Pirâmide e tronco de pirâmide: elementos, triângulos, áreas e volume, com questões resolvidas

1 · ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO

Ligue cada vértice de um polígono a um ponto fora do plano dele.

A pirâmide tem uma base, que é um polígono, e um vértice \(V\) fora do plano da base. Cada lado da base, ligado a \(V\), forma uma face lateral triangular.

Arestas da base: os lados do polígono da base.
Arestas laterais: os segmentos que ligam \(V\) aos vértices da base.
Altura \(h\): a distância de \(V\) ao plano da base, medida na perpendicular. O pé da altura é o ponto \(O\).
Apótema da pirâmide \(a\): a altura de uma face lateral, relativa à aresta da base.

O nome vem da base: pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal. A pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e o pé da altura é o centro da base. Aí todas as arestas laterais são iguais e todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

A altura \(h\) cai no centro \(O\) da base; o apótema \(a\) é a altura da face lateral.

Triangular (o tetraedro): 4 faces e 6 arestas. Quadrangular: 5 faces e 8 arestas. Hexagonal: 7 faces e 12 arestas.

CONTAGEM
Base com \(n\) lados: \(n\) faces laterais + 1 base, \(n\) arestas na base + \(n\) laterais, \(n\) vértices na base + 1 no topo.
Confira com Euler: \((n+1)+(n+1)=2n+2\).
TETRAEDRO
É a pirâmide triangular. Qualquer uma das 4 faces pode ser a base.
No tetraedro regular, as 6 arestas são iguais e as 4 faces são triângulos equiláteros.
PIRÂMIDE RETA OU OBLÍQUA
Se o pé da altura não é o centro da base, a pirâmide é oblíqua: as faces laterais deixam de ser iguais.
As provas usam quase sempre pirâmides regulares ou pirâmides dentro de um prisma.

ENEM 2020 · Questão 151 Fácil

O Templo de Kukulkán

Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.

As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são

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Imagine uma pirâmide de base quadrada cortada por um plano paralelo à base. Quais são as faces de cima e de baixo? E o que sobra de cada triângulo lateral?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: identificar as faces de um tronco reto de pirâmide de base quadrada.
ESTRUTURAR
- Base maior: quadrado.
- Base menor (o corte): quadrado.
- Faces laterais: o que sobra das 4 faces triangulares da pirâmide.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Partir da pirâmide inteira e ver o que muda com o corte.
A armadilha: pensar num prisma. "2 quadrados e 4 retângulos" (alternativa A) descreve um prisma de base quadrada, cujas faces laterais não se inclinam.
CALCULAR
- A pirâmide de base quadrada tem 1 quadrado e 4 triângulos isósceles (por ser reta).
- O corte paralelo cria um quadrado menor no topo.
- Cada triângulo perde a ponta e vira trapézio isósceles.
Total: 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
CONFERIR
Contagem de faces: 2 + 4 = 6, igual à pirâmide (5 faces) mais a nova face do corte.

Resposta: C

Leve para outras questões: um tronco tem sempre duas bases semelhantes e, nas laterais, trapézios. No tronco reto de base regular, esses trapézios são isósceles e iguais.

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2 · OS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS DE DENTRO

Altura, apótemas e arestas se ligam por três triângulos retângulos.

\(m\): apótema da base (centro até o meio de um lado). \(R\): raio da base (centro até um vértice). \(\ell\): aresta da base.

Na pirâmide regular, a altura \(h\) é perpendicular à base, então forma ângulo reto com qualquer segmento da base que saia do centro \(O\). Isso dá dois triângulos:

com o apótema da base \(m\), a hipotenusa é o apótema da pirâmide: \(a^2=h^2+m^2\);
com o raio da base \(R\), a hipotenusa é a aresta lateral: \(l^2=h^2+R^2\).

O terceiro está na face lateral, que é um triângulo isósceles: o apótema \(a\) a divide em duas metades, e \(l^2=a^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2\).

Exemplo. Pirâmide quadrangular regular com aresta da base 6 e altura 4. Então \(m=3\) e \(a=\sqrt{16+9}=5\). O raio da base é a metade da diagonal, \(R=3\sqrt2\), e \(l=\sqrt{16+18}=\sqrt{34}\). Conferindo na face: \(5^2+3^2=34\).

