Se os números 1 + i e 1 - 2i são raízes da equação x⁴ - 4x³ + 11x² - 14x + m = 0 onde m é um número real, então o valor de m é A) 16. B) 8. C) 10. D) 14. E) 20. F) I.R.

PAVE 2 · 2015

Questão 16 — PAVE 2 2015

Polinômios: raízes complexas conjugadas e relações de Girard Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Se os números 1 + i e 1 - 2i são raízes da equação x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + m = 0 onde m é um número real, então o valor de m é

(A)

16.

(B)

(C)

10.

(D)

14.

(E)

20.

(F)

I.R.

O que você precisa saber

Polinômio de coeficientes reais: se a + bi é raiz, a − bi também é.
(a + bi)(a − bi) = a² + b².
Girard no grau 4 com coeficiente líder 1: o produto das quatro raízes é igual ao termo independente.

O que a questão quer de verdade: o termo independente m de um polinômio de grau 4 do qual conhecemos duas raízes complexas.

• Raízes: 1 + i, 1 - i, 1 - 2i, 1 + 2i.

• Produto das raízes = \frac{m}{1} = m.

Agrupar cada raiz com o seu conjugado e multiplicar.

A armadilha: usar só as duas raízes dadas. Num polinômio de coeficientes reais elas vêm em pares, e o produto precisa das quatro.

(1 + i)(1 - i) = 1 + 1 = 2 \qquad (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5m = 2 \cdot 5 = 10

Montando o polinômio: (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 5) = x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + 10. Os coeficientes -4, 11 e -14 batem com o enunciado ✓, e m = 10.

Por que as outras tentam: D (14) copia o coeficiente de x. As outras (16, 8, 20) não saem do produto das raízes.

Resposta

m = 10.

Alternativa correta C