CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

Quase tudo sai de uma medida só: o raio.

Rodas que giram, pistas, polias, pizzas, sensores, piscinas. O ENEM coloca o círculo em situações do dia a dia, e quase toda conta começa achando o raio certo. Esta página ensina comprimento, arco, área, setor e coroa, e o círculo em volta de um polígono, com questões reais resolvidas.

Começar pela teoria Ir direto para as questões
1 · ELEMENTOS

Circunferência é a linha. Círculo é a região.

Circunferência é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo, o centro. Essa distância é o raio \(r\). O círculo é a circunferência junto com toda a região de dentro.

Por isso, da circunferência se mede o comprimento (cerca, correia, pista), e do círculo se mede a área (piso, cobertura, pizza).

  • Corda: segmento que liga dois pontos da circunferência.
  • Diâmetro: a corda que passa pelo centro. É a maior corda: \(d=2r\).
  • Arco: pedaço da circunferência entre dois pontos dela.
Antes de qualquer conta, pergunte: o dado é o raio ou o diâmetro? As fórmulas de área usam o raio. Muitos enunciados dão o diâmetro.
Elementos da circunferênciaUma circunferência de centro O. Um raio sobe do centro para a direita, um diâmetro horizontal atravessa o centro, uma corda horizontal fica abaixo do centro e um arco está destacado no alto, à esquerda. O raio r diâmetro d = 2r corda arco
Raio, diâmetro, corda e arco. O diâmetro é a maior corda.

Reta e circunferência

Uma reta pode cortar a circunferência em dois pontos (secante), encostar num ponto só (tangente) ou passar longe (exterior). Quem decide é a distância \(D\) do centro até a reta: menor que o raio, igual ao raio ou maior que ele.

A propriedade mais usada: o raio que vai até o ponto de tangência é perpendicular à tangente. É ela que cria os ângulos retos escondidos em figuras com rodas, polias e círculos encostados em paredes.

Duas circunferências

Com raios \(R\) e \(r\) e distância \(D\) entre os centros: se elas se tocam por fora, \(D=R+r\); se uma toca a outra por dentro, \(D=R-r\). Duas moedas de raios 2 cm e 3 cm encostadas lado a lado têm os centros a 5 cm.

Posições de uma reta e uma circunferênciaTrês circunferências iguais. Na primeira, uma reta secante corta a curva em dois pontos. Na segunda, uma reta tangente toca em um ponto, e o raio até esse ponto, tracejado, faz ângulo reto com ela. Na terceira, a reta passa por fora, sem tocar. secante: 2 pontostangente: 1 pontoexterior: nenhum
Na tangente, o raio até o ponto de contato faz 90° com a reta.
2 · COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Uma volta completa mede um pouco mais que três diâmetros.

Em qualquer circunferência, o comprimento dividido pelo diâmetro dá sempre o mesmo número, \(\pi\approx3{,}14\). Então

\[C=\pi\cdot d=2\pi r\]

Uma roda de raio 30 cm anda, numa volta, \(2\cdot3{,}14\cdot30=188{,}4\) cm. Em \(n\) voltas, anda \(n\cdot C\).

No ENEM, use o \(\pi\) que o enunciado der. Quase sempre é \(\pi\approx3\), às vezes 3,1 ou 3,14. Com \(\pi\approx3\), a volta vale \(C=6r\).
A circunferência desenroladaUma circunferência de diâmetro d é desenrolada sobre uma reta. O segmento obtido mede três diâmetros inteiros e mais um pedacinho de 0,14 d, totalizando pi vezes d. d ddd 0,14 d C = π · d C = 2 · π · r desenrolada, a volta mede 3 diâmetros e um pouquinho
Desenrolada, a circunferência mede \(\pi\approx3{,}14\) diâmetros.
  • VOLTAS

    \(\text{distância}=n\cdot C\)

    Papel enrolado 5 vezes num cilindro de diâmetro \(d\): \(5\pi d\).

  • COBERTURA

    \(\text{quantidade}=\dfrac{C}{\text{alcance}}\)

    Pista de 6 000 m, cada guarda cobre 400 m: 15 guardas.