Base regular de lado \(\ell\)	Apótema \(m\)	Raio \(R\)
Triângulo equilátero	\(\frac{\ell\sqrt3}{6}\)	\(\frac{\ell\sqrt3}{3}\)
Quadrado	\(\frac{\ell}{2}\)	\(\frac{\ell\sqrt2}{2}\)
Hexágono	\(\frac{\ell\sqrt3}{2}\)	\(\ell\)

Qual triângulo usar? Marque o que o enunciado dá e o que ele pede. Escolha o triângulo que tem os dois.

No triângulo equilátero, o centro divide a altura da base em \(\frac13\) e \(\frac23\): \(m\) é um terço da altura e \(R\) são dois terços.

ENEM 2012 · Questão 165 Média

O caminho visto de cima

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

Pirâmide de base quadrada ABCD e vértice E acima do centro da base; M é o ponto médio da aresta BC.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C.

O desenho que Bruno deve fazer é

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Projete cada ponto na base: A, M e C já estão na base; E cai bem no centro do quadrado. Depois ligue os pontos projetados na mesma ordem.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o caminho A até o centro, centro até M e M até C, visto de cima.
ESTRUTURAR
- A, M, C: na base.
- E: acima do centro O da base.
- M: ponto médio de BC.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Trocar E pelo centro O e ligar A, O, M, C.
A armadilha: ligar A direto a M, esquecendo que a subida até E se projeta no centro da base (alternativa B).
CALCULAR
A até O: meia diagonal, do canto ao centro.
O até M: segmento horizontal, paralelo a AB, do centro ao meio de BC.
M até C: metade de cima do lado BC.
CONFERIR
O desenho com diagonal até o centro, trecho horizontal até o meio de BC e subida até C é o único que passa pelo centro ✓.

Resposta: C

Leve para outras questões: para projeção em um plano, projete os pontos de quebra e ligue-os; os segmentos se projetam em segmentos.

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3 · ÁREAS E VOLUME

A área soma as faces; o volume é um terço do prisma.

\[A_\ell=n\cdot\frac{\ell\cdot a}{2}\qquad A_t=A_b+A_\ell\qquad V=\frac{A_b\cdot h}{3}\]

A área lateral é a soma das \(n\) faces triangulares, cada uma com base \(\ell\) e altura \(a\) (o apótema da pirâmide, não a altura do sólido). A área total soma a base.

O volume é um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Vale para qualquer pirâmide, regular ou não: só importam a área da base e a altura.

Exemplo. Na pirâmide da seção 2 (aresta da base 6, altura 4, apótema 5): \(A_b=36\), \(A_\ell=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\), \(A_t=96\) e \(V=\frac{36\cdot4}{3}=48\).

De onde vem o \(\frac13\). Um cubo pode ser dividido em 3 pirâmides iguais, cada uma com uma face do cubo como base e o mesmo vértice oposto. Cada uma tem um terço do volume.

Tetraedro regular de aresta \(\ell\). \(h=\frac{\ell\sqrt6}{3}\), \(V=\frac{\ell^3\sqrt2}{12}\) e área total \(\ell^2\sqrt3\) (4 triângulos equiláteros). A altura sai do triângulo com \(R=\frac{\ell\sqrt3}{3}\).

UFRGS 2012 · Questão 41 Fácil–média

Mudar a base e a altura

Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide

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\(V = \tfrac13 a^2 h\). O que acontece com \(a^2\) quando a dobra?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: comparar o volume novo com o antigo.
ESTRUTURAR
\(V = \tfrac13 a^2 h\) e \(V' = \tfrac13 (2a)^2 \cdot \tfrac h2\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Dividir \(V'\) por \(V\).
A armadilha: achar que dobrar e dividir por 2 se cancelam, sem elevar a aresta ao quadrado.
CALCULAR
\[V' = \frac13 \cdot 4a^2 \cdot \frac h2 = 2 \cdot \frac13 a^2 h = 2V\]
CONFERIR
Exemplo: \(a = 1\), \(h = 6\): \(V = 2\). Com \(a = 2\), \(h = 3\): \(V' = \tfrac13 \cdot 4 \cdot 3 = 4 = 2V\) ✓.
Por que as outras tentam: C (inalterado) é a armadilha do cancelamento; E (quatro vezes) olha só a base e esquece a altura pela metade.

