Dados os pontos A = (2, 3), B = (5, 1) e a reta r de equação 2x - y + 5 = 0, o ponto C, pertencente à r tal que a área do triângulo ABC seja 17 u.a., tem coordenadas iguais a
PAVE 3 · 2016
Questão 12 — PAVE 3 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva C com uma letra só: na reta, y = 2x + 5, então C = (t,\ 2t + 5). A área pelo determinante tem módulo: espere duas respostas.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo de vértices (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃): metade do módulo do determinante.
- Um ponto sobre a reta y = 2x + 5 tem a forma (t, 2t + 5).
- |D| = 34 dá duas equações: D = 34 ou D = −34.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os pontos C da reta r que formam com A e B um triângulo de área 17.
ESTRUTURAR
• C = (t,\ 2t + 5).
• Área: \frac12 \left| \det \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ t & 2t + 5 & 1 \end{bmatrix} \right| = 17.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o determinante em função de t, resolver a equação modular e voltar para as coordenadas.
A armadilha: esquecer o módulo e achar só um ponto (como em A e B), ou trocar a ordem das coordenadas no fim.
CALCULAR
D = 2 \cdot 1 + 3t + 5(2t + 5) - t - 2(2t + 5) - 15 = 8t + 2\frac{|8t + 2|}{2} = 17 \iff |8t + 2| = 348t + 2 = 34 \implies t = 4 \qquad 8t + 2 = -34 \implies t = -\frac{9}{2}Com t = 4: C = (4,\ 13). Com t = -\frac92: C = \left(-\frac92,\ -9 + 5\right) = \left(-\frac92,\ -4\right).
CONFERIR
Os dois pontos estão na reta: 2 \cdot 4 - 13 + 5 = 0 ✓ e 2 \cdot \left(-\frac92\right) - (-4) + 5 = 0 ✓. Com t = 4, D = 34, e a área é \frac{34}{2} = 17 ✓.
Por que as outras tentam: A e B dão um ponto só, e nenhum deles está na reta (2 \cdot 4 + 5 = 13, e não -4 ou -\frac92). C troca as ordenadas entre os dois pontos. D troca x e y de cada ponto.
Resposta
C = (4, 13) ou C = \left(-\frac{9}{2}, -4\right).
Alternativa correta
E