CILINDRO

O cilindro é um prisma de base redonda.

Caixas-d'água, cisternas, latas, reservatórios e silos. No ENEM, o cilindro quase sempre pergunta quanto cabe, quanto tempo leva para encher e o que acontece quando o raio ou a altura mudam. Esta página ensina volume, área, vazão e sólidos com furo, com questões reais resolvidas.

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1 · ELEMENTOS

Duas bases circulares iguais e paralelas.

Raio \(r\): o raio das bases. Muitos enunciados dão o diâmetro, \(d=2r\).
Altura \(h\): a distância entre os planos das bases.
Eixo: a reta que passa pelos centros das bases.
Geratriz \(g\): segmento paralelo ao eixo que liga as duas bases.

No cilindro reto (ou de revolução), o eixo é perpendicular às bases e \(g=h\). Ele nasce girando um retângulo em torno de um lado.

No cilindro oblíquo, o eixo é inclinado e a geratriz fica maior que a altura. Pelo mesmo princípio de Cavalieri visto nos prismas (uma pilha de moedas inclinada), o volume continua sendo área da base vezes altura.

Cortando o cilindro reto por um plano que contém o eixo, aparece a secção meridiana: um retângulo de lados \(2r\) e \(h\). Quando ela é um quadrado, o cilindro é equilátero: \(h=2r\).

Cilindro reto: a geratriz tem a mesma medida da altura.

2 · VOLUME

Área do círculo da base vezes a altura.

Como no prisma, o volume é a área da base repetida ao longo da altura. A base é um círculo:

\[V=\pi r^2\cdot h\]

Reservatório de raio 2 m e altura 3 m, com \(\pi\approx3\): \(V=3\cdot4\cdot3=36\) m³, que são 36 000 litros.

Diâmetro primeiro vira raio. Base de 6 m de diâmetro tem raio 3 m, e a área da base é \(\pi\cdot9\), não \(\pi\cdot36\).

Volume	Capacidade
1 cm³	1 mL
1 dm³	1 L
1 m³	1 000 L

Para achar o raio a partir do volume, isole \(r^2=\frac{V}{\pi h}\) e tire a raiz. Para achar a altura, \(h=\frac{V}{\pi r^2}\).

Cilindro dentro do cubo

O maior cilindro que cabe num cubo de aresta \(a\) tem diâmetro \(a\) e altura \(a\), ou seja, \(r=\frac{a}{2}\):

\[V=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2a=\frac{\pi a^3}{4}\approx0{,}785\,a^3\]

O cilindro ocupa cerca de 78,5% do cubo, qualquer que seja a aresta. Uma lata de 10 cm de diâmetro e 10 cm de altura numa caixa cúbica de 10 cm deixa uns 215 cm³ de espaço vazio nos cantos.

ENEM 2015 · Questão 146 Fácil–média

A nova cisterna

Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

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Use o volume do cilindro com altura 3 e volume 81 para achar o novo raio. Compare com o raio atual, que é metade do diâmetro.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o raio da nova cisterna e quanto ele cresceu em relação ao raio atual.
ESTRUTURAR
- Atual: altura 3 m, diâmetro 2 m (raio 1 m).
- Nova: altura 3 m, volume 81 m³.
- π = 3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o raio novo pela fórmula do volume e subtrair o raio antigo.
A armadilha: comparar o raio novo com o diâmetro antigo e responder 3 − 2 = 1,0 (alternativa B). Outra é subtrair os quadrados dos raios, 9 − 1 = 8,0 (alternativa E).
CALCULAR
\[81 = 3 \cdot r^2 \cdot 3 \;\Rightarrow\; r^2 = 9 \;\Rightarrow\; r = 3\ \text{m}\]
\[\text{aumento} = 3 - 1 = 2{,}0\ \text{m}\]
CONFERIR
\(3 \cdot 3^2 \cdot 3 = 81\ \text{m}^3\) ✓.

Resposta: C

Leve para outras questões: quando o enunciado dá o diâmetro, troque logo para o raio antes de usar qualquer fórmula.

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ENEM 2023 · Questão 142 Média

Água para 10 dias

A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.

No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes. Considere 3 como aproximação para \(\pi\).

Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?