Resposta: D

Leve para outras questões: o volume é proporcional a (aresta da base)² × altura; multiplique os fatores de cada dimensão.

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4 · PIRÂMIDE DENTRO DO CUBO OU DO PARALELEPÍPEDO

A questão favorita da UFRGS: uma pirâmide desenhada com vértices do prisma.

Quando os vértices da pirâmide são vértices (ou pontos médios) de um cubo ou paralelepípedo, procure uma face do prisma que contenha a base. A altura, então, é uma aresta perpendicular a essa face, e não precisa de Pitágoras.

Exemplo. Num cubo de aresta 6, a pirâmide com base em um triângulo que é metade de uma face e vértice no vértice oposto, sobre a aresta perpendicular, tem base \(\frac{36}{2}=18\) e altura 6: \(V=\frac{18\cdot6}{3}=36\).

Gire o desenho na cabeça. Qualquer face pode ser a base. Escolha a que deixa a altura sobre uma aresta.

Às vezes é mais fácil tirar. Se a pirâmide pedida é "o que sobra", calcule o prisma inteiro e subtraia as pirâmides dos cantos.

UFRGS 2016 · Questão 41 Fácil–média

O sólido ACDH

Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-retângulo conforme representado na figura abaixo.

Paralelepípedo ABCDEFGH com a base ABCD embaixo (A na frente à esquerda, B na frente à direita, C atrás à direita e D atrás à esquerda) e EFGH em cima, H sobre D. Está sombreado o tetraedro ACDH, com vértices A, C, D e H.

Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o volume do sólido ACDH é

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ACDH é uma pirâmide com base no triângulo ACD (metade da base do bloco) e altura DH (uma aresta).

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume da pirâmide de canto ACDH.
ESTRUTURAR
Base ACD: metade de ABCD. Altura: DH. As três arestas que saem de D são DA, DC e DH, uma de cada medida (3, 6 e 10).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular \(\frac13 \cdot \frac{DA \cdot DC}{2} \cdot DH\).
A armadilha: esquecer o \(\frac12\) da base ou o \(\frac13\) da pirâmide.
CALCULAR
\[V = \frac13 \cdot \frac{3 \cdot 6 \cdot 10}{2} = \frac{180}{6} = 30\]
CONFERIR
Não importa qual aresta é 3, 6 ou 10: o produto é sempre 180 e o volume é \(\frac{180}{6} = 30\) ✓.
Por que as outras tentam: D (60) é um terço do bloco, sem a metade da base; E (90) é metade do bloco.

Resposta: C

Leve para outras questões: a pirâmide de canto (um vértice e os três vizinhos) tem sempre \(\frac16\) do volume do paralelepípedo.

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UFRGS 2019 · Questão 41 Fácil–média

A razão entre os volumes

Considere o paralelepípedo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices B, F, G, H, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir.

Paralelepípedo ABCDEFGH com a base ABCD embaixo e EFGH em cima, G acima de B. A pirâmide sombreada tem vértices B, F, G e H: as arestas GB, GF e GH saem do vértice G ao longo de três arestas do paralelepípedo.

A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é

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Use como base o triângulo FGH, que é metade da face de cima. A altura é a aresta GB.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: que fração do paralelepípedo é o "canto" BFGH.
ESTRUTURAR
Arestas \(a = GH\), \(b = GF\), \(c = GB\), perpendiculares duas a duas.
- Base FGH: \(\frac{ab}{2}\).
- Altura: \(c\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o volume da pirâmide e dividir por \(abc\).
A armadilha: usar a face inteira como base. Isso dá \(\frac13\), alternativa D; a base é só metade da face.
CALCULAR
\[V_{\text{pir}} = \frac13 \cdot \frac{ab}{2} \cdot c = \frac{abc}{6} \qquad \frac{V_{\text{pir}}}{V_{\text{par}}} = \frac16\]
CONFERIR
Num cubo de aresta 1: a pirâmide de canto tem volume \(\frac13 \cdot \frac12 \cdot 1 = \frac16\) ✓, e a conta não depende das medidas.
Por que as outras tentam: D usa a face inteira como base; E usa só a base triangular, sem o \(\frac13\).

