Questão 15 PAVE 3 2018: Geometria analítica: determinante e alinhamento de três pontos (resolvida)

Um professor de Matemática do Ensino Médio informou aos estudantes os pontos A (–2 , 1); B( 1 , 3) e C (– 4 , – 2) como vértices de um suposto triângulo. Desta forma, ele deixou a possibilidade de os alunos desenharem ou não um triângulo. Além disso, o professor intencionava verificar a compreensão dos estudantes sobre as condições de alinhamento de três pontos. Os alunos descobriram que:

(A)

como o determinante é 5, os pontos estão alinhados e, então, não é possível desenhar o triângulo.

(B)

como o determinante é 0 (zero), os pontos estão alinhados e, então, é possível desenhar o triângulo.

(C)

como o determinante é 19, os pontos não estão alinhados e ,então, é possível desenhar o triângulo; logo, os alunos entenderam o conteúdo.

(D)

como o determinante é –5, os pontos não estão alinhados e, assim, é possível desenhar o triângulo.

(E)

como o determinante é –19, os pontos estão alinhados e, por isso, é possível desenhar o triângulo.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Três pontos estão alinhados quando o determinante das coordenadas (com uma coluna de 1) vale 0.
Determinante diferente de 0: os pontos formam um triângulo, de área |D|/2.
Regra de Sarrus: soma dos produtos das diagonais principais menos a soma dos produtos das secundárias.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: decidir, pelo determinante, se A, B e C estão alinhados ou formam um triângulo.

ESTRUTURAR

D = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -4 & -2 & 1 \end{vmatrix}

Se D = 0, os pontos estão alinhados e não há triângulo. Se D \neq 0, os pontos não estão alinhados e o triângulo existe.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular o determinante pela regra de Sarrus.

A armadilha: errar um sinal nos produtos com coordenadas negativas. Um sinal trocado muda o valor do determinante e pode mudar a conclusão.

CALCULAR

Diagonais principais: (-2) \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot (-2) = -6 - 4 - 2 = -12.

Diagonais secundárias: 1 \cdot 3 \cdot (-4) + (-2) \cdot 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot 1 = -12 + 4 + 1 = -7.

D = -12 - (-7) = -5

Como D \neq 0, os pontos não estão alinhados e formam um triângulo.

CONFERIR

Pelas inclinações: de A para B, \frac{3 - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}; de A para C, \frac{-2 - 1}{-4 - (-2)} = \frac{3}{2}. São diferentes, então os pontos não estão alinhados ✓. A área do triângulo é \frac{|D|}{2} = 2{,}5.

Por que as outras tentam: A usa o valor 5 (que sai trocando a ordem dos pontos), mas conclui, errado, que os pontos estão alinhados. B e E juntam "alinhados" com "é possível desenhar o triângulo", o que é contraditório. C traz um determinante (19) que não sai dessas coordenadas.

Resposta

(d) O determinante é -5, os pontos não estão alinhados e é possível desenhar o triângulo.

Alternativa correta D