5)\) dão \(D=0\): estão todos na reta \(y=2x+1\). Já \((1,1)\), \((4,2)\) e \((2,5)\) dão \(D=11\), e o triângulo tem área \(\frac{11}{2}=5{,}5\).

Alinhados ou triânguloÀ esquerda, três pontos sobre uma mesma reta, com a legenda D igual a 0, alinhados. À direita, três pontos que formam um triângulo azul, com a legenda D igual a 11, área 11 sobre 2. D = 0: alinhadosD = 11: área 11/2
Determinante zero: não há triângulo. Diferente de zero: a área é metade do módulo.
PAVE 3 2018 · Questão 15 Fácil–média

Triângulo ou pontos alinhados?

Um professor de Matemática do Ensino Médio informou aos estudantes os pontos A (–2 , 1); B( 1 , 3) e C (– 4 , – 2) como vértices de um suposto triângulo. Desta forma, ele deixou a possibilidade de os alunos desenharem ou não um triângulo. Além disso, o professor intencionava verificar a compreensão dos estudantes sobre as condições de alinhamento de três pontos. Os alunos descobriram que:

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Monte o determinante com as coordenadas e uma coluna de 1. Se der 0, os pontos estão alinhados; se não der, eles formam um triângulo.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: decidir, pelo determinante, se A, B e C estão alinhados ou formam um triângulo.

  2. ESTRUTURAR
    \[D = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -4 & -2 & 1 \end{vmatrix}\]

    Se \(D = 0\), os pontos estão alinhados e não há triângulo. Se \(D \neq 0\), os pontos não estão alinhados e o triângulo existe.

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular o determinante pela regra de Sarrus.

    A armadilha: errar um sinal nos produtos com coordenadas negativas. Um sinal trocado muda o valor do determinante e pode mudar a conclusão.

  4. CALCULAR

    Diagonais principais: \((-2) \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot (-2) = -6 - 4 - 2 = -12\).

    Diagonais secundárias: \(1 \cdot 3 \cdot (-4) + (-2) \cdot 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot 1 = -12 + 4 + 1 = -7\).

    \[D = -12 - (-7) = -5\]

    Como \(D \neq 0\), os pontos não estão alinhados e formam um triângulo.

  5. CONFERIR

    Pelas inclinações: de A para B, \(\frac{3 - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}\); de A para C, \(\frac{-2 - 1}{-4 - (-2)} = \frac{3}{2}\). São diferentes, então os pontos não estão alinhados ✓. A área do triângulo é \(\frac{|D|}{2} = 2{,}5\).

    Por que as outras tentam: A usa o valor 5 (que sai trocando a ordem dos pontos), mas conclui, errado, que os pontos estão alinhados. B e E juntam "alinhados" com "é possível desenhar o triângulo", o que é contraditório. C traz um determinante (19) que não sai dessas coordenadas.

Plano cartesiano com os pontos A(−2, 1), B(1, 3) e C(−4, −2), que formam um triângulo; o determinante vale −5.

Resposta: D

Leve para outras questões: o alinhamento de três pontos se resolve por determinante ou por inclinações iguais. Leia a alternativa até o fim: o número pode estar certo e a conclusão, errada.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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PAVE 3 2016 · Questão 12 Média

O ponto da reta que dá área 17

Dados os pontos \(A = (2, 3)\), \(B = (5, 1)\) e a reta \(r\) de equação \(2x - y + 5 = 0\), o ponto C, pertencente à \(r\) tal que a área do triângulo ABC seja 17 u.a., tem coordenadas iguais a

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Escreva C com uma letra só: na reta, \(y = 2x + 5\), então \(C = (t,\ 2t + 5)\). A área pelo determinante tem módulo: espere duas respostas.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: os pontos C da reta \(r\) que formam com A e B um triângulo de área 17.

  2. ESTRUTURAR

    • \(C = (t,\ 2t + 5)\).

