Triângulo retângulo e Teorema de Pitágoras, com questões resolvidas

1 · O TEOREMA

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

A hipotenusa $a$ é o lado oposto ao ângulo reto, e é sempre o maior lado. Os outros dois são os catetos $b$ e $c$.

\[a^2=b^2+c^2\]

Exemplo. Uma pessoa anda 9 km para o norte e 12 km para o leste. A distância em linha reta até o ponto de partida é $\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ km.

Ternas que valem a pena reconhecer: 3, 4, 5; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 9, 40, 41, e os múltiplos delas (9, 12, 15 é 3, 4, 5 vezes 3). Elas poupam a raiz quadrada.

9 + 16 = 25: os quadrados dos catetos cobrem o quadrado da hipotenusa.

Por que vale, e como saber se um triângulo é retângulo

O quadrado de lado $b+c$ é feito de quatro triângulos de catetos $b$ e $c$ e de um quadrado de lado $a$.

A prova pela área. A área do quadrado grande pode ser contada de dois jeitos:

\[(b+c)^2=a^2+4\cdot\frac{bc}{2}\ \Rightarrow\ b^2+2bc+c^2=a^2+2bc\ \Rightarrow\ a^2=b^2+c^2\]

A volta também vale (recíproca). Se três lados cumprem $a^2=b^2+c^2$, o triângulo é retângulo, com o ângulo reto em frente ao lado $a$. Por isso pedreiros marcam 3 m, 4 m e 5 m com uma corda para conferir o esquadro de uma parede.

Fabricar ternas. Para inteiros $m\gt n\gt0$, os números $m^2-n^2$, $2mn$ e $m^2+n^2$ formam uma terna. Com $m=3$ e $n=2$: 5, 12 e 13.

PAVE 2 2020 · Questão 10 Fácil

De Canguçu a São Lourenço do Sul

João é um ciclista amador, morador de Pelotas e quer saber a distância entre a cidade de Canguçu e a cidade de São Lourenço do Sul, para fazer esse deslocamento pela RS-265, conhecida como Rota Pomerana, conforme o mapa a seguir. Para isso, considerou que, ao ligar com retas a cidade de Canguçu à cidade de Pelotas, Pelotas à São Lourenço do Sul e São Lourenço do Sul à Canguçu, forma-se um triângulo retângulo (ângulo de 90° em Pelotas). Além disso, considera-se que a medida reta entre Canguçu e Pelotas é de 30 km e que a distância reta entre Pelotas e São Lourenço do Sul é de 40 km.

Mapa da região de Pelotas com um triângulo ligando Canguçu, Pelotas e São Lourenço do Sul, com ângulo reto em Pelotas. A RS-265 aparece mais acima, fazendo uma curva de Canguçu até São Lourenço do Sul.

Com isso, ele conseguiu chegar à distância em linha reta entre as cidades de Canguçu e São Lourenço do Sul. Considerando que a distância, pela RS-265, é o dobro da distância em linha reta entre Canguçu e São Lourenço, João fará um deslocamento de cerca de

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O ângulo reto está em Pelotas, então o lado Canguçu–São Lourenço é a hipotenusa. Depois, leia com cuidado a palavra "deslocamento".

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a distância em linha reta entre Canguçu e São Lourenço do Sul, que é a hipotenusa do triângulo retângulo.
Nota editorial: o gabarito oficial é A (50 km), que é a distância em linha reta. Mas a última frase diz que, pela RS-265, a distância é o dobro disso, e quem lê "deslocamento" como "o quanto João vai pedalar" chega a 100 km (C). O 50 km só se sustenta lendo "deslocamento" no sentido da Física, isto é, a distância em linha reta entre a partida e a chegada, que não depende do caminho. A resolução abaixo segue essa leitura, que é a do gabarito.
ESTRUTURAR
• Catetos: Canguçu–Pelotas = 30 km e Pelotas–São Lourenço = 40 km.
• Hipotenusa: Canguçu–São Lourenço = $x$.
• Pela RS-265: $2x$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar Pitágoras para achar $x$.
A armadilha: esquecer a raiz e parar em $x^2 = 2500$, marcando 2500 km (B). Distância entre cidades vizinhas não passa de algumas dezenas de quilômetros.
CALCULAR
\[x^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 \quad \Rightarrow \quad x = 50 \text{ km}\]
Pela RS-265, o percurso seria $2 \cdot 50 = 100$ km; o deslocamento (em linha reta) é de 50 km.
CONFERIR
Confira com o terno 3, 4, 5: $30 = 3 \cdot 10$, $40 = 4 \cdot 10$, então a hipotenusa é $5 \cdot 10 = 50$ ✓.
Por que as outras tentam: B (2500) é $x^2$, sem a raiz. C (100) é o caminho pela RS-265, o dobro da reta (veja a nota editorial). E (70) soma os catetos, $30 + 40$. D (10) é a diferença $40 - 30$.

Resposta: A

Leve para outras questões: no triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Ternos como 3, 4, 5 e seus múltiplos economizam a conta. E repare se a pergunta quer a distância em linha reta ou o caminho percorrido.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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ENEM 2014 · Questão 178 Média

Células solares pela diagonal

Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm × 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome.

Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?

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A diagonal do retângulo 6 por 8 sai pelo teorema de Pitágoras. Com ela, ache a energia de uma célula e quantas células dão exatamente 20 160 Wh.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantas células são necessárias e se é preciso tirar ou pôr células em relação às 100 atuais.
ESTRUTURAR
- Consumo: 20 160 Wh por dia.
- 100 células de 6 cm × 8 cm.
- Cada célula: 24 Wh por centímetro de diagonal.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar a diagonal, a energia por célula e o número de células.
A armadilha: somar os lados em vez de usar a diagonal: $24 \cdot 14 = 336$ Wh, $20\,160 \div 336 = 60$ células, e retirar 40 (alternativa B).
CALCULAR
\[d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{cm}\]
\[\text{uma célula} = 24 \cdot 10 = 240\ \text{Wh}\]
\[\frac{20\,160}{240} = 84\ \text{células}\]
\[100 - 84 = 16\ \text{células a retirar}\]
CONFERIR
$84 \cdot 240 = 20\,160$ Wh ✓. Hoje as 100 células produzem 24 000 Wh, mais do que o consumo.

Cada célula é um retângulo de 6 cm por 8 cm; a diagonal mede 10 cm, pelo teorema de Pitágoras. Cada célula produz 24 vezes 10 = 240 Wh por dia. Para 20 160 Wh bastam 84 células, então é preciso retirar 16 das 100.

Resposta: A

Leve para outras questões: retângulo 6 por 8 tem diagonal 10; reconhecer os ternos pitagóricos poupa contas.