Resposta: A

Leve para outras questões: a pirâmide de "canto" de um paralelepípedo (três arestas de um mesmo vértice) tem sempre \(\frac16\) do volume.

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UFRGS 2023 · Questão 55 Fácil–média

A pirâmide BCGFM

Na figura abaixo, ABCDEFGH é um cubo de aresta \(a\) e M é ponto médio do segmento EH.

Cubo ABCDEFGH com a base ABCD embaixo e a face EFGH em cima. M é o ponto médio da aresta EH, no alto, do lado oposto à face BCGF.

O volume da pirâmide de vértices BCGFM é

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Use a face BCGF como base. M está na face oposta, ADHE. Qual é a distância entre essas duas faces?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume de uma pirâmide de base quadrada BCGF e vértice M.
ESTRUTURAR
• Base: o quadrado BCGF, de área \(a^2\).
• Vértice M na face ADHE, paralela a BCGF.
• Altura: \(a\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escolher a base certa e aplicar a fórmula.
A armadilha: buscar a posição de M dentro da face e calcular distâncias inclinadas. Qualquer ponto da face oposta dá a mesma altura, \(a\).
CALCULAR
\[V = \frac13 \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}\]
CONFERIR
Se M fosse qualquer outro ponto da face ADHE, o volume seria o mesmo ✓. A pirâmide ocupa um terço do cubo, menos que a metade ✓.

Cubo com a face BCGF em azul como base da pirâmide e o vértice M na face oposta. A altura tracejada em dourado mede a. Volume (1/3) · a² · a = a³/3.

Resposta: D

Leve para outras questões: pirâmide com base numa face do cubo e vértice na face oposta tem sempre volume \(\frac{a^3}{3}\).

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UFRGS 2017 · Questão 45 Média

O tetraedro AHFC

Considere ABCDEFGH paralelepípedo reto-retângulo, indicado na figura abaixo, tal que \(\overline{AB} = 4\), \(\overline{AE} = 3\) e \(\overline{BC} = 2\).

O volume do tetraedro AHFC é

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Tire do paralelepípedo os 4 cantos que sobram (nos vértices B, D, E e G). Cada canto é uma pirâmide de volume \(\frac16\) do paralelepípedo.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do tetraedro cujas arestas são diagonais de faces do bloco.
ESTRUTURAR
\[V_{\text{bloco}} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\]
O tetraedro AHFC é o bloco menos 4 pirâmides de canto, nos vértices B, D, E e G.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular uma pirâmide de canto e subtrair 4 delas.
A armadilha: subtrair só uma ou duas pirâmides, ou achar que o tetraedro é metade do bloco.
CALCULAR
Pirâmide do canto B (vértices B, A, C, F): base ABC com área \(\frac{4 \cdot 2}{2} = 4\) e altura \(BF = 3\).
\[V_{\text{canto}} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4 = \frac{24}{6}\]
\[V_{AHFC} = 24 - 4 \cdot 4 = 8\]
CONFERIR
Os 4 cantos são iguais em volume (cada um usa as três dimensões 4, 3 e 2), e \(8 = \frac{24}{3}\): esse tetraedro sempre tem um terço do bloco ✓.
Por que as outras tentam: A (4) é o volume de um canto só, e D (16) é a soma dos 4 cantos retirados. C (12) é metade do bloco. O próprio gabarito da UFRGS saiu primeiro com C e foi corrigido para B.

Resposta: B

Leve para outras questões: o tetraedro com vértices alternados do paralelepípedo tem \(\frac13\) do volume. Chegue lá tirando os 4 cantos de \(\frac16\) cada.

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UFRGS 2024 · Questão 54 Média

O cubo sem os cantos

De cada vértice de um cubo de aresta medindo \(a\), corta-se uma pirâmide. A figura abaixo mostra os vértices de uma das pirâmides, em que I, J e K são pontos médios de arestas e A é vértice do cubo.

Cubo desenhado em perspectiva. No canto superior direito da frente, o vértice A, e três pontos I, J e K nas arestas que saem de A, formando uma pirâmide de vértice A.

