Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pelo teorema das raízes racionais, se uma equação polinomial
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0 \quad (a_n \neq 0),de coeficientes inteiros, admite uma raiz racional p/q, onde p é inteiro, q é inteiro positivo, não nulo, e p e q são primos entre si, então p é divisor de a_0 e q é divisor de a_n. Sabendo também que a equação
6x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0possui duas raízes complexas e uma raiz racional, pode-se dizer que esta última encontra-se no intervalo:
Os candidatos são \frac{p}{q} com p dividindo 1 e q dividindo 6. Teste \frac12. Ou agrupe: 6x^3 - 3x^2 = 3x^2(2x - 1).
O que a questão quer de verdade: achar a raiz racional de 6x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 e ver em que intervalo ela cai.
• a_0 = -1: p \in \{\pm 1\}.
• a_n = 6: q \in \{1, 2, 3, 6\}.
• Candidatas: \pm 1, \pm\frac12, \pm\frac13, \pm\frac16.
Testar as candidatas, começando pela que a fatoração sugere, \frac12.
A armadilha: confundir os papéis e montar \frac{q}{p} (candidatos \pm 6, \pm 3, \pm 2). O numerador vem do termo independente e o denominador vem do coeficiente líder.
3x^2 + 1 = 0 dá x = \pm\frac{i}{\sqrt3}, as duas raízes complexas.
6 \cdot \frac18 - 3 \cdot \frac14 + 2 \cdot \frac12 - 1 = \frac34 - \frac34 + 1 - 1 = 0 ✓. E \frac{4}{10} \leq \frac{5}{10} < \frac{6}{10} ✓.
Por que as outras tentam: B termina em \frac{5}{10}, mas o intervalo é aberto nesse extremo, então não contém \frac12. A contém x = 1, que dá 6 - 3 + 2 - 1 = 4 \neq 0. C e E contêm -\frac16 e -\frac13, que também não zeram o polinômio.
A raiz racional é \frac12, no intervalo \left[\frac{4}{10}, \frac{6}{10}\right[.
