PAVE 3 · 2017

Questão 11 — PAVE 3 2017

Geometria analítica: área do triângulo por coordenadas Fácil–média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Determine a área do triangulo ABC, em que A(3, -2), B(-4, 2) e C(2, 4).

(A)

−20 u.a

(B)

−40 u.a

(C)

40 u.a

(D)

46 u.a

(E)

19 u.a

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Área do triângulo = |D| ÷ 2, com D o determinante das coordenadas dos vértices e uma coluna de 1.
Área nunca é negativa: por isso o módulo.
Outra saída: o retângulo que envolve o triângulo menos os triângulos retângulos dos cantos.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: a área do triângulo de vértices A(3, -2), B(-4, 2) e C(2, 4).

ESTRUTURAR

D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix}

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular o determinante pela regra de Sarrus e aplicar \frac{|D|}{2}.

A armadilha: esquecer o módulo ou o meio. Por isso as alternativas trazem valores negativos.

CALCULAR

Diagonais principais: 3 \cdot 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) \cdot 4 = 6 - 4 - 16 = -14.

Diagonais secundárias: 1 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-4) \cdot 1 = 4 + 12 + 8 = 24.

D = -14 - 24 = -38 \qquad \text{Área} = \frac{|-38|}{2} = 19 \text{ u.a.}

CONFERIR

Pelo retângulo que envolve o triângulo: ele vai de x = -4 a x = 3 (7) e de y = -2 a y = 4 (6), com área 42. Os três triângulos dos cantos têm áreas \frac{7 \cdot 4}{2} = 14, \frac{6 \cdot 2}{2} = 6 e \frac{1 \cdot 6}{2} = 3. Então 42 - 14 - 6 - 3 = 19 ✓.

Por que as outras tentam: A e B são negativas, e área não pode ser negativa; elas vêm de esquecer o módulo. C (40) e D (46) são impossíveis: um triângulo dentro de um retângulo de área 42 tem no máximo metade dela, 21. Quem esquece de dividir por 2 chega a 38, que não está nas alternativas.

Resposta

19 u.a.

Alternativa correta E