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PAVE 2 2019 · Questão 16 Fácil–média

Arame em volta do terreno

Um terreno situado na cidade de Pelotas estava servindo de depósito de lixo pela comunidade local. Seu proprietário, visando não ser multado pela prefeitura, optou por cercá-lo. Para isso precisou determinar a quantidade de arame necessária para estimar o custo deste cercado. As dimensões do terreno estão representadas na figura abaixo.

Quadrilátero ABCD: AD = 30 m, DC = 40 m, com ângulo reto em D; CB = 10 m, com ângulo reto em B; o lado AB, embaixo, não tem medida.

Desejando cercar esse terreno com arame inextensível que custa R$ 16,00 o metro e sabendo que será contornado duas vezes pelo arame, qual seria o valor mínimo gasto?

Considere $\sqrt{6} = 2{,}44$

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Falta o lado $\overline{AB}$. Trace a diagonal $\overline{AC}$: ela é hipotenusa de dois triângulos retângulos.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o custo de duas voltas de arame ao redor do terreno, a R$ 16,00 o metro.
ESTRUTURAR
• Triângulo ADC, reto em D: catetos 30 e 40, hipotenusa $AC$.
• Triângulo ABC, reto em B: hipotenusa $AC$, catetos 10 e $AB$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar $AC$, depois $AB$, somar o perímetro e multiplicar por 2 voltas e por R$ 16,00.
A armadilha: esquecer as duas voltas e marcar R$ 2.060,80 (A), que é o custo de uma volta só.
CALCULAR
\[AC = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}\]
\[AB = \sqrt{50^2 - 10^2} = \sqrt{2400} = 20\sqrt{6} = 20 \cdot 2{,}44 = 48{,}8 \text{ m}\]
Perímetro: $30 + 40 + 10 + 48{,}8 = 128{,}8$ m. Duas voltas: $257{,}6$ m.
Custo: $257{,}6 \cdot 16 = 4121{,}60$, ou seja, R$ 4.121,60.
CONFERIR
O lado $AB$ (48,8 m) é um pouco menor que $AC$ (50 m), como deve ser num cateto ✓.
Por que as outras tentam: A é uma volta só ($128{,}8 \cdot 16$). B é metade de uma volta. C é o perímetro em metros, sem passar para reais. D não corresponde a uma conta direta com esses dados.

Terreno ABCD dividido pela diagonal AC = 50 m: triângulo ADC com catetos 30 e 40, e triângulo ABC com cateto 10 e AB = 20√6 ≈ 48,8 m.

Resposta: E

Leve para outras questões: quando falta um lado de um quadrilátero com ângulos retos, uma diagonal costuma criar dois triângulos retângulos. Antes de marcar, releia o comando: "duas voltas", "por metro", "valor mínimo".

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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Colégio Tiradentes 2025 · Questão 35 Média

Polegadas da televisão

“Por padrão, o tamanho da tela de um televisor é medido em polegadas, sendo cada polegada equivalente a 2,54 centímetros. Um televisor com tela de 40 pol, por exemplo, indica que a tela possui 101,6 centímetros (40 x 2,54).

Mas lembre-se que as telas têm formato retangular e que a medição é feita considerando a diagonal da tela, como mostra o exemplo a seguir”.

Desenho de uma televisão de tela retangular com uma seta amarela ao longo da diagonal, do canto inferior esquerdo ao canto superior direito, e o texto 40 polegadas no meio.

Mercedes pretende comprar uma televisão nova para colocar na sala de estar de sua casa. Ela sabe que a proporção da tela que escolheu é de 4:3, ou seja: a cada 4 cm no comprimento, tem-se a medida de 3 cm de altura.

Ao medir a parede da sala, ela percebeu que o comprimento máximo que a televisão pode ter é de 64cm.

Sabendo que 1 polegada equivale a 2,54 centímetros, e que a medida utilizada é a da diagonal da tela, escolha entre as alternativas o maior tamanho em polegadas que a televisão de Mercedes poderá ter.

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Com comprimento 64 cm e proporção 4:3, qual é a altura? Comprimento, altura e diagonal formam um triângulo retângulo. Depois converta a diagonal para polegadas.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a maior tela, entre as alternativas, cuja diagonal cabe numa TV de no máximo 64 cm de comprimento.
ESTRUTURAR
• Comprimento 64 cm, altura h, com $\tfrac{64}{h} = \tfrac{4}{3}$.
• Diagonal d: $d^2 = 64^2 + h^2$.
• Tamanho em polegadas: $d \div 2{,}54$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar a altura pela proporção, a diagonal por Pitágoras e converter. Como 4:3 é a proporção do triângulo 3-4-5, a diagonal sai direto: 5 partes.
A armadilha: tratar 64 cm como a diagonal, ou esquecer de converter e comparar centímetros com polegadas.
CALCULAR
\[h = \frac{3}{4} \cdot 64 = 48 \text{ cm}\]
\[d = \sqrt{64^2 + 48^2} = \sqrt{4\,096 + 2\,304}\]
\[d = \sqrt{6\,400} = 80 \text{ cm}\]
\[80 \div 2{,}54 \approx 31{,}5 \text{ polegadas}\]
CONFERIR
A TV pode ter no máximo cerca de 31,5 polegadas. Entre as alternativas, a maior que não passa disso é 30. Uma TV de 40 polegadas teria diagonal de 101,6 cm e comprimento de 81,28 cm, mais que os 64 cm da parede.

Retângulo da tela com 64 cm de comprimento (4 partes) e 48 cm de altura (3 partes), e a diagonal em dourado com 80 cm (5 partes). Ao lado: 1 parte = 16 cm; 64² + 48² = 80²; 80 ÷ 2,54 ≈ 31,5 polegadas; a maior opção que cabe é 30.

Resposta: C

Leve para outras questões: telas 4:3 são triângulos 3-4-5 disfarçados, e a diagonal é sempre 5 partes. Em "maior tamanho que cabe", calcule o limite e escolha a maior opção abaixo dele.

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2 · DIAGONAIS E ALTURAS

Três fórmulas que são Pitágoras pronto.

Diagonal do retângulo de lados $x$ e $y$: $d=\sqrt{x^2+y^2}$.

Diagonal do quadrado de lado $\ell$: $d^2=\ell^2+\ell^2=2\ell^2$, então

\[d=\ell\sqrt2\]

Altura do triângulo equilátero de lado $\ell$: a altura corta a base ao meio, e $h^2=\ell^2-\left(\frac{\ell}{2}\right)^2$, então $h=\frac{\ell\sqrt3}{2}$.

Exemplos. Um quadrado de lado 5 tem diagonal $5\sqrt2\approx7{,}07$. Um triângulo equilátero de lado 10 tem altura $5\sqrt3\approx8{,}66$.