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Calcule quanta água ainda resta (lembre que 1 metro cúbico tem 1 000 litros) e reparta entre 75 pessoas e 10 dias. A economia é a diferença para os 200 litros de costume.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quanto cada morador pode gastar por dia com a água que sobrou e quanto isso é a menos que os 200 litros habituais.
ESTRUTURAR
- Reservatório: raio 5 m, nível atual 1,5 m.
- Faltam 10 dias de junho, para 75 moradores.
- Consumo normal: 200 litros por pessoa por dia.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Volume que resta, dividido por pessoas e por dias, comparado com 200.
A armadilha: responder quanto cada um pode gastar (150 litros, alternativa E) em vez de quanto deve economizar.
CALCULAR
\[V = 3 \cdot 5^2 \cdot 1{,}5 = 112{,}5 \text{ m}^3 = 112\,500 \text{ L}\]
\[\frac{112\,500}{75 \cdot 10} = \frac{112\,500}{750} = 150 \text{ L por pessoa por dia}\]
\[200 - 150 = 50 \text{ L}\]
CONFERIR
Gastando 150 L, os 75 moradores usam 11 250 L por dia; em 10 dias, 112 500 L, exatamente o que há no reservatório ✓.

Reservatório cilíndrico de raio 5 m com água até 1,5 m de altura. Volume que resta: 3 vezes 5 ao quadrado vezes 1,5, igual a 112,5 metros cúbicos, ou 112 500 litros. Dividido por 75 moradores e 10 dias dá 150 litros por pessoa por dia; a economia é 200 menos 150, igual a 50 litros.

Resposta: A

Leve para outras questões: em problemas de reservatório, converta tudo para a mesma unidade logo no início (metro cúbico para litro) e responda exatamente a grandeza pedida: gasto ou economia.

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3 · NÍVEL E VAZÃO

Num cilindro em pé, o volume sobe em proporção à altura.

A área da base não muda ao longo da altura. Por isso, cada centímetro de subida do nível corresponde sempre ao mesmo volume:

\[\text{volume que entrou}=A_{\text{base}}\cdot\text{subida do nível}\]

Vazão é volume por tempo (m³/h, L/min). Com vazão constante, o nível sobe sempre o mesmo tanto por hora:

\[\text{vazão}=A_{\text{base}}\cdot\frac{\text{subida do nível}}{\text{tempo}}\]

Exemplo: numa caixa de base 2 m², o nível subiu 0,4 m em 2 horas. Entraram \(2\cdot0{,}4=0{,}8\) m³, e a vazão foi \(\frac{0{,}8}{2}=0{,}4\) m³/h, ou 400 L/h.

Isso vale para qualquer recipiente com a mesma seção do fundo ao topo: prisma ou cilindro em pé. Num cone ou num cilindro deitado, o nível não sobe por igual.

E o cilindro deitado?

Deitado, o cilindro é largo no meio e estreito embaixo e em cima. Com o mesmo tanto de água entrando por minuto, o nível sobe depressa no começo, devagar no meio e depressa de novo no fim.

Por isso a régua de um tanque deitado (de caminhão-pipa ou de posto) não pode ter marcas igualmente espaçadas. Com o nível a um quarto da altura, um tanque em pé está com 25% do volume; um tanque deitado está com cerca de 20%. Só na metade os dois coincidem: meio cheio é meio cheio.

O ENEM cobra isso sobretudo em gráficos de "nível × tempo": seção constante dá reta; seção que muda dá curva.

Mesmo nível, volumes diferentes: no tanque deitado, o fundo é estreito.

ENEM 2023 · Questão 144 Fácil–média

A vazão que encheu a cisterna

A foto mostra a construção de uma cisterna destinada ao armazenamento de água. Uma cisterna como essa, na forma de cilindro circular reto com 3 m² de área da base, foi abastecida por um curso-d’água com vazão constante. O seu proprietário registrou a altura do nível da água no interior da cisterna durante o abastecimento em diferentes momentos de um mesmo dia, conforme o quadro.

Quadro com o horário e o nível da água em metro: 6:00, 0,5; 8:00, 1,1; 12:00, 2,3; 15:00, 3,2.

Fotografia em preto e branco de uma cisterna circular em construção, com paredes de placas, dentro de um buraco na terra. Há trabalhadores ao redor e uma casa simples ao fundo. Fonte: www.paraibamix.com.