  • ROTAÇÃO

    \(v=\dfrac{2\pi r}{t}\)

    Na mesma volta, quem está a 2 vezes o raio anda 2 vezes mais rápido.

ENEM 2025 · Questão 139 Fácil

Policiais em volta da lagoa

No entorno de uma lagoa circular, cujo raio mede 1 km, há um uma ciclovia. Devido aos frequentes roubos de bicicleta, a prefeitura planeja alocar policiais em posições estratégicas para patrulhar essa ciclovia, de forma a torná-la totalmente protegida. Um ponto da ciclovia é considerado protegido se houver pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto, posicionado sobre a ciclovia. A figura ilustra um ponto P sobre a ciclovia, que estará protegido se houver pelo menos um policial posicionado sobre a região de cor cinza escuro.

Desconsidere a largura da pista da ciclovia e utilize 3 como aproximação para π.

Lagoa circular com a ciclovia em volta. Um ponto P da ciclovia e, em cinza escuro, o trecho de 200 m para cada lado de P.

Nessas condições, a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para torná-la protegida é

Ver uma pista

Um policial protege 200 m para um lado e 200 m para o outro. Quanto de ciclovia cada policial cobre?

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: em quantos pedaços de mesmo tamanho dá para dividir a volta da ciclovia, sendo cada pedaço o trecho que um policial protege.

    Raio de 1 km = 1 000 m, π ≈ 3. Cada policial protege quem está a até 200 m dele, para qualquer lado.

  2. ESTRUTURAR

    Cada policial cobre 200 m para trás e 200 m para frente: 400 m de ciclovia.

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular o comprimento da volta e dividir pelo trecho de um policial.

    A armadilha: usar 200 m como o trecho de cada policial. Os 200 m valem para cada lado, então o trecho é o dobro.

  4. CALCULAR
    \[C = 2 \cdot 3 \cdot 1\,000 = 6\,000 \text{ m}\]
    \[\frac{6\,000}{400} = 15 \text{ policiais}\]
  5. CONFERIR

    15 policiais × 400 m = 6 000 m, a volta inteira, sem sobra nem buraco ✓.

    A alternativa D (30) é a armadilha: \(\tfrac{6\,000}{200} = 30\) usa só um dos lados.

Resposta: C

Leve para outras questões: em problemas de cobertura, desenhe o alcance de um só elemento antes de dividir. Quase sempre ele vale para os dois lados.

Abrir esta questão no Banco →
ENEM 2014 · Questão 170 Média

O canudo do diploma

Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Foto de um diploma enrolado em forma de canudo, amarrado com um cordão no meio.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

Ver uma pista

Cada volta do papel em torno do cilindro gasta um comprimento de circunferência. São 5 voltas.

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: quanto papel é gasto em 5 voltas em torno de um cilindro de diâmetro d.

  2. ESTRUTURAR
    • Cilindro de diâmetro d.
    • 5 voltas completas, sem folga.
    • Espessura do papel desprezível.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Multiplicar o comprimento de uma volta por 5.

    A armadilha: usar a fórmula com raio, \(2\pi r\), trocando r por d. Dá \(5 \cdot 2\pi d = 10\pi d\) (alternativa E). Com o diâmetro, uma volta é \(\pi d\).

  4. CALCULAR
    \[\text{uma volta} = \pi d\]
    \[\text{lado} = 5 \cdot \pi d = 5\pi d\]
  5. CONFERIR

    Com raio: \(5 \cdot 2\pi \cdot \tfrac{d}{2} = 5\pi d\) ✓.

Resposta: D

Leve para outras questões: enrolar é medir comprimento de circunferência; confira se o dado é raio ou diâmetro antes de usar a fórmula.

Abrir esta questão no Banco →
ENEM 2017 · Questão 171 Média

As torres do pivô central

Pivô central é um sistema de irrigação muito usado na agricultura, em que uma área circular é projetada para receber uma estrutura suspensa. No centro dessa área, há uma tubulação vertical que transmite água através de um cano horizontal longo, apoiado em torres de sustentação, as quais giram, sobre rodas, em torno do centro do pivô, também chamado de base, conforme mostram as figuras. Cada torre move-se com velocidade constante.