Diagonal é comprimento. Ela muda na mesma proporção do lado, não da área. Se a área muda, ache primeiro o fator do lado (raiz quadrada) e só então a diagonal.

Distância entre dois pontos

No plano cartesiano, o segmento entre dois pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a diferença dos $x$ e a diferença dos $y$:

\[d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Exemplo. De $A(1,1)$ até $B(5,4)$: $d=\sqrt{4^2+3^2}=5$. A ordem da subtração não importa, porque a diferença vai ao quadrado.

Mapa quadriculado. Num mapa em malha, conte os quadradinhos na horizontal e na vertical: são os catetos. A distância em linha reta é a hipotenusa.

$A(1,1)$ e $B(5,4)$: as diferenças de coordenadas são os catetos.

Colégio Tiradentes 2021 · Questão 41 Média

Quadrado com o dobro da área

Dobrando a área de um quadrado de aresta a, a razão entre a diagonal do quadrado aumentado e a diagonal do quadrado original fica em:

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Se a área nova é $2a^2$, quanto mede o lado novo? E a diagonal?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: comparar as diagonais quando a área dobra.
ESTRUTURAR
• Original: lado a, área $a^2$, diagonal $a\sqrt{2}$.
• Aumentado: área $2a^2$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o lado do quadrado aumentado, a diagonal dele e dividir pela diagonal original.
A armadilha: achar que dobrando a área tudo dobra e marcar 2.
CALCULAR
Lado novo: $\ell^2 = 2a^2 \Rightarrow \ell = a\sqrt{2}$
Diagonal nova: $a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2a$
\[\frac{2a}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]
CONFERIR
Com $a = 1$: área 1 vira 2, lado $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, diagonal 2. Diagonal original $\approx 1{,}41$. Razão $2 \div 1{,}41 \approx 1{,}41 = \sqrt{2}$. ✓

À esquerda, quadrado de lado a e área a², com diagonal a√2 tracejada. À direita, quadrado de lado a√2 e área 2a², com diagonal 2a tracejada. Abaixo: razão das diagonais 2a ÷ (a√2) = √2.

Resposta: E

Leve para outras questões: se a área é multiplicada por k, todos os comprimentos (lado, diagonal, perímetro) são multiplicados por $\sqrt{k}$.

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Colégio Tiradentes 2020 · Questão 39 Média

Área 69% maior

Um quadrado com área A tem sua área aumentada em 69%. A variação percentual entre a diagonal do quadrado A e o quadrado aumentado é de:

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Se a área é multiplicada por 1,69, por quanto o lado é multiplicado? Pense na raiz quadrada.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: em quantos por cento aumenta a diagonal quando a área aumenta 69%.
ESTRUTURAR
Exemplo com números: lado 10, área 100. Área nova: $100 \times 1{,}69 = 169$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o lado novo, comparar as diagonais.
A armadilha: achar que a diagonal também aumenta 69%. Medidas de comprimento crescem pela raiz quadrada do fator da área.
CALCULAR
\[\text{lado novo} = \sqrt{169} = 13\]
\[\text{diagonais: } 10\sqrt{2} \text{ e } 13\sqrt{2}\]
\[\frac{13\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 1{,}3 \Rightarrow \text{aumento de } 30\%\]
CONFERIR
$1{,}3^2 = 1{,}69$. ✓

Dois quadrados com as diagonais tracejadas: um de lado 10 e área 100, outro de lado 13 e área 169. Abaixo: diagonais 10√2 e 13√2, aumento de 30%.

Resposta: D

Leve para outras questões: se a área é multiplicada por k, os comprimentos são multiplicados por $\sqrt{k}$. Use um quadrado de lado 10 para testar.

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UFRGS 2015 · Questão 41 Fácil

Quatro círculos tangentes

Quatro círculos de raio $r$ foram traçados de forma que sejam tangentes entre si dois a dois, como na figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos não tangentes entre si têm a mesma medida.

Quatro círculos iguais em duas linhas e duas colunas, cada um tangente aos vizinhos de lado e de cima ou de baixo.

A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é

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Ligue os quatro centros. Que figura aparece, e quanto mede o lado dela?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a diagonal do quadrado formado pelos centros.
ESTRUTURAR
Os centros formam um quadrado de lado $2r$. Os círculos não tangentes estão em cantos opostos: a distância é a diagonal.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar $d = a\sqrt{2}$ com $a = 2r$.
A armadilha: responder $2r$, que é a distância entre centros de círculos tangentes.
CALCULAR
\[d = 2r\sqrt{2}\]
CONFERIR
Por Pitágoras: $d^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 8r^2$, $d = 2r\sqrt{2}$ ✓.
Por que as outras tentam: A é o lado do quadrado; C é a diagonal de um quadrado de lado $r$, não $2r$.

Resposta: D

Leve para outras questões: em problemas de círculos tangentes, ligue os centros. A distância entre centros é a soma dos raios.

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Colégio Tiradentes 2016 · Questão 31 Média

A diagonal pela equação biquadrada

Se raízes positivas da equação $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ são lados consecutivos de um retângulo, então a diagonal do retângulo será de:

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Troque $x^2$ por $y$: fica $y^2 - 5y + 4 = 0$.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: as raízes positivas e a diagonal do retângulo com esses lados.
ESTRUTURAR
\[y^2 - 5y + 4 = 0 \;\Rightarrow\; y = 1 \text{ ou } y = 4\]
\[x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar 1 e 2 como lados.
A armadilha: usar 1 e 4 (os valores de $y$) como lados, o que dá $\sqrt{17}$.
CALCULAR
\[d^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \;\Rightarrow\; d = \sqrt{5}\]
CONFERIR
$1 - 5 + 4 = 0$ e $16 - 20 + 4 = 0$. ✓

Resposta: C

Leve para outras questões: na equação biquadrada, depois de achar $y$, não esqueça de voltar para $x$ tirando a raiz.

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3 · PITÁGORAS COM INCÓGNITA

Chame o desconhecido de $x$, escreva o teorema e resolva a equação.

Cateto que falta. Isole: $b^2=a^2-c^2$. Uma escada de 17 m com o pé a 8 m da parede alcança $\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ m de altura.

Lados ligados entre si. Os catetos de um triângulo são $x$ e $x+7$, e a hipotenusa é 17:

\[x^2+(x+7)^2=289\ \Rightarrow\ x^2+7x-120=0\ \Rightarrow\ x=8\]

A raiz negativa ($-15$) é descartada: lado não tem medida negativa.

Altura do trapézio. Baixe as alturas a partir da base menor. Elas formam um retângulo no meio e triângulos retângulos nas pontas. A diferença entre as bases vira cateto desses triângulos.