    • Área: \(\frac12 \left| \det \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ t & 2t + 5 & 1 \end{bmatrix} \right| = 17\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular o determinante em função de \(t\), resolver a equação modular e voltar para as coordenadas.

    A armadilha: esquecer o módulo e achar só um ponto (como em A e B), ou trocar a ordem das coordenadas no fim.

  4. CALCULAR
    \[D = 2 \cdot 1 + 3t + 5(2t + 5) - t - 2(2t + 5) - 15 = 8t + 2\]
    \[\frac{|8t + 2|}{2} = 17 \iff |8t + 2| = 34\]
    \[8t + 2 = 34 \implies t = 4 \qquad 8t + 2 = -34 \implies t = -\frac{9}{2}\]

    Com \(t = 4\): \(C = (4,\ 13)\). Com \(t = -\frac92\): \(C = \left(-\frac92,\ -9 + 5\right) = \left(-\frac92,\ -4\right)\).

  5. CONFERIR

    Os dois pontos estão na reta: \(2 \cdot 4 - 13 + 5 = 0\) ✓ e \(2 \cdot \left(-\frac92\right) - (-4) + 5 = 0\) ✓. Com \(t = 4\), \(D = 34\), e a área é \(\frac{34}{2} = 17\) ✓.

    Por que as outras tentam: A e B dão um ponto só, e nenhum deles está na reta (\(2 \cdot 4 + 5 = 13\), e não \(-4\) ou \(-\frac92\)). C troca as ordenadas entre os dois pontos. D troca \(x\) e \(y\) de cada ponto.

Reta y = 2x + 5 com os pontos A(2, 3) e B(5, 1). Os dois pontos C possíveis, (4, 13) e (−9/2, −4), formam triângulos de área 17.

Resposta: E

Leve para outras questões: ponto sobre uma reta vira um parâmetro só (\(C = (t,\ 2t + 5)\)). Área com determinante tem módulo, e por isso costuma dar duas soluções, uma de cada lado de AB.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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Na prova dissertativa, escreva a matriz montada com as coordenadas, os seis produtos de Sarrus e só depois o resultado. Um sinal errado no meio custa pouco se a banca enxerga o caminho.

Também cai em: determinantes na FUVEST (programa 2026), na UFPR e na UFSC (programa 2027), segundo os programas oficiais.

6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de determinante.

  1. Errar um sinal em Sarrus, principalmente com elementos negativos. Veja na questão de 2018.
  2. Esquecer que trocar filas troca o sinal. Veja na questão de 2013.
  3. Fazer \(\det(kA)=k\cdot\det A\). O certo é \(k^n\cdot\det A\). Veja no desafio de 2014.
  4. Trocar o sinal da diagonal errada na inversa ou esquecer de dividir pelo determinante. Veja na questão de 2015.
  5. Usar Sarrus em matriz de ordem 2 ou 4. Sarrus é só para ordem 3.
  6. Esquecer o módulo na área: área nunca é negativa. Veja na questão de 2016.
7 · DESAFIO

Determinante, inversa e sistema na mesma questão.

Aqui é preciso usar \(\det(kA)\) e \(\det(A^{-1})\) para descobrir um número escondido e só então olhar o sistema. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

PAVE 3 2014 · Questão 15 Média

Do determinante ao sistema

Sendo \(A\) uma matriz real de ordem 2 com \(\det(3A) = -30\) e \(A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & r \\ 6/5 & 3/5 \end{pmatrix}\), \(r \in \mathbb{R}\), a solução do sistema \(\begin{cases} 3x - 2y = r \\ 7x + 8y = -2r \end{cases}\), é

Ver uma pista

Numa matriz de ordem 2, \(\det(3A) = 3^2 \det A\). Ache \(\det A\), depois \(\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}\), e use isso para descobrir \(r\).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o valor de \(r\) (tirado das informações sobre \(A\)) e, com ele, a solução do sistema.

  2. ESTRUTURAR

    • \(\det(3A) = 9\det A = -30\).

