Considere
r: x - y - 2 = 0 e \lambda: x^2 + (y - 1)^2 = 4
Sobre a posição relativa da reta r, em relação à circunferência λ, é correto afirmar que
PAVE 3 · 2017
Questão 12 — PAVE 3 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Tire o centro e o raio da equação de \lambda. Depois compare a distância do centro até a reta com o raio.
Resolução
O que você precisa saber
- Em (x − a)² + (y − b)² = R², o centro é (a, b) e o raio é R.
- Distância do ponto (x₀, y₀) à reta Ax + By + C = 0: |Ax₀ + By₀ + C| ÷ √(A² + B²).
- Distância maior que o raio: reta externa; igual: tangente; menor: secante.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: saber se a reta corta, toca ou não toca a circunferência.
ESTRUTURAR
• Circunferência: centro (0, 1) e raio 2.
• Reta: x - y - 2 = 0, com A = 1, B = -1 e C = -2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular a distância do centro à reta e comparar com o raio.
A armadilha: ler o centro com o sinal trocado. Em (y - 1)^2, o centro tem y = 1, e não -1. Com (0, -1), a distância cairia para cerca de 0,71, e a reta pareceria secante (D).
CALCULAR
d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2{,}12Como 2{,}12 > 2, a reta é externa e não toca a circunferência.
CONFERIR
Por substituição: com x = y + 2, fica (y + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4, ou seja, 2y^2 + 2y + 1 = 0. O discriminante é 4 - 8 = -4 < 0: não há ponto em comum ✓.
Por que as outras tentam: D é o que sai com o centro de sinal trocado. B seria o caso de distância igual ao raio; como 2{,}12 fica perto de 2, quem arredonda \frac{3}{\sqrt2} para 2 cai nela. A e E se contradizem: reta "interna" não existe (uma reta sempre sai do círculo), e reta externa não tem ponto em comum.
Resposta
A reta é externa à circunferência e não há ponto de intersecção.
Alternativa correta
C