Depois de retiradas todas as pirâmides, o volume do sólido que resta é

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Cada pirâmide tem três arestas de \(\frac{a}{2}\), perpendiculares entre si, saindo de A. Use a face ao redor de A como base.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume que sobra, cubo menos as 8 pirâmides.
ESTRUTURAR
• Base de uma pirâmide: triângulo retângulo AIJ, de catetos \(\frac{a}{2}\).
• Altura: \(AK = \frac{a}{2}\).
• São 8 pirâmides iguais, uma por vértice.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular uma pirâmide, multiplicar por 8 e tirar do cubo.
A armadilha: responder o volume retirado. As 8 pirâmides somam \(\frac{a^3}{6}\), alternativa C, mas a pergunta é o que resta.
CALCULAR
\[V_{pir} = \frac13 \cdot \frac{\frac a2 \cdot \frac a2}{2} \cdot \frac a2 = \frac{a^3}{48}\]
\[8 \cdot \frac{a^3}{48} = \frac{a^3}{6} \qquad V = a^3 - \frac{a^3}{6} = \frac{5a^3}{6}\]
CONFERIR
As pirâmides não se sobrepõem: cada uma usa só metade de cada aresta a partir do seu vértice ✓. Sobra a maior parte do cubo, \(\frac56 \approx 83\%\) ✓.

Cubo com a pirâmide de um canto em azul: vértice A e os pontos I, J e K a a/2 de A nas três arestas. Volume de uma pirâmide a³/48; das oito, a³/6; resta 5a³/6.

Resposta: E

Leve para outras questões: um canto de cubo cortado por três pontos nas arestas é uma pirâmide de volume \(\frac{xyz}{6}\), em que x, y e z são as três arestas cortadas.

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5 · CORTES E RAZÕES DE SEMELHANÇA

Corte paralelo à base: em cima fica uma miniatura da pirâmide.

Em cima, uma pirâmide semelhante à original. Embaixo, o tronco.

Um plano paralelo à base corta a pirâmide em duas partes: uma pirâmide menor, semelhante à original, e um tronco. A razão de semelhança é a razão entre as alturas medidas a partir do vértice:

\[k=\frac{h}{H}\]

Comprimentos: \(k\)Áreas: \(k^2\)Volumes: \(k^3\)

Exemplo. Uma pirâmide de 270 cm³ é cortada por um plano paralelo à base, a \(\frac23\) da altura contando a partir do vértice. A pirâmide de cima tem \(\left(\frac23\right)^3\cdot270=80\) cm³, e o tronco fica com 190 cm³.

\(k\) (alturas)	Áreas das bases	Volumes	Fica no tronco
\(\frac12\)	\(\frac14\)	\(\frac18\)	\(\frac78\)
\(\frac13\)	\(\frac19\)	\(\frac1{27}\)	\(\frac{26}{27}\)
\(\frac23\)	\(\frac49\)	\(\frac8{27}\)	\(\frac{19}{27}\)

A razão é sempre medida a partir do vértice. "Cortada a 4 cm da base" numa pirâmide de 12 cm dá \(k=\frac{8}{12}\), e não \(\frac{4}{12}\).

Cortes que não são paralelos à base geram outros polígonos, que não são semelhantes à base. Para descobrir a forma, desenhe o plano atravessando o sólido e marque onde ele corta cada aresta.

ENEM 2016 · Questão 175 Média–difícil

Os cortes da pirâmide

É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada.

Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?

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O número de lados da seção é o número de faces que o plano corta. A pirâmide de base quadrada tem 5 faces: a base e 4 laterais. Quantas faces um plano consegue cortar ao mesmo tempo?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: todos os tipos de polígono que um corte plano da pirâmide pode produzir.
ESTRUTURAR
- Pirâmide regular de base quadrada: base e 4 triângulos laterais.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Imaginar cortes em posições diferentes e contar quantas faces cada um atravessa.
A armadilha: lembrar só dos cortes paralelos à base e pelo vértice, e de alguns inclinados, parando em quadriláteros (alternativa D). Um plano inclinado que corta a base perto de um canto e sobe pelas quatro laterais atravessa as 5 faces e forma um pentágono.
CALCULAR
- Plano paralelo à base: quadrado.
- Plano pelo vértice e pela base: triângulo.
- Plano pelo meio, paralelo a uma aresta da base: trapézio.
- Plano inclinado cortando 4 faces sem simetria: quadrilátero irregular.
- Plano inclinado cortando a base e as 4 laterais: pentágono.
Com 5 faces, não há hexágono.
CONFERIR
O máximo de lados é o número de faces, 5 ✓, e todos os casos de 3 a 5 lados aparecem ✓.