    • \(\det A^{-1} = \left(-\frac12\right)\cdot\frac35 - r \cdot \frac65\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Achar \(\det A\), igualar \(\det A^{-1}\) ao inverso e resolver em \(r\). Depois resolver o sistema.

    A armadilha: escrever \(\det(3A) = 3\det A\). Em ordem 2, o 3 multiplica as duas linhas e sai ao quadrado.

  4. CALCULAR
    \[\det A = -\frac{30}{9} = -\frac{10}{3} \implies \det A^{-1} = -\frac{3}{10}\]
    \[-\frac{3}{10} - \frac{6r}{5} = -\frac{3}{10} \iff r = 0\]

    O sistema fica \(3x - 2y = 0\) e \(7x + 8y = 0\), com determinante \(3 \cdot 8 - (-2) \cdot 7 = 38 \neq 0\). Ele é homogêneo e determinado: a única solução é \(x = 0\), \(y = 0\).

  5. CONFERIR

    Testando: \(3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 = r\) ✓ e \(7 \cdot 0 + 8 \cdot 0 = 0 = -2r\) ✓.

    Por que as outras tentam: A, B e C resolvem o sistema para outros valores de \(r\) (38, \(-38\) e 76, respectivamente); são o que se obtém com um \(r\) errado. D nem satisfaz a relação entre as duas equações para algum \(r\).

Resposta: E

Leve para outras questões: \(\det(kA) = k^n \det A\) e \(\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}\). Quando o sistema fica homogêneo com determinante diferente de zero, a resposta é a solução nula, sem conta.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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8 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

  1. 1

    Calcule \(\begin{vmatrix}5&2\\3&4\end{vmatrix}\).

    Ver resposta

    \(5\cdot4-2\cdot3=14\).

  2. 2

    Calcule \(\begin{vmatrix}-2&3\\1&-4\end{vmatrix}\).

    Ver resposta

    \((-2)(-4)-3\cdot1=8-3=5\).

  3. 3

    Calcule \(\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{vmatrix}\).

    Ver resposta

    \((1+12+0)-(0+0+0)=13\).

  4. 4

    Quanto vale \(\begin{vmatrix}3&7&1\\0&2&5\\0&0&4\end{vmatrix}\)?

    Ver resposta

    Triangular: \(3\cdot2\cdot4=24\).

  5. 5

    \(A\) é de ordem 3 e \(\det A=5\). Quanto vale \(\det(2A)\)?

    Ver resposta

    \(2^3\cdot5=40\).

  6. 6

    \(\det A=7\). Trocando a 1ª e a 3ª linhas de \(A\), qual é o novo determinante?

    Ver resposta

    \(-7\).

  7. 7

    Qual é a inversa de \(\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}\)?

    Ver resposta

    \(\det=6-5=1\), então \(\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}\).

  8. 8

    Para que valores de \(k\) a matriz \(\begin{bmatrix}k&2\\8&k\end{bmatrix}\) não tem inversa?

    Ver resposta

    \(k^2-16=0\): \(k=4\) ou \(k=-4\).

  9. 9

    \(\det A=4\). Quanto vale \(\det(A^{-1})\)? E \(\det(A^t)\)?

    Ver resposta

    \(\dfrac14\) e \(4\).

  10. 10

    Os pontos \((1,2)\), \((3,6)\) e \((5,10)\) estão alinhados?

    Ver resposta

    Sim: \(D=1(6-10)+3(10-2)+5(2-6)=-4+24-20=0\). Estão na reta \(y=2x\).

RESUMO PARA REVISAR

Determinantes em seis linhas.

  • Ordem 2: \(ad-bc\). Ordem 3: Sarrus. Qualquer ordem: Laplace pela fila com mais zeros.
  • Fila de zeros, filas iguais ou proporcionais: determinante 0.
  • Trocar filas troca o sinal; \(\det(kA)=k^n\det A\).
  • \(\det(A^t)=\det A\) e \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\).
  • Inversa só se \(\det A\neq0\), e \(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\).
  • Três pontos: \(D=0\) alinhados; senão, área \(\frac{|D|}{2}\).
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