Foto de um pivô central de irrigação: um cano horizontal longo apoiado em torres sobre rodas, sobre uma plantação.
Esquema visto de cima: a base no centro e as torres T1, T2 e T3 alinhadas sobre o cano, girando em círculos em torno da base.

Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será instalado em uma fazenda, sendo que as distâncias entre torres consecutivas bem como da base à torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende ajustar as velocidades das torres, de tal forma que o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. Use 3 como aproximação para π.

Para atingir seu objetivo, as velocidades das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metro por hora, de

Ver uma pista

Cada torre anda numa circunferência. T1 está a 50 m da base, T2 a 100 m e T3 a 150 m. Quanto cada uma percorre numa volta, e em quanto tempo?

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: a distância que cada torre percorre numa volta, dividida por 25 horas.

  2. ESTRUTURAR
    • Raios: 50 m, 100 m e 150 m.
    • Uma volta em 25 h.
    • π = 3.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular o comprimento de cada circunferência e dividir pelo tempo.

    A armadilha: usar a área do círculo em vez do comprimento. Com \(3r^2\) saem 7 500, 30 000 e 67 500, que divididos por 25 dão 300, 1 200 e 2 700 (alternativa D).

  4. CALCULAR
    \[C_1 = 2 \cdot 3 \cdot 50 = 300\ \text{m}, \quad C_2 = 2 \cdot 3 \cdot 100 = 600\ \text{m}, \quad C_3 = 2 \cdot 3 \cdot 150 = 900\ \text{m}\]
    \[v_1 = \frac{300}{25} = 12, \quad v_2 = \frac{600}{25} = 24, \quad v_3 = \frac{900}{25} = 36\ \text{m/h}\]
  5. CONFERIR

    As velocidades estão na proporção 1 : 2 : 3, igual à dos raios 50 : 100 : 150 ✓. \(36 \cdot 25 = 900\) ✓.

Resposta: A

Leve para outras questões: em rotação, pontos mais distantes do centro percorrem caminhos maiores no mesmo tempo, e a velocidade é proporcional ao raio.

Abrir esta questão no Banco →
3 · COMPRIMENTO DE ARCO

O arco é a fração da volta que o ângulo central marca.

O ângulo central \(\alpha\) tem o vértice no centro. A volta inteira tem 360°, então o arco é a mesma fração do comprimento total:

\[\ell=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r\]

Um arco de 60° numa circunferência de raio 12, com \(\pi\approx3\):

\[\ell=\frac{60}{360}\cdot2\cdot3\cdot12=\frac{1}{6}\cdot72=12\]
Ângulo centralFração da volta
180°\(\frac{1}{2}\)
120°\(\frac{1}{3}\)
90°\(\frac{1}{4}\)
60°\(\frac{1}{6}\)
30°\(\frac{1}{12}\)

Se uma correia ou corda cobre um arco de \(\alpha\) numa polia, o que falta para a volta é \(360^\circ-\alpha\).

Ângulo em radianos

Medir o ângulo em radianos é medir quantos raios cabem no arco: \(\alpha=\frac{\ell}{r}\). A volta inteira tem \(\frac{2\pi r}{r}=2\pi\) rad, então \(180^\circ=\pi\) rad. Em radianos, a fórmula do arco fica curta: \(\ell=\alpha\cdot r\). Um arco de 2 rad num círculo de raio 5 mede 10. É a unidade usada nas funções trigonométricas.

ENEM 2024 · Questão 163 Média

O comprimento da correia

Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

Duas polias ligadas por uma correia. A polia menor, de centro A, tem raio r = 4 cm e a maior, de centro B, tem raio R = 8 cm. Os dois trechos retos da correia medem 15 cm cada. Na polia menor está marcado um ângulo de 150°, que é o arco em contato com a correia.

Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.

Considere 3 como valor aproximado para π.

A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é

Ver uma pista

A correia tem 4 pedaços: 2 retos e 2 arcos. Na polia pequena ela cobre 150°. Quanto ela cobre na polia grande, se ao todo a correia dá exatamente uma volta?