Resposta: E

Leve para outras questões: o polígono de uma seção plana tem no máximo tantos lados quanto o sólido tem faces.

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6 · TRONCO DE PIRÂMIDE

Duas bases semelhantes, faces laterais em trapézio e um triângulo retângulo no meio.

O tronco de pirâmide é a parte entre a base e o corte paralelo. Ele tem duas bases paralelas e semelhantes (a base maior \(A_B\) e a base menor \(A_b\)) e faces laterais que são trapézios.

Altura do tronco \(h\): a distância entre os planos das bases.
Apótema do tronco \(a_t\): a altura de uma face trapezoidal. É inclinado, então é maior que \(h\).

Cortando o tronco regular pelo meio, perpendicular a uma face, aparece um trapézio retângulo. Dele sai o triângulo que liga as duas alturas:

\[a_t^2=h^2+(m_B-m_b)^2\]

em que \(m_B\) e \(m_b\) são os apótemas das bases. Para o volume, há dois caminhos:

\[V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\,A_b}\right)\quad\text{ou}\quad V=V_{\text{grande}}-V_{\text{pequena}}\]

EXEMPLO COMPLETO
Tronco regular de bases quadradas com lados 6 e 2 e altura 3.
Volume pela fórmula: \(A_B=36\), \(A_b=4\), \(\sqrt{36\cdot4}=12\), então \(V=\frac33(36+4+12)=52\).
Pela diferença: \(k=\frac26=\frac13\), então a pirâmide inteira tem altura \(H\) com \(H-3=\frac{H}{3}\), ou seja, \(H=4{,}5\). \(V=\frac{36\cdot4{,}5}{3}-\frac{4\cdot1{,}5}{3}=54-2=52\).
Apótema do tronco: \(m_B-m_b=3-1=2\), então \(a_t=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\).

Complete a pirâmide. Se esquecer a fórmula, prolongue as arestas laterais até o vértice. A semelhança dá a altura que falta.

UFRGS 2015 · Questão 46 Média–difícil

A planificação do tronco

Considere a planificação do sólido formado por duas faces quadradas e por quatro trapézios congruentes, conforme medidas indicadas na figura representada abaixo.

Planificação: à esquerda, um quadrado de lado 4. À direita, um quadrado de lado 2 cercado por quatro trapézios iguais, um em cada lado. Cada trapézio tem a base menor 2, colada ao quadrado pequeno, e os lados não paralelos medindo 2.

O volume desse sólido é

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O sólido é um tronco de pirâmide de bases 4 e 2. A altura de cada face (trapézio) não é a altura do tronco: faça o corte pelo meio.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura do tronco de pirâmide e, com ela, o volume.
ESTRUTURAR
Cada trapézio tem bases 4 e 2 e lados 2. A metade da diferença das bases é 1.
\[\text{altura da face} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\]
No corte pelo meio do tronco: \(h^2 + 1^2 = (\sqrt{3})^2\), então \(h = \sqrt{2}\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a fórmula do volume do tronco com áreas 16 e 4.
A armadilha: usar \(\sqrt{3}\), a altura da face, como altura do sólido.
CALCULAR
\[V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{3}\left(16 + 4 + 8\right) = \frac{28\sqrt{2}}{3}\]
CONFERIR
Pela diferença de pirâmides: a pirâmide inteira tem altura \(2\sqrt{2}\) e volume \(\frac{16 \cdot 2\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}\); a de cima, \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\). Diferença: \(\frac{28\sqrt{2}}{3}\) ✓.
Por que as outras tentam: A (\(\frac{16\sqrt{2}}{3}\)) é o volume de uma pirâmide de base 16 e altura \(\sqrt{2}\), que ignora a base de cima.