Raio desconhecido. Quando um círculo passa por dois pontos e toca um lado, ligue o centro a um ponto da curva: esse segmento mede $r$, e o outro cateto costuma ser "algo menos $r$".

Colégio Tiradentes 2016 · Questão 47 Média

Catetos que diferem de 2 cm

Num triângulo a hipotenusa mede 2 cm a mais que o maior cateto e esse mede 2 cm a mais que o menor cateto. Qual é a área desse triângulo se o menor cateto mede x cm?

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Os lados são $x$, $x + 2$ e $x + 4$. Use Pitágoras.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar $x$ e calcular a área.
ESTRUTURAR
\[x^2 + (x + 2)^2 = (x + 4)^2\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Desenvolver os quadrados e resolver.
A armadilha: multiplicar os catetos e esquecer de dividir por 2 (dá 48).
CALCULAR
\[x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16\]
\[x^2 - 4x - 12 = 0 \;\Rightarrow\; x = 6 \text{ ou } x = -2\]
Como é medida, $x = 6$. Os catetos são 6 e 8.
\[\text{Área} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2\]
CONFERIR
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. ✓

Resposta: D

Leve para outras questões: lados consecutivos de 2 em 2 num triângulo retângulo levam ao triângulo 6, 8, 10 (o dobro do 3, 4, 5).

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Colégio Tiradentes 2022 · Questão 43 Média

A altura do trapézio

A figura abaixo é um trapézio retângulo de vértices ABCD. Nesse trapézio tem-se:

\[AB = CE = h; \quad AD = 15 \text{ cm}\]

\[BC = 10 \text{ cm}; \quad CD = 13 \text{ cm}\]

Trapézio retângulo ABCD com ângulos retos em A e B. A base menor BC fica em cima e a base maior AD embaixo. O segmento CE, de C até o ponto E da base AD, é a altura h, perpendicular a AD.

Considerando a área total do trapézio ABCD, ao subtrairmos dessa área a área do triângulo CDE, restam:

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ABCE é um retângulo, então AE = BC = 10. Quanto mede ED? Use Pitágoras no triângulo CDE para achar h.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: que fração do trapézio sobra quando tiramos o triângulo CDE.
ESTRUTURAR
• $AE = BC = 10$, então $ED = 15 - 10 = 5$.
• Triângulo CDE: retângulo em E, catetos 5 e h, hipotenusa 13.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar h por Pitágoras, calcular as duas áreas e dividir a sobra pela área total.
A armadilha: responder a fração do triângulo ($\tfrac{30}{150} = \tfrac{1}{5}$) e procurar $\tfrac{1}{5}$. A questão pede o que resta.
CALCULAR
\[h^2 + 5^2 = 13^2\]
\[h^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12\]
\[\text{trapézio} = \frac{(15 + 10) \times 12}{2} = 150 \text{ cm}^2\]
\[\text{triângulo CDE} = \frac{5 \times 12}{2} = 30 \text{ cm}^2\]
\[\frac{150 - 30}{150} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5}\]
CONFERIR
O que resta é o retângulo ABCE: $10 \times 12 = 120$ cm². ✓

Trapézio retângulo ABCD com a altura CE. O triângulo CDE está destacado em dourado, com base ED = 5, hipotenusa CD = 13 e altura h = 12. BC = 10 e AE = 10. Abaixo: h² + 5² = 13², h = 12; trapézio (15 + 10) × 12 ÷ 2 = 150; triângulo 5 × 12 ÷ 2 = 30; sobra 120, que é 4 ÷ 5 de 150.

Resposta: B

Leve para outras questões: em trapézio retângulo, a altura traçada pelo vértice divide a figura em retângulo + triângulo retângulo. O triângulo 5, 12, 13 aparece muito: decore junto com 3, 4, 5.

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UFRGS 2025 · Questão 68 Média

O círculo dentro do quadrado

Na figura abaixo, $ABCD$ é um quadrado de área igual a 64. O círculo sombreado passa pelos vértices $A$ e $B$ do quadrado e é tangente ao lado $\overline{CD}$.

Quadrado ABCD com A e B na base e D e C no topo. Um círculo sombreado passa por A e B, toca o lado de cima CD em um ponto e sai um pouco para fora dos lados esquerdo e direito do quadrado.

A área do círculo é

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Ligue o centro O ao ponto médio M de AB e ao vértice A. O ponto de tangência mostra que o centro está a uma distância r do lado CD.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o raio do círculo, para calcular $\pi r^2$.
ESTRUTURAR
• Lado do quadrado: $\sqrt{64} = 8$.
• M, ponto médio de AB: $AM = 4$.
• O centro está a r de CD, então $OM = 8 - r$.
• $OA = r$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pitágoras no triângulo OMA, retângulo em M.
A armadilha: achar que o círculo é o inscrito no quadrado, de raio 4. Mas ele sai pelos lados do quadrado, e com raio 4 a área seria $16\pi$ (alternativa E).
CALCULAR
\[r^2 = 4^2 + (8 - r)^2 = 16 + 64 - 16r + r^2\]
\[16r = 80 \quad\Rightarrow\quad r = 5\]
\[\text{Área} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\]
CONFERIR
Com $r = 5$: $OM = 3$, $AM = 4$, $OA = 5$, o triângulo 3-4-5 ✓.
Por que as outras tentam: $32\pi$ (A) é o círculo que passa pelos quatro vértices, com raio igual à metade da diagonal, $4\sqrt{2}$. E $16\pi$ (E) é o círculo inscrito. A resposta precisa ficar entre os dois.

Quadrado ABCD de lado 8 com o círculo. O centro O fica a r do lado CD (ponto de tangência T). O triângulo OMA, retângulo em M, tem AM = 4, OM = 8 − r e OA = r; daí r = 5 e área 25π.

Resposta: B

Leve para outras questões: tangência vira distância (centro a r do lado) e corda vira triângulo retângulo (centro, ponto médio, extremo). Junte as duas e Pitágoras resolve.

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4 · RELAÇÕES MÉTRICAS

A altura relativa à hipotenusa cria dois triângulos semelhantes ao grande.

A altura $h$ divide a hipotenusa nas projeções $m$ e $n$.

Com a hipotenusa $a$ dividida em $m$ e $n$ pela altura $h$:

\[h^2=m\cdot n\qquad b^2=a\cdot n\qquad c^2=a\cdot m\qquad a\cdot h=b\cdot c\]

Exemplo. Se as projeções medem 9 e 4, a altura é $\sqrt{36}=6$.

Esqueceu a fórmula? Todas saem da semelhança entre os três triângulos (o grande e os dois pedaços). Escreva a proporção e ela aparece.

$a\cdot h=b\cdot c$ é a área contada duas vezes: base $a$ com altura $h$, ou catetos $b$ e $c$.