Qual foi a vazão, em metro cúbico por hora, do curso-d’água que abasteceu a cisterna?

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Escolha dois horários do quadro e veja quanto o nível subiu por hora. A vazão é o volume por hora, então multiplique essa subida pela área da base.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos metros cúbicos entram por hora, sabendo quanto o nível sobe por hora.
ESTRUTURAR
- Área da base: 3 m².
- Das 6h às 8h o nível foi de 0,5 m para 1,1 m.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular a subida do nível por hora e multiplicar pela área da base.
A armadilha: parar na subida do nível, 0,3 metro por hora (alternativa A). Isso é velocidade do nível, não vazão em metro cúbico.
CALCULAR
\[\frac{1{,}1 - 0{,}5}{8 - 6} = \frac{0{,}6}{2} = 0{,}3 \text{ m/h}\]
\[\text{vazão} = 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}9 \text{ m}^3/\text{h}\]
CONFERIR
Das 12h às 15h: \(\frac{3{,}2 - 2{,}3}{3} = 0{,}3\) metro por hora, o mesmo ritmo ✓. A vazão é mesmo constante.

Resposta: C

Leve para outras questões: subida do nível vezes área da base dá volume. Confira a unidade pedida; se é metro cúbico por hora, a resposta não pode ser só metro por hora.

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4 · ÁREA E PLANIFICAÇÃO

Aberta, a lateral é um retângulo de comprimento \(2\pi r\).

Desenrolando a lateral do cilindro reto, aparece um retângulo: a altura é \(h\), e o comprimento é a volta da base, \(2\pi r\).

\[A_{\text{lateral}}=2\pi r\cdot h\qquad A_{\text{base}}=\pi r^2\]

\[A_{\text{total}}=2\pi r^2+2\pi r h\]

Exemplo. O rótulo de uma lata de raio 3 cm e altura 10 cm tem \(2\pi\cdot3\cdot10=60\pi\approx188\) cm².

Leia quais partes entram. Lata sem tampa tem uma base só. Rótulo de lata é só a lateral. Tubo aberto nas pontas não tem base nenhuma.

Duas bases circulares e um retângulo de \(2\pi r\) por \(h\).

A mesma folha, dois cilindros

Uma folha de 30 cm × 20 cm pode ser enrolada de dois jeitos, sem tampas. A área lateral é a mesma (600 cm²), mas o volume não:

VOLTA DE 20 CM\(2\pi r=20\), então \(r\approx3{,}18\) cm e \(h=30\): \(V\approx955\) cm³.
VOLTA DE 30 CM\(2\pi r=30\), então \(r\approx4{,}77\) cm e \(h=20\): \(V\approx1\,432\) cm³.

O cilindro mais "gordo" guarda 50% a mais, porque o raio entra ao quadrado e a altura não. Quando a área é fixa, quem decide o volume é o raio.

Pelo mesmo motivo, as latas de bebida ficam perto do formato em que a altura é igual ao diâmetro (\(h=2r\)): é o cilindro fechado que guarda mais volume para cada cm² de chapa.

Mesma folha, mesma área lateral; o cilindro largo guarda 50% a mais.

5 · QUANDO O RAIO OU A ALTURA MUDAM

O raio entra ao quadrado; a altura, não.

Em \(V=\pi r^2h\), o raio aparece ao quadrado. Então:

RAIO × kVolume × \(k^2\). Raio triplicado, volume × 9.
ALTURA × kVolume × \(k\). Altura triplicada, volume × 3.
AS DUASMultiplique os efeitos: raio pela metade e altura × 3 dão \(\frac{1}{4}\cdot3=\frac{3}{4}\) do volume.

Dobrar o raio multiplica a área da base, e o volume, por 4.

ENEM 2020 · Questão 161 Fácil–média

Mesma capacidade, outra altura

Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d'água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d'água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d'água do tipo A.

