Um paralelepípedo reto retangular cujas arestas medem, em cm, a, b e c, com (a + b + c)^2 = 144, tem área total em S (em cm²), diagonal D (em cm) e volume V = 48 cm³. Nessas condições e sendo 1 + \frac{S}{D^2} = V, o valor de D, em cm, é
PAVE 2 · 2014
Questão 16 — PAVE 2 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Expanda (a + b + c)^2: aparecem a^2 + b^2 + c^2 e 2(ab + ac + bc). Qual deles é D^2 e qual é S?
Resolução
O que você precisa saber
- Diagonal do paralelepípedo: D² = a² + b² + c².
- Área total: S = 2(ab + ac + bc).
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) = D² + S.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de D a partir de (a + b + c)^2 = D^2 + S e da relação 1 + \frac{S}{D^2} = 48.
ESTRUTURAR
• D^2 + S = 144.
• 1 + \frac{S}{D^2} = 48 \iff S = 47D^2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir S = 47D^2 na primeira equação.
A armadilha: tentar achar as arestas a, b e c uma por uma. A questão foi montada para resolver só com D^2 e S.
CALCULAR
D^2 + 47D^2 = 144 \iff 48D^2 = 144 \iff D^2 = 3 \iff D = \sqrt{3}CONFERIR
Conferindo as relações: com D^2 = 3, S = 141; 3 + 141 = 144 ✓ e 1 + \frac{141}{3} = 48 ✓.
Nota editorial: o resultado bate com o gabarito oficial (E), mas os dados não descrevem um paralelepípedo real. Cada aresta é menor que a diagonal; com D = \sqrt3, teríamos a + b + c < 3\sqrt3 \approx 5{,}2, e não 12, e o volume seria menor que (\sqrt3)^3 \approx 5{,}2, e não 48. A questão funciona como exercício de álgebra com as fórmulas de D^2 e S.
Por que as outras tentam: as outras alternativas não satisfazem as duas relações. Por exemplo, D = 2\sqrt3 (A) dá D^2 = 12 e S = 132, e aí 1 + \frac{S}{D^2} = 12, e não 48.
Resposta
D = \sqrt{3} cm.
Alternativa correta
E