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: somar os dois trechos retos com os dois arcos em que a correia encosta nas polias.

  2. ESTRUTURAR
    • Trechos retos: 15 + 15 = 30 cm.
    • Polia pequena: raio 4, arco de 150°.
    • Polia grande: raio 8, arco de 360° − 150° = 210°.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular cada arco como fração da circunferência e somar tudo.

    A armadilha: usar 150° nas duas polias (dá 60, alternativa B) ou achar que cada polia fica com meia volta (dá 66, alternativa C). A polia grande abraça mais correia que a pequena, então o arco dela passa de 180°.

  4. CALCULAR
    \[\text{arco pequeno} = \frac{150}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = \frac{5}{12} \cdot 24 = 10 \text{ cm}\]
    \[\text{arco grande} = \frac{210}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8 = \frac{7}{12} \cdot 48 = 28 \text{ cm}\]
    \[\text{correia} = 30 + 10 + 28 = 68 \text{ cm}\]
  5. CONFERIR

    Os arcos somam 150° + 210° = 360° ✓. Se as duas polias fossem iguais, cada uma ficaria com 180°; como a da direita é maior, ela fica com mais de 180°, como na figura.

As duas polias com a correia destacada. Na polia pequena, de raio 4, a correia cobre um arco de 150°, que mede 10 cm. Na polia grande, de raio 8, cobre um arco de 210°, que mede 28 cm. Os dois trechos retos medem 15 cm cada. Total: 68 cm.

Resposta: D

Leve para outras questões: em correia ou corda em volta de duas polias, os arcos de contato somam 360°. Basta descobrir um para ter o outro.

Abrir esta questão no Banco →
4 · ÁREA, SETOR, SEGMENTO E COROA

Área do círculo usa o raio ao quadrado.

\[A=\pi r^2\]

Diâmetro 10 m quer dizer raio 5 m: \(A=3\cdot5^2=75\) m², com \(\pi\approx3\). Usar o diâmetro no lugar do raio dá 300, quatro vezes mais.

Como o raio vai ao quadrado, dobrar o raio multiplica a área por 4 (e o comprimento só por 2).

  • SETORA "fatia de pizza", entre dois raios e um arco: \(A=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\).
  • SEGMENTOA região entre uma corda e o arco: setor menos o triângulo formado pelos dois raios e a corda.
  • COROAO anel entre duas circunferências de mesmo centro: \(A=\pi(R^2-r^2)\).
Setor, segmento e coroaTrês círculos lado a lado. No primeiro, um setor de 70 graus pintado de azul, limitado por dois raios e um arco. No segundo, um segmento circular pintado de dourado, limitado por uma corda e um arco. No terceiro, uma coroa: o anel entre dois círculos de mesmo centro. r R setor segmento coroa dois raios e um arco uma corda e um arco π(R² − r²) mesmo centro
Setor tem bordas retas que passam pelo centro; segmento, não.

De onde vem o \(\pi r^2\)

Corte o círculo em muitas fatias finas e encaixe-as alternando a ponta para cima e para baixo. Quanto mais fatias, mais a figura parece um paralelogramo (quase um retângulo) de altura \(r\) e base igual a meia volta, \(\pi r\):

\[A\approx\pi r\cdot r=\pi r^2\]

A mesma ideia dá a área do setor a partir do arco: \(A=\frac{\ell\cdot r}{2}\), como um triângulo de base \(\ell\) e altura \(r\). Um setor com arco de 12 cm num círculo de raio 5 cm tem \(\frac{12\cdot5}{2}=30\) cm².

Fatias do círculo rearrumadasÀ esquerda, um círculo cortado em 8 fatias, alternando azul e dourado. À direita, as mesmas fatias encaixadas lado a lado, pontas para cima e para baixo, formando quase um paralelogramo de altura r e base meia volta, pi vezes r. ≈ π r (meia volta) r 8 fatias
Com fatias cada vez mais finas, a figura vira um retângulo de \(\pi r\) por \(r\).
ENEM 2019 · Questão 142 Fácil–média

Ampliar a área pavimentada

Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m² de área. O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.

