PAVE 2 · 2013

Questão 15 — PAVE 2 2013

Trigonometria: paridade e relações entre as funções Fácil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Seja y = \tan(x) + \operatorname{sen}(x) + 1/\operatorname{cosec}(-x), é correto afirmar que:

(A)

y = \sec(x).

(B)

y = \operatorname{sen}(x).

(C)

y = \cos(x).

(D)

y = \tan(x).

(E)

y = \operatorname{cosec}(x).

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

cosec(u) = 1/sen(u), então 1/cosec(u) = sen(u).
O seno é ímpar: sen(−x) = −sen(x).
O cosseno é par: cos(−x) = cos(x).

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: simplificar y até uma única função trigonométrica.

ESTRUTURAR

• \frac{1}{\operatorname{cosec}(-x)} = \operatorname{sen}(-x).

• \operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}(x).

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Trocar a cossecante pelo seno e usar a paridade.

A armadilha: não ver o sinal de menos dentro da cossecante e somar \operatorname{sen}(x) + \operatorname{sen}(x). Com (-x), o último termo cancela o seno.

CALCULAR

y = \tan(x) + \operatorname{sen}(x) + \operatorname{sen}(-x) = \tan(x) + \operatorname{sen}(x) - \operatorname{sen}(x) = \tan(x)

CONFERIR

Teste com x = \frac{\pi}{4}: \tan = 1, \operatorname{sen} = \frac{\sqrt2}{2} e \frac{1}{\operatorname{cosec}(-\frac{\pi}{4})} = -\frac{\sqrt2}{2}. Soma: 1 + \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} = 1 = \tan\frac{\pi}{4} ✓.

Por que as outras tentam: elas aparecem para quem troca \frac{1}{\operatorname{cosec}} por cosseno ou secante, ou ignora o sinal de (-x) e fica com \tan(x) + 2\operatorname{sen}(x). Nenhuma delas é igual a y para todo x.

Resposta

y = \tan(x).

Alternativa correta D