Se R denota o raio da caixa-d'água do tipo A, então o raio da caixa-d'água do tipo B é

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Iguale os dois volumes. Se a altura vira um quarto, a área da base precisa ficar 4 vezes maior. E o raio?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o raio de um cilindro com o mesmo volume e um quarto da altura.
ESTRUTURAR
• Tipo A: raio R, altura h.
• Tipo B: raio r, altura \(\frac{h}{4}\).
• Volumes iguais.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar os volumes e isolar r.
A armadilha: pensar que o raio cresce na mesma proporção que a altura diminui, o que dá 4R (alternativa C). O que fica 4 vezes maior é o raio ao quadrado.
CALCULAR
\[\pi r^2 \cdot \frac{h}{4} = \pi R^2 \cdot h\]
\[r^2 = 4R^2 \;\Rightarrow\; r = 2R\]
CONFERIR
Com R = 1 e h = 4: volume de A é \(4\pi\). Em B, raio 2 e altura 1: \(\pi \cdot 4 \cdot 1 = 4\pi\). Confere.

Resposta: B

Leve para outras questões: o raio entra ao quadrado no volume do cilindro. Mudanças na altura se compensam com a raiz quadrada no raio.

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ENEM 2022 · Questão 169 Média

A caixa-d'água de maior capacidade

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d'água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é \(A_b\), como segue:

modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d'água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

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Volume = área da base × profundidade. Cuidado: mudar o raio muda a área pelo quadrado. Dobrar o raio quadruplica a área.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: por quanto o volume de cada modelo fica multiplicado em relação ao modelo I.
ESTRUTURAR
• Modelo I: volume \(A_b \cdot P\) (fator 1).
• Metade do raio: área multiplicada por \(\frac{1}{4}\). Dobro do raio: área multiplicada por 4.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o fator de cada modelo multiplicando o fator da área pelo da profundidade.
A armadilha: tratar raio como área. Quem faz isso acha que os modelos II a V têm todos o mesmo volume do modelo I.
CALCULAR
\[\text{II: } \tfrac{1}{2} \cdot 2 = 1 \qquad \text{III: } \tfrac{1}{4} \cdot 2 = \tfrac{1}{2}\]
\[\text{IV: } 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 \qquad \text{V: } 4 \cdot \tfrac{1}{2} = 2\]
CONFERIR
O modelo V tem o dobro do volume do modelo I; os modelos I, II e IV empatam e o III tem metade. A maior capacidade é a do V.

Resposta: E

Leve para outras questões: quando medidas mudam por um fator, o volume muda pelo produto dos fatores, e o raio sempre entra ao quadrado.

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6 · SÓLIDOS COM FURO

Volume com furo é o de fora menos o de dentro.

Um tubo, um anel ou uma piscina com uma ilha no meio têm a mesma altura nas duas partes. Então basta subtrair as áreas das bases e multiplicar pela altura:

\[V=\pi(R^2-r^2)\cdot h\]

A base é uma coroa circular. Se o furo tiver outra forma (um quadrado, um prisma), troque \(\pi r^2\) pela área dessa forma.

Cano com raio externo 5 cm, interno 4 cm e 1 m de comprimento, com \(\pi\approx3\): \(3\cdot(25-16)\cdot100=2\,700\) cm³ de material.

Vista de cima: a base do sólido é a coroa entre os dois círculos.

ENEM 2013 · Questão 157 Média

A ilha na piscina

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m³, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m³.

Vista de cima da piscina circular de centro O e raio R, com a ilha de lazer circular de raio r no centro; a parte da água forma um anel em volta da ilha.

Considere 3 como valor aproximado para \(\pi\).

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de

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Se a água precisa de pelo menos 4 m³, a ilha pode ocupar no máximo 12 − 4 = 8 m³. A ilha é um cilindro de altura 1 m.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o maior raio de ilha que ainda deixa 4 m³ de água.
ESTRUTURAR
• Piscina: volume 12 m³, profundidade 1 m.
• Ilha: cilindro de raio r e altura 1 m.
• Água: pelo menos 4 m³.
• \(\pi = 3\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o volume máximo da ilha e resolver para r.
A armadilha: calcular só o raio da piscina, \(3R^2 = 12 \Rightarrow R = 2\), e responder 2,0 (alternativa C). Com r = 2 a ilha ocuparia a piscina toda.
CALCULAR
\[\text{ilha} \le 12 - 4 = 8\ \text{m}^3\]
\[3 \cdot r^2 \cdot 1 \le 8 \;\Rightarrow\; r^2 \le 2{,}67 \;\Rightarrow\; r \le 1{,}63\]
CONFERIR
Com r = 1,6: ilha \(3 \cdot 2{,}56 = 7{,}68\) m³ e água \(4{,}32\) m³ ✓. Com r = 1,7: ilha \(8{,}67\) m³ e água \(3{,}33\) m³, abaixo de 4.