Exemplo completo. A hipotenusa mede 20 e a altura a divide em $m=4$ e $n=16$. Então $h=\sqrt{4\cdot16}=8$, $b=\sqrt{20\cdot16}=8\sqrt5$ e $c=\sqrt{20\cdot4}=4\sqrt5$.

Confira: $b^2+c^2=320+80=400=20^2$ ✓ e $a\cdot h=160=b\cdot c$ ✓.

Como ler as fórmulas. Cada cateto ao quadrado é a hipotenusa vezes a projeção desse cateto (a parte da hipotenusa colada nele). A altura ao quadrado é o produto das duas projeções.

Projeção do cateto certo. O cateto $b$ se apoia na projeção $n$, que fica do lado dele. Trocar $m$ por $n$ é o erro mais comum.

Colégio Tiradentes 2018 · Questão 37 Média

A altura do telhado

Um telhado tem duas partes, uma AB e outra BC, conforme figura:

Triângulo ABC com base horizontal AC e vértice B no alto, retângulo em B. A altura BH desce de B até a base, formando ângulo reto em H. O lado AB é mais longo e menos inclinado; o lado BC é curto e íngreme.

Se esse telhado forma com a base AC um triângulo, retângulo em B, e a medida AH é igual a 24 m, e a HC é igual a 6 m, então, a altura BH, que dá suporte ao telhado, é de:

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No triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa ao quadrado é o produto das duas partes em que ela divide a hipotenusa.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura BH, com AH = 24 e HC = 6.
ESTRUTURAR
\[BH^2 = AH \cdot HC\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir e tirar a raiz.
A armadilha: somar ou tirar a média de 24 e 6 (15 m).
CALCULAR
\[BH^2 = 24 \cdot 6 = 144 \;\Rightarrow\; BH = 12 \text{ m}\]
CONFERIR
Semelhança: $\tfrac{BH}{AH} = \tfrac{HC}{BH}$, ou seja, $\tfrac{12}{24} = \tfrac{6}{12}$. ✓

Triângulo ABC retângulo em B, com a altura BH. Na base, AH = m = 24 e HC = n = 6; a altura BH é h. Abaixo: h² = 24 · 6 = 144, h = 12 m.

Resposta: C

Leve para outras questões: a altura do triângulo retângulo é a "média geométrica" das projeções: $h = \sqrt{m \cdot n}$.

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UFRGS 2025 · Questão 72 Média

A área como função de x

Na figura abaixo, $ABC$ é um triângulo inscrito em um semicírculo de centro em $O$ e raio igual a 10. O segmento $\overline{AD}$ é a altura do triângulo $ABC$ relativa ao vértice $A$. Tomando $x$ como a medida do segmento $\overline{BD}$, considere $A(x)$ a função que expressa a área do triângulo $ABC$ em função de $x$.

Semicírculo de centro O sobre o diâmetro BC. O ponto A está no arco, e o triângulo ABC está sombreado. Um segmento tracejado desce de A até D, sobre BC; o segmento BD está marcado como x.

Com base na figura, entre as alternativas, para $x \in [0, 20]$, $A(x)$ é

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Triângulo inscrito em semicírculo, com um lado no diâmetro, é retângulo em A. Nele, a altura ao quadrado é o produto das duas projeções: $AD^2 = BD \cdot DC$.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever a altura AD em função de x, porque a base BC é fixa.
ESTRUTURAR
• Base: $BC = 2 \cdot 10 = 20$.
• Projeções: $BD = x$ e $DC = 20 - x$.
• Ângulo reto em A.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Relação métrica $AD^2 = BD \cdot DC$ e depois a área.
A armadilha: usar o raio 10 no lugar do diâmetro 20 e escrever $DC = 10 - x$. A conta dá $A(x) = 10\sqrt{10x - x^2}$ (alternativa B).
CALCULAR
\[AD^2 = x(20 - x) = 20x - x^2 \quad\Rightarrow\quad AD = \sqrt{20x - x^2}\]
\[A(x) = \frac{20 \cdot \sqrt{20x - x^2}}{2} = 10\sqrt{20x - x^2}\]
CONFERIR
Com $x = 10$, A fica no alto do arco, $AD = 10$ e a área é $\frac{20 \cdot 10}{2} = 100$; a fórmula dá $10\sqrt{200 - 100} = 100$ ✓. Com $x = 0$ ou $x = 20$, o triângulo some e a área é 0 ✓.
Por que as outras tentam: $20\sqrt{20x - x^2}$ (A) esquece o $\frac12$ da área. As alternativas D e E perdem o termo em x dentro da raiz e não dão 0 quando $x = 20$.

Semicírculo de diâmetro BC = 20 com o triângulo ABC, retângulo em A. A altura AD separa BD = x e DC = 20 − x; AD² = BD · DC, então AD = √(20x − x²) e A(x) = 10√(20x − x²).

Resposta: C

Leve para outras questões: viu triângulo com um lado no diâmetro e o outro vértice no arco, pense em ângulo reto e nas relações métricas. Teste a fórmula em pontos extremos, como x = 0 ou x no meio.

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Colégio Tiradentes 2017 · Questão 41 Difícil

Segmentos CF e BF

Da figura abaixo, sabemos que $\overline{AD} = \tfrac{25}{3}$ cm, $\overline{DE} = 5$ cm, $\overline{CE} = 4$ cm e que os pontos ABF, BCF, CEF e CDE são vértices de triângulos retângulos. Nessas condições, os valores de x e y que determinam, respectivamente, o comprimento dos segmentos $\overline{CF}$ e $\overline{BF}$ são:

Duas retas se cruzam no ponto A. Na reta de baixo, levemente inclinada, ficam A, B, C e D, nessa ordem. Na outra reta, que sobe a partir de A, ficam F e E. O segmento CE liga C a E, e o segmento ED liga E a D. De F saem dois segmentos: FB, até a reta de baixo, marcado y; e FC, até C, marcado x.