Utilize 3 como aproximação para π.

A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque

Ver uma pista

O novo diâmetro é 6 + 8 = 14 m. A área a pavimentar é o círculo grande menos o círculo que já existe.

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: a área entre o círculo de 14 m de diâmetro e o de 6 m, comparada com 100 m².

  2. ESTRUTURAR

    • Círculo atual: diâmetro 6, raio 3.

    • Círculo novo: diâmetro 14, raio 7.

    • \(\pi \approx 3\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular a área da coroa e comparar com o estoque.

    A armadilha: usar só o aumento de 8 m como diâmetro de um círculo, \(3 \cdot 4^2 = 48\) m² (alternativa C). A parte nova é um anel em volta do círculo antigo.

  4. CALCULAR
    \[3 \cdot 7^2 = 147 \qquad 3 \cdot 3^2 = 27\]
    \[147 - 27 = 120 \text{ m}^2 > 100 \text{ m}^2\]
  5. CONFERIR

    O círculo novo tem área 147 m²; tirando os 27 m² já pavimentados, faltam 120 m². O estoque de 100 m² não basta.

Dois círculos com o mesmo centro. O de dentro, cinza, tem raio 3 e é a área que já existe. O de fora, dourado, tem raio 7, porque o diâmetro novo é 6 mais 8, igual a 14. Círculo novo: 3 vezes 7 ao quadrado, 147 metros quadrados. Círculo atual: 3 vezes 3 ao quadrado, 27. Anel a pavimentar: 147 menos 27, igual a 120 metros quadrados, mais que os 100 do estoque.

Resposta: E

Leve para outras questões: "ampliar mantendo o que já existe" quase sempre pede área maior menos área menor. Cuidado para não confundir aumento do diâmetro com diâmetro.

Abrir esta questão no Banco →
ENEM 2023 · Questão 154 Fácil–média

A lua atrás da torre

As figuras pintadas no quadro da sala de estar de uma residência representam as silhuetas de parte das torres de um castelo e, ao fundo, a de uma lua cheia. A lua foi pintada na forma de um círculo, e o telhado da torre mais alta, na forma de triângulo equilátero, foi pintado sobrepondo parte da lua. O centro da lua coincide com um dos vértices do telhado da torre mais alta.

Quadro com moldura. Ao fundo, uma lua cheia cinza-clara em forma de círculo. Na frente, três torres cinza-escuras com telhados triangulares; o telhado da torre do meio, mais alta, cobre parte da lua, e o vértice de cima desse telhado fica no centro da lua.

Nesse quadro, a parte da lua escondida atrás da torre mais alta do castelo pode ser representada por um

Ver uma pista

O vértice do telhado está no centro da lua. Então os dois lados do telhado que saem desse vértice são raios da lua. Que figura é limitada por dois raios e um arco?

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: reconhecer a forma plana da parte da lua coberta pelo telhado.

  2. ESTRUTURAR
    • Lua: círculo.
    • Telhado: triângulo equilátero com um vértice no centro da lua.
    • Ângulo do triângulo nesse vértice: 60°.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Ver quais linhas limitam a região escondida.

    A armadilha: chamar a região de segmento circular (alternativa C). Segmento é cortado por uma corda, sem passar pelo centro. Aqui as bordas retas saem do centro, então são raios.

  4. CALCULAR

    A região escondida é limitada pelos dois lados do telhado que saem do centro (dois raios) e pelo arco da lua entre eles. Isso é um setor circular de 60°, ou seja, \(\frac{1}{6}\) do círculo.

  5. CONFERIR

    Um triângulo equilátero tem ângulos de 60°, e 360° ÷ 60° = 6: a parte escondida é a sexta parte da lua, como uma fatia de pizza cortada em 6 ✓.

A lua como círculo cinza e o telhado tracejado como triângulo equilátero com um vértice no centro da lua. A parte escondida, em amarelo, é limitada por dois raios (os lados do telhado) e por um arco da lua: um setor circular de 60 graus, um sexto da lua.

