Seja L o tamanho do menor barbante necessário para circundar uma garrafa cilíndrica com volume de 960ml e 20cm de altura. Desprezando a espessura do barbante e das paredes da garrafa, considerando o número \pi aproximadamente igual a 3, é seguro afirmar que o valor de L pertence ao intervalo:
PAVE 2 · 2013
Questão 14 — PAVE 2 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O barbante dá uma volta na garrafa: L é o comprimento da circunferência da base. Para isso você precisa do raio, que sai do volume. Lembre: 1 ml = 1 cm³.
Resolução
O que você precisa saber
- Volume do cilindro: V = π r² h.
- 1 ml = 1 cm³.
- Comprimento da circunferência: C = 2π r.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o perímetro da base da garrafa, 2\pi r, sabendo o volume e a altura.
ESTRUTURAR
• V = 960 \text{ ml} = 960 \text{ cm}^3, h = 20 cm, \pi \approx 3.
• V = \pi r^2 h e L = 2\pi r.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar r pelo volume e calcular L = 2\pi r.
A armadilha: esquecer o \pi ao isolar r^2 (r^2 = \frac{960}{20} = 48). O raio sairia perto de 6,9 cm, e o barbante passaria de 40 cm, fora de todas as alternativas.
CALCULAR
960 = 3 \cdot r^2 \cdot 20 \iff r^2 = \frac{960}{60} = 16 \iff r = 4 \text{ cm}L = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ cm}CONFERIR
24 está em [21, 25[ ✓. Com o \pi verdadeiro, r^2 = \frac{960}{20\pi} \approx 15{,}3, r \approx 3{,}91 cm e L \approx 24{,}6 cm: continua no mesmo intervalo, e por isso a questão diz "é seguro afirmar".
Por que as outras tentam: os intervalos têm 4 cm de largura e não se sobrepõem; só o D contém 24. Quem usa o diâmetro no lugar do raio (2\pi \cdot 8 = 48) ou o raio sem o 2 (\pi \cdot 4 = 12) também não cai em nenhuma das outras.
Resposta
L = 24 cm, no intervalo [21 \text{ cm}, 25 \text{ cm}[.
Alternativa correta
D