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No triângulo CDE, retângulo em C, a hipotenusa é 5 e um cateto é 4. Ache CD e depois AC.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar CF e BF usando os triângulos retângulos encaixados.
ESTRUTURAR
• Onde estão os ângulos retos: CDE e ACE em C (CE é perpendicular à reta de baixo); CEF em F (CF é perpendicular a AE); BCF em B (BF é perpendicular a AC).
• Triângulo CDE (reto em C): $CD = 3$, pois $3^2 + 4^2 = 5^2$.
• $AC = \tfrac{25}{3} - 3 = \tfrac{16}{3}$.
• Triângulo ACE (reto em C): $AE^2 = \left(\tfrac{16}{3}\right)^2 + 4^2 = \tfrac{400}{9}$, então $AE = \tfrac{20}{3}$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
CF é a altura do triângulo ACE em relação à hipotenusa AE. Depois, BF é a altura do triângulo AFC em relação à hipotenusa AC.
A armadilha: achar que $x = 3$ e $y = 2$ só porque CD = 3. Nenhum desses segmentos é CD.
CALCULAR
\[x = CF = \frac{AC \cdot CE}{AE} = \frac{\tfrac{16}{3} \cdot 4}{\tfrac{20}{3}} = \frac{16}{5}\]
\[AF = \frac{AC^2}{AE} = \frac{\tfrac{256}{9}}{\tfrac{20}{3}} = \frac{64}{15}\]
\[y = BF = \frac{AF \cdot CF}{AC} = \frac{\tfrac{64}{15} \cdot \tfrac{16}{5}}{\tfrac{16}{3}} = \frac{64}{25}\]
CONFERIR
No triângulo AFC: $AF^2 + CF^2 = \tfrac{4096}{225} + \tfrac{2304}{225} = \tfrac{6400}{225} = \left(\tfrac{16}{3}\right)^2$. ✓

A figura da questão com o triângulo ACE sombreado e ângulos retos marcados em C, F e B. O segmento CE mede 4, x (CF, em dourado) vai de C até a reta AE e y (BF, em azul) vai de F até a reta AD. Abaixo: AC = 25/3 − 3 = 16/3 e AE = 20/3; x = AC · CE ÷ AE = 16/5; y = AF · CF ÷ AC = 64/25.

Resposta: A

Leve para outras questões: quando um triângulo retângulo tem a altura traçada até a hipotenusa, aparecem três triângulos semelhantes. As fórmulas de altura e projeção saem dessa semelhança.

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5 · O TRIÂNGULO ESCONDIDO

No ENEM e nos vestibulares, o ângulo reto quase nunca vem marcado.

Procure o ângulo reto nestes lugares:

raio e tangente: o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente;
cone: altura, raio da base e geratriz formam um triângulo retângulo;
dobradura: o lado dobrado mantém a medida e cai sobre outro lugar da folha;
caixa: a diagonal do paralelepípedo usa Pitágoras duas vezes, $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$;
polígonos regulares: centro, vértice e ponto médio de um lado formam um triângulo retângulo.

Exemplo. Uma caixa de 2 por 3 por 6 tem diagonal $\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$. No cubo de aresta $\ell$, $D=\ell\sqrt3$.

Às vezes não é preciso achar cada medida. Se a resposta depende de uma combinação de quadrados, escreva Pitágoras e veja se ele já entrega essa combinação inteira, sem calcular cada letra.

Também cai em: Pitágoras, Tales e semelhança na UFPR (programa oficial); relações métricas na UFSC (programa 2027) e na FUVEST (programa 2026), segundo os programas oficiais.

ENEM 2019 · Questão 166 Média–difícil

O origami do cisne

Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.

Folha retangular depois da dobra: vértices A no alto à esquerda e B no alto à direita, com AB de 18 cm; C embaixo à direita, com BC de 12 cm; E na base, com EC de 12 cm. O canto inferior esquerdo foi dobrado pela linha AE e caiu no ponto D, onde há um ângulo reto entre AD e DE.

Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é

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Desfaça a dobra: D volta a ser o canto inferior esquerdo da folha. A base mede 18 cm e EC mede 12 cm, então E fica a 6 cm desse canto.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelo lado esquerdo da folha (12 cm) e pelo pedaço da base até E (6 cm).
ESTRUTURAR
• Folha: 18 cm por 12 cm.
• EC = 12 cm, logo a base do canto até E mede $18 - 12 = 6$ cm.
• O triângulo dobrado é retângulo no canto, com catetos 12 e 6.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar Pitágoras no triângulo de catetos 12 e 6.
A armadilha: achar que E está a 12 cm do canto, confundindo com EC. Aí os catetos seriam 12 e 12 e o resultado $12\sqrt{2}$ (alternativa E).
CALCULAR
\[AE^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180\]
\[AE = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \text{ cm}\]
CONFERIR
Depois da dobra, AD = 12 e DE = 6 com ângulo reto em D, o mesmo triângulo. $6\sqrt{5} \approx 13{,}4$ cm, maior que 12 e menor que 18, como deve ser.

A folha de 18 por 12 cm desdobrada. O triângulo dourado no canto inferior esquerdo, onde o ponto D estava antes da dobra, tem catetos 12 cm, no lado esquerdo, e 6 cm, na base até E, porque 18 menos 12 é 6. A hipotenusa AE, em azul, mede raiz de 180, igual a 6 raiz de 5 cm.

Resposta: D

Leve para outras questões: em dobradura, desdobre mentalmente. As medidas da parte dobrada são as da folha original.

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ENEM 2020 · Questão 172 Fácil–média

A árvore de Natal em cone

No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

Figura 1: foto de uma iluminação natalina em forma de cone ao redor de um poste, à noite. Figura 2: esquema do cone, com o poste vertical no centro C da circunferência do chão, altura h = 3 m, e várias mangueiras saindo do topo até a circunferência.

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.

Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

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Dividir a circunferência em 20 arcos usa 20 mangueiras. Quanto mede cada uma? Ela, o poste e o raio formam um triângulo retângulo.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o raio da base de um cone de altura 3 m cuja geratriz mede 100 m dividido por 20.
ESTRUTURAR
• 20 pontos na circunferência: 20 mangueiras.
• Cada mangueira: $100 \div 20 = 5$ m.
• Altura: 3 m.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o triângulo retângulo formado por altura, raio e mangueira.
A armadilha: tomar o comprimento da mangueira como raio, o que dá 5,00 (alternativa C). A mangueira é a hipotenusa, inclinada; o raio fica no chão.
CALCULAR
\[5^2 = 3^2 + r^2\]
\[r^2 = 25 - 9 = 16 \;\Rightarrow\; r = 4\]
CONFERIR
O raio (4) é menor que a mangueira (5), como deve ser: o cateto é sempre menor que a hipotenusa.

Corte do cone: triângulo retângulo com o poste vertical de 3 m, o raio r no chão a partir do centro C e a mangueira de 5 m como hipotenusa, em dourado. Cada mangueira mede 100 dividido por 20, igual a 5 m. 5 ao quadrado é igual a 3 ao quadrado mais r ao quadrado, então r ao quadrado é 16 e r é igual a 4 m.

Resposta: A

Leve para outras questões: em cone, altura, raio e geratriz formam um triângulo retângulo com a geratriz como hipotenusa.

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ENEM 2018 · Questão 153 Média–difícil

O passeio em volta da praça

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

Praça circular com o chafariz no centro e o passeio entre os dois círculos concêntricos.