Resposta: B

Leve para outras questões: pergunte "as bordas retas passam pelo centro?". Se sim, é setor (raios); se não, é segmento (corda).

Abrir esta questão no Banco →
ENEM 2024 · Questão 155 Média

O sensor de presença

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.

Vista de cima da área de cobertura do sensor: um setor circular azul com vértice no ponto S, ângulo α entre os dois lados e raio R.

Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

  • tipo I: α = 15° e R = 20 m;
  • tipo II: α = 30° e R = 22 m;
  • tipo III: α = 40° e R = 12 m;
  • tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
  • tipo V: α = 90° e R = 10 m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para π.

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

Ver uma pista

O setor é uma fatia do círculo. Que fração do círculo é uma fatia de α graus?

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: entre os sensores que cobrem pelo menos 70 m², o de menor área.

  2. ESTRUTURAR
    \[\text{área} = \frac{\alpha}{360} \cdot 3 \cdot R^2\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular a área dos cinco tipos, descartar os que ficam abaixo de 70 m² e escolher o menor dos que sobram.

    A armadilha: escolher o de maior área. A questão quer o mais barato que ainda serve, e o preço cresce com a área.

  4. CALCULAR
    \[\text{I: } \tfrac{15}{360} \cdot 3 \cdot 400 = 50\]
    \[\text{II: } \tfrac{30}{360} \cdot 3 \cdot 484 = 121\]
    \[\text{III: } \tfrac{40}{360} \cdot 3 \cdot 144 = 48\]
    \[\text{IV: } \tfrac{60}{360} \cdot 3 \cdot 256 = 128\]
    \[\text{V: } \tfrac{90}{360} \cdot 3 \cdot 100 = 75\]

    Servem II, IV e V. O de menor área entre eles é o V, com 75 m².

  5. CONFERIR

    O tipo V é um quarto de círculo de raio 10: \(\tfrac{1}{4} \cdot 3 \cdot 100 = 75\) ✓, acima de 70. Os tipos I e III não chegam a 70 m².

Resposta: E

Leve para outras questões: "o mais barato que atende" pede duas etapas: primeiro elimine quem não atende, depois escolha o menor entre os que sobraram.

Abrir esta questão no Banco →
5 · CÍRCULO E POLÍGONOS

Para cobrir um polígono, o círculo passa pelos vértices.

O círculo circunscrito passa por todos os vértices do polígono: é o menor círculo que cobre o polígono inteiro. O inscrito encosta em todos os lados por dentro: é o maior que cabe dentro do polígono.

Polígono de lado \(L\)Raio circunscrito \(R\)Raio inscrito \(r\)
Quadrado\(\frac{L\sqrt2}{2}\)\(\frac{L}{2}\)
Triângulo equilátero\(\frac{L\sqrt3}{3}\)\(\frac{L\sqrt3}{6}\)
Hexágono regular\(L\)\(\frac{L\sqrt3}{2}\)

Ângulo inscrito

Um ângulo com o vértice sobre a circunferência e lados que são cordas mede a metade do ângulo central que olha para o mesmo arco. Um arco de 80° é visto do centro sob 80° e de qualquer ponto da circunferência sob 40°. Caso especial: todo triângulo com um lado igual ao diâmetro e o vértice oposto na circunferência é retângulo, porque o arco de 180° é visto sob 90°.

No quadrado, \(2R\) é a diagonal. No equilátero, \(R=\frac{2}{3}\) da altura e \(r=\frac{1}{3}\). O hexágono regular é feito de 6 triângulos equiláteros, por isso \(R=L\).

Polígonos inscritos na circunferênciaTrês circunferências de mesmo raio. Na primeira, um quadrado com os vértices sobre ela; o raio vai do centro a um vértice. Na segunda, um triângulo equilátero. Na terceira, um hexágono regular, cujo lado é igual ao raio. R = L√2 / 2 R = L√3 / 3 R = L quadrado equilátero hexágono
Em azul, o raio circunscrito: do centro até um vértice.
ENEM 2015 · Questão 137 Média

O tampo de vidro da mesa

O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm.

Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.