Resposta: A

Leve para outras questões: "no mínimo" para uma parte vira "no máximo" para a outra; monte a desigualdade com o que sobra.

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ENEM 2025 · Questão 177 Média

A medalha com furo quadrado

A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.

Vista de frente da medalha circular de 6 cm de diâmetro, com um quadrado cinza ABCD cujos vértices tocam a borda; a região entre o quadrado e o círculo é dourada. Ao lado, a medalha em perspectiva, com espessura de 3 mm.

A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.

Considere 3,1 como valor aproximado para π.

Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?

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O ouro é o volume do cilindro menos o volume do prisma, e os dois têm a mesma altura. A diagonal do quadrado é igual a qual medida da medalha?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume da parte dourada de uma medalha, vezes 100.
Os vértices do quadrado tocam o círculo, então a diagonal do quadrado é o diâmetro da medalha: 6 cm.
ESTRUTURAR
- Círculo: raio de 3 cm.
- Quadrado: diagonal de 6 cm.
- Espessura: 3 mm = 0,3 cm.
- Quantidade: 100 medalhas.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Área dourada = área do círculo − área do quadrado. Depois, multiplicar pela espessura e por 100.
A armadilha: esquecer de converter 3 mm para centímetro. O volume é pedido em centímetro cúbico, então todas as medidas têm de estar em centímetro.
CALCULAR
\[\text{círculo: } 3{,}1 \cdot 3^2 = 27{,}9 \text{ cm}^2\]
\[\text{quadrado: } \frac{6^2}{2} = 18 \text{ cm}^2\]
\[\text{área dourada: } 27{,}9 - 18 = 9{,}9 \text{ cm}^2\]
\[\text{uma medalha: } 9{,}9 \cdot 0{,}3 = 2{,}97 \text{ cm}^3\]
\[100 \cdot 2{,}97 = 297 \text{ cm}^3\]
CONFERIR
Conferindo o quadrado pelo lado: o lado é \(\tfrac{6}{\sqrt{2}}\), e \(\left(\tfrac{6}{\sqrt{2}}\right)^2 = \tfrac{36}{2} = 18\) ✓.
A alternativa D (990) é \(100 \cdot 9{,}9\): a área dourada sem multiplicar pela espessura.

Resposta: B

Leve para outras questões: quadrado inscrito no círculo tem diagonal igual ao diâmetro. Guarde a área pela diagonal: d² ÷ 2.

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7 · ARMADILHAS DE PROVA

Os cinco erros que mais derrubam questão de cilindro.

Usar o diâmetro como raio. E responder o raio novo quando a pergunta é o aumento. Veja na questão de 2015.
Esquecer que 1 m³ são 1 000 litros. Veja na questão de 2023.
Confundir subida do nível com vazão. Vazão é volume: multiplique a subida pela área da base. Veja na questão de 2023.
Tratar raio e altura do mesmo jeito. O raio vai ao quadrado. Veja na questão de 2020 e na de 2022.
Esquecer de tirar o furo, ou tirar o furo errado. No quadrado inscrito, a diagonal é o diâmetro. Veja na questão de 2025.

8 · DESAFIO

Cinco reservatórios ligados por canos: onde a água para?

O volume de água não muda: ele só se reparte entre os reservatórios e os canos. Monte a conta "volume antes = volume depois" com a mesma altura em todos. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2019 · Questão 175 Difícil

Vasos comunicantes

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (\(R_C\)) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (\(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) e \(R_4\)), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

Esquema de um reservatório central RC, maior, ligado por canos a quatro reservatórios auxiliares menores, R1, R2, R3 e R4.