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.

Os dois círculos concêntricos com a corda AB do círculo de fora, tangente ao círculo de dentro, medindo 16 m.

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

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Ligue o centro ao ponto de tangência (raio r) e ao ponto A (raio R). Forma um triângulo retângulo com cateto 8, metade de AB.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: $R^2 - r^2$, que aparece direto no triângulo retângulo formado com metade de AB.
ESTRUTURAR
- AB = 16 m, tangente ao círculo menor.
- Metade: 8 m.
- Triângulo retângulo: hipotenusa R, catetos r e 8.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar Pitágoras para achar $R^2 - r^2$ sem precisar dos raios.
A armadilha: esquecer de elevar ao quadrado e usar só a metade da corda, $8\pi$ (alternativa B). Pitágoras dá $R^2 - r^2 = 8^2 = 64$.
CALCULAR
\[R^2 = r^2 + 8^2 \;\Rightarrow\; R^2 - r^2 = 64\]
\[\text{área} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = 64\pi \text{ m}^2\]
CONFERIR
Exemplo: r = 6 e R = 10 (porque $10^2 = 6^2 + 8^2$). Área: $100\pi - 36\pi = 64\pi$. Com r = 0 e R = 8 também dá $64\pi$: o valor não depende dos raios.

Os dois círculos concêntricos com a corda AB tangente ao círculo de dentro. Do centro saem o raio r, perpendicular a AB no ponto de tangência, e o raio R, até A. Forma-se um triângulo retângulo de catetos r e 8 e hipotenusa R, então R ao quadrado menos r ao quadrado é 64 e a área do passeio é 64 pi.

Resposta: D

Leve para outras questões: em coroa circular, a área só depende de $R^2 - r^2$, e uma corda tangente ao círculo de dentro dá esse valor por Pitágoras.

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UFRGS 2016 · Questão 45 Média–difícil

Hexágono, quadrados e círculo

Na figura abaixo, encontram-se representados o hexágono regular ABCDEF, seis quadrados com um de seus lados coincidindo com um lado do hexágono e um círculo que passa por vértices dos quadrados.

Hexágono regular ABCDEF dividido em 6 triângulos equiláteros. Sobre cada lado há um quadrado para fora, e um círculo passa pelos vértices externos dos seis quadrados.

Se o lado do hexágono é 1, então a área do círculo é

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Do centro do hexágono até o lado ED são $\frac{\sqrt3}{2}$ (a altura de um triângulo equilátero). Some o lado do quadrado e use Pitágoras com a metade do lado.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o quadrado do raio, que é o que entra na área do círculo.
ESTRUTURAR
Vértice externo do quadrado sobre ED, a partir do centro O:
• vertical: $\frac{\sqrt3}{2} + 1$;
• horizontal: $\frac12$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular $r^2$ por Pitágoras e multiplicar por $\pi$.
A armadilha: usar o raio $1 + \frac{\sqrt3}{2}$ direto, esquecendo o deslocamento horizontal de $\frac12$.
CALCULAR
\[r^2 = \left(1 + \frac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\frac12\right)^2 = 1 + \sqrt3 + \frac34 + \frac14 = 2 + \sqrt3\]
\[A = \pi r^2 = \pi(2 + \sqrt3)\]
CONFERIR
Valor aproximado: $r^2 \approx 3{,}73$, $r \approx 1{,}93$. É pouco menos que 2, coerente com a figura, em que o círculo vai até cerca de 2 lados do centro ✓.

O centro O do hexágono, o quadrado sobre o lado ED e o raio até o vértice externo V. Na vertical, √3/2 + 1; na horizontal, 1/2. r² = 2 + √3 e a área é π(2 + √3).

Resposta: C

Leve para outras questões: para o raio de um círculo que passa por um ponto, monte o triângulo retângulo com as distâncias horizontal e vertical até o centro.

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Colégio Tiradentes 2019 · Questão 49 Fácil–média

Diagonal do paralelepípedo

A diagonal D de um paralelepípedo que tem comprimento igual a 2x, largura e altura iguais a x, é igual a:

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Use Pitágoras duas vezes: primeiro na base, depois no triângulo com a altura.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a diagonal do sólido em função de x.
ESTRUTURAR
• Diagonal da base: $d^2 = (2x)^2 + x^2 = 5x^2$.
• Diagonal do sólido: $D^2 = d^2 + x^2$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar os quadrados das três medidas.
A armadilha: parar na diagonal da base, $x\sqrt{5}$.
CALCULAR
\[D^2 = 4x^2 + x^2 + x^2 = 6x^2\]
\[D = x\sqrt{6}\]
CONFERIR
Com $x = 1$: caixa 2 × 1 × 1, $D^2 = 4 + 1 + 1 = 6$. ✓

Paralelepípedo com comprimento 2x, largura x e altura x. Uma diagonal da base tracejada e a diagonal D do sólido destacada, do vértice de baixo da frente ao vértice de cima do fundo. Ao lado: D² = (2x)² + x² + x² = 6x², D = x√6.

Resposta: C

Leve para outras questões: a diagonal da caixa de lados a, b e c é $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Num cubo de aresta a, isso dá $a\sqrt{3}$.

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PAVE 2 2014 · Questão 16 Média

Diagonal, área e volume da caixa

Um paralelepípedo reto retangular cujas arestas medem, em cm, $a$, $b$ e $c$, com $(a + b + c)^2 = 144$, tem área total em $S$ (em cm²), diagonal $D$ (em cm) e volume $V = 48$ cm³. Nessas condições e sendo $1 + \frac{S}{D^2} = V$, o valor de $D$, em cm, é

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Expanda $(a + b + c)^2$: aparecem $a^2 + b^2 + c^2$ e $2(ab + ac + bc)$. Qual deles é $D^2$ e qual é $S$?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de $D$ a partir de $(a + b + c)^2 = D^2 + S$ e da relação $1 + \frac{S}{D^2} = 48$.
ESTRUTURAR
• $D^2 + S = 144$.
• $1 + \frac{S}{D^2} = 48 \iff S = 47D^2$.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir $S = 47D^2$ na primeira equação.
A armadilha: tentar achar as arestas $a$, $b$ e $c$ uma por uma. A questão foi montada para resolver só com $D^2$ e $S$.
CALCULAR
\[D^2 + 47D^2 = 144 \iff 48D^2 = 144 \iff D^2 = 3 \iff D = \sqrt{3}\]
CONFERIR
Conferindo as relações: com $D^2 = 3$, $S = 141$; $3 + 141 = 144$ ✓ e $1 + \frac{141}{3} = 48$ ✓.
Nota editorial: o resultado bate com o gabarito oficial (E), mas os dados não descrevem um paralelepípedo real. Cada aresta é menor que a diagonal; com $D = \sqrt3$, teríamos $a + b + c < 3\sqrt3 \approx 5{,}2$, e não 12, e o volume seria menor que $(\sqrt3)^3 \approx 5{,}2$, e não 48. A questão funciona como exercício de álgebra com as fórmulas de $D^2$ e $S$.
Por que as outras tentam: as outras alternativas não satisfazem as duas relações. Por exemplo, $D = 2\sqrt3$ (A) dá $D^2 = 12$ e $S = 132$, e aí $1 + \frac{S}{D^2} = 12$, e não 48.