Considere 1,7 como aproximação para \(\sqrt{3}\).

O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a

Ver uma pista

O menor círculo que cobre um triângulo equilátero é o que passa pelos três vértices. Calcule o raio desse círculo e escolha o primeiro raio da loja que seja maior ou igual a ele.

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o raio do círculo circunscrito ao triângulo de lado 30 cm e o menor raio da loja que o supera.

  2. ESTRUTURAR

    • Triângulo equilátero de lado 30 cm.

    • Raios disponíveis: 18, 26, 30, 35 e 60 cm.

    • \(\sqrt{3} = 1{,}7\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular o raio circunscrito e comparar com a lista.

    A armadilha: usar a altura do triângulo, cerca de 25,5 cm, como se fosse o raio, e escolher 26 (alternativa B). O raio é só dois terços da altura.

  4. CALCULAR
    \[R = \frac{L}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \approx 10 \cdot 1{,}7 = 17\ \text{cm}\]
    \[\text{ou: } h = \frac{30\sqrt{3}}{2} \approx 25{,}5 \qquad R = \frac{2}{3}h \approx 17\ \text{cm}\]

    Menor raio da loja que é pelo menos 17 cm: 18 cm.

  5. CONFERIR

    Um tampo de raio 18 cm tem diâmetro 36 cm, maior que o lado de 30 cm, e cobre os três vértices ✓.

Triângulo equilátero de lado 30 cm inscrito numa circunferência de centro O, com o raio R tracejado do centro a um vértice. R = 30 dividido por raiz de 3 = 10 raiz de 3, cerca de 10 vezes 1,7 = 17 cm. Entre os raios da loja (18, 26, 30, 35 e 60), o menor que serve é 18 cm.

Resposta: A

Leve para outras questões: cobrir um polígono com um círculo pede o raio circunscrito; no equilátero, ele vale lado dividido por raiz de 3.

Abrir esta questão no Banco →
6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de círculo.

  1. Usar o diâmetro como raio. Ou somar o aumento ao raio quando ele foi dado no diâmetro. Veja na questão de 2019.
  2. Contar o alcance para um lado só. Quem cobre 200 m para cada lado cobre 400 m de pista. Veja na questão de 2025.
  3. Elevar o raio ao quadrado no comprimento. A volta é proporcional ao raio; a área é que vai ao quadrado. Veja na questão de 2017.
  4. Usar o ângulo errado no arco. Se a correia cobre 150° numa polia, na outra ela cobre 210°. Veja na questão de 2024.
  5. Confundir setor com segmento. Bordas retas que passam pelo centro são raios: é setor. Veja na questão de 2023.
  6. Usar o raio inscrito para cobrir. Para cobrir um polígono, o círculo passa pelos vértices: raio circunscrito. Veja na questão de 2015.
7 · DESAFIO

Quatro taças numa bandeja: qual círculo manda em cada direção?

Aqui há dois círculos em cada taça, a base e a borda. Um deles define a distância entre as taças; o outro, o tamanho da bandeja nas pontas e na largura. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2017 · Questão 140 Média–difícil

A bandeja das taças

Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente.

Taça de espumante: borda superior larga, haste fina e base circular menor.

A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a

Ver uma pista

As taças se encostam pela borda de cima, de raio 5: os centros ficam a 10 cm um do outro. Mas na bandeja só precisa caber a base, de raio 4.

Ver resolução
  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o menor retângulo que contém as quatro bases, com as taças lado a lado.

  2. ESTRUTURAR
    • 4 taças em fila.
    • Borda: raio 5. Base: raio 4.
    • As bases precisam estar inteiras na bandeja; as bordas podem sair para fora.
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Calcular a distância entre o primeiro e o último centro e somar o raio da base nas duas pontas. A largura é o diâmetro da base.

    A armadilha: usar o raio da borda nas pontas: 40 por 8 dá 320 (alternativa D). Nas pontas só a base precisa caber, então sobra 4 cm de cada lado, não 5.