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

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A água do central enche primeiro os 4 canos. O que sobra se reparte entre os 5 reservatórios com a mesma altura h, inclusive o central.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura comum h depois que a água do central se divide entre os canos e os cinco reservatórios.
ESTRUTURAR
- Central: raio 2 m, altura 3,30 m.
- Auxiliares: raio 1,5 m (altura 1,5 m, não transborda).
- Canos: 4, raio 0,05 m, comprimento 20 m.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Volume inicial menos o volume dos canos é igual à área total das bases vezes h.
A armadilha: esquecer que o reservatório central também fica com água até a altura h e dividir o volume restante só pelas bases dos auxiliares, chegando a cerca de 1,44 (alternativa A).
CALCULAR
\[V_C = \pi \cdot 2^2 \cdot 3{,}3 = 13{,}2\pi \qquad V_{\text{canos}} = 4 \cdot \pi \cdot 0{,}05^2 \cdot 20 = 0{,}2\pi\]
\[\text{bases: } \pi \cdot 2^2 + 4 \cdot \pi \cdot 1{,}5^2 = 4\pi + 9\pi = 13\pi\]
\[13\pi \cdot h = 13{,}2\pi - 0{,}2\pi = 13\pi \;\Rightarrow\; h = 1{,}00 \text{ m}\]
CONFERIR
Com h = 1 m: central \(4\pi\), auxiliares \(9\pi\), canos \(0{,}2\pi\). Soma \(13{,}2\pi\), o volume inicial. E 1 m é menor que 1,5 m, então os auxiliares não transbordam.

O reservatório central e os auxiliares com a mesma altura de água h, marcada por uma linha tracejada. Água inicial: pi vezes 2 ao quadrado vezes 3,3, igual a 13,2 pi. Os quatro canos guardam 0,2 pi. Sobram 13 pi sobre bases que somam 4 pi mais 9 pi, igual a 13 pi, então h é 1,00 m. Quem esquece a base do central divide por 9 pi e acha cerca de 1,44.

Resposta: D

Leve para outras questões: em vasos comunicantes, o volume se conserva. Conte todos os lugares onde a água fica, inclusive o recipiente de origem e os canos.

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9 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Use \(\pi\approx3\), a não ser que o exercício diga outro valor. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Qual é o volume de um cilindro de raio 2 m e altura 5 m?
Ver resposta
\(3\cdot4\cdot5=60\) m³.
2
Uma lata tem raio 10 cm e altura 20 cm. Quantos litros cabem nela? Use \(\pi\approx3{,}14\).
Ver resposta
\(3{,}14\cdot100\cdot20=6\,280\) cm³ = 6,28 L.
3
Um cilindro tem raio 3 cm e altura 10 cm. Quais são a área lateral e a área total?
Ver resposta
Lateral \(2\cdot3\cdot3\cdot10=180\) cm²; bases \(2\cdot3\cdot9=54\) cm²; total 234 cm².
4
Quanto material vai numa lata sem tampa de raio 4 cm e altura 10 cm?
Ver resposta
Uma base \(3\cdot16=48\) + lateral \(2\cdot3\cdot4\cdot10=240\): 288 cm².
5
Um cilindro equilátero tem raio 5 cm. Qual é o volume?
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\(h=2r=10\): \(3\cdot25\cdot10=750\) cm³.
6
O raio de um cilindro triplica e a altura fica igual. Por quanto fica multiplicado o volume?
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Por \(3^2=9\).
7
O raio cai pela metade e a altura dobra. O que acontece com o volume?
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\(\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}\): o volume cai pela metade.
8
Um tanque cilíndrico de base 2 m² recebe 0,5 m³ por hora. Quanto o nível sobe por hora?
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\(\frac{0{,}5}{2}=0{,}25\) m = 25 cm por hora.
9
Um cano tem raio externo 5 cm, raio interno 4 cm e 100 cm de comprimento. Qual é o volume de material?
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\(3\cdot(25-16)\cdot100=2\,700\) cm³.
10
Uma caixa-d'água cilíndrica de 1 000 L tem raio 0,5 m. Qual é a altura?
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1 000 L = 1 m³; \(h=\frac{1}{3\cdot0{,}25}\approx1{,}33\) m.

RESUMO PARA REVISAR

Cilindro em seis linhas.

Volume: \(V=\pi r^2h\). Diâmetro primeiro vira raio.
1 dm³ = 1 L e 1 m³ = 1 000 L.
Volume que entrou = área da base × subida do nível. Vazão = volume ÷ tempo.
Área: lateral \(2\pi rh\), base \(\pi r^2\). Leia quais partes entram.
Raio × \(k\): volume × \(k^2\). Altura × \(k\): volume × \(k\).
Com furo: \(\pi(R^2-r^2)h\), ou área de fora menos área do furo, vezes a altura.

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