Resposta: E

Leve para outras questões: no paralelepípedo, $(a + b + c)^2 = D^2 + S$. Essa identidade liga soma das arestas, diagonal e área total sem precisar das arestas separadas.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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6 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de Pitágoras.

Somar os quadrados quando falta um cateto. Se a hipotenusa é conhecida, subtraia. Veja na questão do trapézio.
Parar na distância em linha reta quando a pergunta é o percurso, o custo ou o número de voltas. Veja na questão do arame.
Escolher a medida maior quando ela não cabe: a resposta é o maior tamanho que respeita o limite. Veja na questão da televisão.
Mudar a diagonal na proporção da área. Veja na questão do quadrado ampliado.
Esquecer a raiz negativa ou mantê-la como resposta. Veja na questão dos catetos.
Procurar uma medida que a questão não pede. Veja na questão do passeio.

7 · DESAFIO

Um quebra-cabeça que cresce peça por peça.

Comece pela menor peça e caminhe para as maiores. Cada peça nova tem um lado igual a um lado da anterior, e a hipotenusa de uma vira cateto da seguinte. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2018 · Questão 179 Difícil

O quebra-cabeça de triângulos

Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.

Quadrado recoberto por triângulos retângulos isósceles: um grande claro ocupa a metade de cima e da esquerda; a outra metade é dividida em triângulos cada vez menores, alternando escuro e claro, até um triângulo bem pequeno no canto de baixo à direita.

Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.

O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é

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Comece pela peça menor, no canto de baixo à direita, e vá subindo. Em cada peça, um lado encosta num lado da vizinha, e a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles é o cateto vezes $\sqrt{2}$.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a medida do lado do quadrado, a partir da menor peça.
ESTRUTURAR
- Menor peça: catetos de 2 cm.
- As peças se encaixam lado a lado; cada uma é um triângulo retângulo isósceles.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Subir de peça em peça, usando o lado comum, até chegar a um lado inteiro do quadrado. Conferir pelo outro lado.
A armadilha: tomar só a hipotenusa do triângulo escuro de baixo, 12 cm (alternativa B), e esquecer os 2 cm da peça menor, que também ficam na borda de baixo.
CALCULAR
Da menor para a maior, cada medida vem de um lado comum com a peça anterior:
\[\text{menor (escura)}: \text{catetos } 2,\ \text{hipotenusa } 2\sqrt{2}\]
\[\text{clara pequena}: \text{catetos } 2\sqrt{2},\ \text{hipotenusa } 4\]
\[\text{escura pequena}: \text{catetos } 4,\ \text{hipotenusa } 4\sqrt{2}\]
\[\text{clara média}: \text{catetos } 4\sqrt{2},\ \text{hipotenusa } 8\]
\[\text{escura de cima}: \text{catetos } 8\]
\[\text{escura de baixo}: \text{cateto } 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2},\ \text{hipotenusa } 12\]
Borda de baixo: $12 + 2 = 14$.
CONFERIR
Borda da direita: $8 + 4 + 2 = 14$ ✓. A diagonal do quadrado é $6\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$, que é o lado 14 vezes $\sqrt{2}$ ✓.

O quadrado do quebra-cabeça redesenhado com as medidas. A peça menor tem catetos 2; subindo peça por peça: clara pequena com catetos 2 raiz de 2 e hipotenusa 4, escura pequena com catetos 4, clara média com hipotenusa 8, escura de cima com catetos 8 e escura de baixo com hipotenusa 12. Borda de baixo: 12 mais 2 igual a 14. Borda da direita: 8 mais 4 mais 2 igual a 14.

Resposta: A

Leve para outras questões: em figuras montadas com peças, comece pela peça conhecida e passe de uma para outra pelo lado comum. Confira o resultado por um segundo caminho.

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8 · TREINO RÁPIDO

Dez triângulos para fixar, com resposta.

Marque o ângulo reto e a hipotenusa antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Os catetos de um triângulo retângulo medem 11 e 60. Quanto mede a hipotenusa?
Ver resposta
$\sqrt{121+3\,600}=\sqrt{3\,721}=61$.
2
A hipotenusa mede 26 e um cateto mede 10. Quanto mede o outro?
Ver resposta
$\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$.
3
Qual a diagonal de um retângulo de 12 cm por 35 cm?
Ver resposta
$\sqrt{144+1\,225}=\sqrt{1\,369}=37$ cm.
4
Um quadrado tem diagonal $7\sqrt2$. Qual o seu perímetro?
Ver resposta
Lado 7, perímetro 28.
5
Qual a altura de um triângulo equilátero de lado 6?
Ver resposta
$3\sqrt3\approx5{,}2$.
6
Os lados 7, 8 e 11 formam um triângulo retângulo?
Ver resposta
Não: $7^2+8^2=113$, e $11^2=121$.
7
Os catetos são $x$ e $x+1$, e a hipotenusa é 29. Quanto vale $x$?
Ver resposta
$x^2+x-420=0\Rightarrow x=20$ (a raiz $-21$ não serve).
8
Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 16 e 9. Quanto mede a altura relativa à hipotenusa?
Ver resposta
$h^2=16\cdot9=144\Rightarrow h=12$.
9
Qual a diagonal de um cubo de aresta 4?
Ver resposta
$4\sqrt3\approx6{,}93$.
10
Um cone tem geratriz 25 e raio da base 7. Qual a sua altura?
Ver resposta
$\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$.

RESUMO PARA REVISAR

Triângulo retângulo em seis linhas.

$a^2=b^2+c^2$, com $a$ a hipotenusa, oposta ao ângulo reto.
Falta um cateto? Subtraia: $b^2=a^2-c^2$.
Quadrado: $d=\ell\sqrt2$. Equilátero: $h=\frac{\ell\sqrt3}{2}$. Caixa: $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Relações métricas: $h^2=mn$, $b^2=an$, $c^2=am$, $ah=bc$.
Ângulo reto escondido: raio e tangente, cone, dobradura, polígono regular.
Ternas como 3-4-5, 8-15-17, 7-24-25 e seus múltiplos poupam contas.

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Dez triângulos para fixar, com resposta.

Triângulo retângulo em seis linhas.