  4. CALCULAR
    \[\text{centros: } 3 \cdot 10 = 30 \text{ cm} \qquad \text{comprimento} = 30 + 4 + 4 = 38 \text{ cm}\]
    \[\text{largura} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \qquad \text{área} = 38 \cdot 8 = 304 \text{ cm}^2\]
  5. CONFERIR

    As bases, de diâmetro 8, ficam com 2 cm livres entre elas (10 − 8) e encostam nas bordas da bandeja nas pontas: \(4 \cdot 8 + 3 \cdot 2 = 38\) ✓.

Vista de cima da bandeja com as quatro taças em fila. As bordas, de raio 5, se tocam, então os centros ficam a 10 cm. Só as bases, de raio 4, precisam estar na bandeja: o comprimento é 4 mais 10 mais 10 mais 10 mais 4, igual a 38 cm, e a largura é 8 cm. Área mínima: 38 vezes 8, igual a 304 cm².

Resposta: C

Leve para outras questões: em problemas de encaixe, identifique qual parte do objeto limita o espaço em cada direção. Aqui a borda define o espaçamento e a base define as pontas e a largura.

Abrir esta questão no Banco →

Ver todas as questões de círculo no Banco →

8 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Use \(\pi\approx3\), a não ser que o exercício diga outro valor. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

  1. 1

    Uma circunferência tem raio 5 cm. Quanto medem o diâmetro e o comprimento? Use \(\pi\approx3{,}14\).

    Ver resposta

    \(d=10\) cm e \(C=3{,}14\cdot10=31{,}4\) cm.

  2. 2

    Uma roda de 60 cm de diâmetro dá 500 voltas. Que distância ela percorre?

    Ver resposta

    \(C=3\cdot60=180\) cm por volta; \(500\cdot180=90\,000\) cm = 900 m.

  3. 3

    Quanto mede um arco de 60° numa circunferência de raio 12 cm?

    Ver resposta

    \(\frac{60}{360}\cdot2\cdot3\cdot12=12\) cm.

  4. 4

    Qual é a área de um círculo de raio 4 m?

    Ver resposta

    \(3\cdot4^2=48\) m².

  5. 5

    Qual é a área de um círculo de diâmetro 10 m?

    Ver resposta

    Raio 5: \(3\cdot5^2=75\) m². (Com o diâmetro no lugar do raio sairia 300, errado.)

  6. 6

    Qual é a área de um setor de 90° num círculo de raio 6 cm? Use \(\pi\approx3{,}14\).

    Ver resposta

    \(\frac{1}{4}\cdot3{,}14\cdot36=28{,}26\) cm².

  7. 7

    Qual é a área da coroa entre as circunferências de raios 5 m e 3 m, de mesmo centro?

    Ver resposta

    \(3\cdot(25-9)=48\) m².

  8. 8

    O raio de um círculo dobra. Por quanto ficam multiplicados o comprimento da circunferência e a área do círculo?

    Ver resposta

    Comprimento por 2; área por \(2^2=4\).

  9. 9

    Um quadrado de lado 8 cm tem os vértices sobre uma circunferência. Qual é o raio dela?

    Ver resposta

    A diagonal é o diâmetro: \(8\sqrt2\). Raio \(4\sqrt2\approx5{,}66\) cm.

  10. 10

    Um hexágono regular está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Qual é o perímetro do hexágono?

    Ver resposta

    No hexágono regular, o lado é igual ao raio: \(6\cdot5=30\) cm.

RESUMO PARA REVISAR

Circunferência e círculo em seis linhas.

  • Raio ou diâmetro? \(d=2r\). Confira antes de qualquer conta.
  • Comprimento: \(C=2\pi r=\pi d\). Em \(n\) voltas, \(n\cdot C\).
  • Arco: \(\ell=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r\).
  • Área: \(A=\pi r^2\). Setor: \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\). Coroa: \(\pi(R^2-r^2)\).
  • Dobrou o raio: comprimento × 2, área × 4.
  • Cobrir polígono: raio circunscrito. Quadrado \(\frac{L\sqrt2}{2}\), equilátero \(\frac{L\sqrt3}{3}\), hexágono \(L\).
Treinar círculo no Banco Ver Geometria plana