A equação x^3 + 3x^2 - x = 3 tem raízes reais a, b e c. Sendo \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab} + \frac{2}{ac} = 0, o valor de ac é
PAVE 2 · 2014
Questão 17 — PAVE 2 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Multiplique a condição por abc: ela vira uma relação entre a, b e c. Compare com a soma das raízes dada por Girard. E fatore a equação: quais são as raízes de verdade?
Resolução
O que você precisa saber
- Girard para x³ + px² + qx + r = 0: a + b + c = −p e abc = −r.
- x³ + 3x² − x − 3 = x²(x + 3) − (x + 3) = (x + 3)(x² − 1).
- Multiplicar uma equação por abc (com abc diferente de 0) elimina os denominadores.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o produto ac, sabendo que as raízes satisfazem a condição dada.
Nota editorial: esta questão foi anulada pela UFPel no gabarito definitivo. O problema aparece na resolução: a condição \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab} + \frac{2}{ac} = 0 obriga b = 3, e 3 não é raiz da equação. Nenhuma ordem das raízes satisfaz a condição, e por isso nenhuma alternativa pode ser justificada. A resolução abaixo mostra o caminho e onde ele quebra.
ESTRUTURAR
• Equação: x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0.
• Girard: a + b + c = -3 e abc = 3.
• Condição multiplicada por abc: a + c + 2b = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Combinar a condição com a soma das raízes para achar b, e depois usar abc = 3.
A armadilha: aplicar as fórmulas sem conferir se o valor encontrado é mesmo uma raiz. Aqui essa conferência mostra que os dados se contradizem.
CALCULAR
a + c + 2b = 0 \quad\text{e}\quad a + b + c = -3 \implies b = 3Se fosse possível, ac = \frac{abc}{b} = \frac{3}{3} = 1.
Mas as raízes são outras:
x^3 + 3x^2 - x - 3 = (x + 3)(x^2 - 1) = 0 \iff x \in \{-3,\ -1,\ 1\}3 não está entre elas. Testando as três escolhas possíveis de b: com b = -3, a + c + 2b = 0 - 6 = -6; com b = -1, -2 - 2 = -4; com b = 1, -4 + 2 = -2. Nenhuma dá 0.
CONFERIR
As raízes conferem com Girard: -3 - 1 + 1 = -3 ✓ e (-3)(-1)(1) = 3 ✓. A contradição está na condição extra, e não na equação.
O valor 1 (alternativa B) é o que sai das fórmulas sem conferir b; é provável que fosse a resposta pensada pela banca, mas ele não corresponde a nenhuma escolha real das raízes.
Resposta
Questão anulada pela UFPel: a condição exige b = 3, que não é raiz da equação, então nenhuma alternativa está correta.