Corte pelo meio do tronco: trapézio de bases 4 e 2, com um triângulo retângulo dourado de catetos h e 1 e hipotenusa √3, a altura da face. h = √2 e o volume é √2/3 · (16 + 4 + 8) = 28√2/3.

Resposta: B

Leve para outras questões: em pirâmides e troncos, a altura da face (apótema) e a altura do sólido são diferentes. Elas se ligam por um triângulo retângulo no corte pelo meio.

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7 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de pirâmide.

Usar o apótema (altura da face) como altura do sólido. Veja na questão da planificação do tronco.
Trocar o apótema da base pelo raio da base: metade do lado não é metade da diagonal.
Mexer em duas medidas e achar que os efeitos se cancelam. Veja na questão da base e da altura.
Usar \(k\) ou \(k^2\) no lugar de \(k^3\) ao comparar volumes de pirâmides semelhantes.
Procurar a altura inclinada quando uma aresta do prisma já é perpendicular à base escolhida. Veja na questão do sólido ACDH.
Chamar de triângulo a face lateral do tronco. Veja na questão do templo.

8 · DESAFIO

Seis pontos médios de um cubo e um vértice. Qual o volume da pirâmide?

Descubra que polígono é a base, calcule a área dela e encontre a distância de \(F\) até o plano dessa base. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

UFRGS 2025 · Questão 69 Média–difícil

A pirâmide de base hexagonal

Na figura abaixo, \(ABCDEFGH\) é um cubo de aresta 1. Os pontos \(M, N, O, P, Q\) e \(R\) são pontos médios das arestas \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CG}, \overline{GH}, \overline{HE}\) e \(\overline{EA}\), respectivamente.

Cubo ABCDEFGH com a base ABCD embaixo e EFGH em cima. Os pontos médios M, N, O, P, Q e R das arestas AB, BC, CG, GH, HE e EA formam um hexágono sombreado. Segmentos ligam o vértice F a cada um dos seis pontos, formando uma pirâmide.

O volume da pirâmide de base \(MNOPQR\) e vértice \(F\) é

Ver uma pista

O hexágono passa pelo centro do cubo e é perpendicular à diagonal que sai de F. A altura da pirâmide é a distância de F até o centro: metade da diagonal do cubo.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do hexágono e a distância de F até o plano dele.
ESTRUTURAR
• Lado do hexágono: liga pontos médios de duas arestas vizinhas de uma face, \(\ell = \sqrt{\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac12\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• O hexágono é regular, corta o cubo ao meio e passa pelo centro S.
• Altura: \(FS\), metade da diagonal do cubo, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Base vezes altura sobre 3.
A armadilha: usar a diagonal inteira do cubo, \(\sqrt{3}\), como altura. A conta dá \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt3}{4}\cdot\sqrt3 = \frac{3}{4}\) (alternativa D), o dobro da resposta.
CALCULAR
\[A_b = 6 \cdot \frac{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\sqrt3}{4} = 6 \cdot \frac{\frac12 \sqrt3}{4} = \frac{3\sqrt3}{4}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt3}{4} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{8}\]
CONFERIR
O cubo tem volume 1 e a pirâmide ocupa menos da metade dele: \(\frac38 < \frac12\) ✓. Isso já descarta \(\frac32\) (C), maior que o próprio cubo.

Cubo ABCDEFGH com o hexágono MNOPQR em azul, passando pelo centro S. O segmento dourado FS é a altura da pirâmide, metade da diagonal FD: √3/2. Lado do hexágono √2/2, área 3√3/4, volume 3/8.

Resposta: E

Leve para outras questões: o hexágono que liga pontos médios de seis arestas de um cubo é regular e divide o cubo ao meio. A distância de um vértice até ele é metade da diagonal.

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9 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Desenhe o triângulo retângulo antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Quantas faces, arestas e vértices tem uma pirâmide pentagonal?
Ver resposta
6 faces, 10 arestas e 6 vértices.
2
Pirâmide quadrangular regular com aresta da base 10 e altura 12. Quanto mede o apótema da pirâmide?
Ver resposta
\(m=5\): \(\sqrt{144+25}=13\).
3
Qual a área lateral dessa mesma pirâmide?
Ver resposta
\(4\cdot\dfrac{10\cdot13}{2}=260\).
4
E o volume?
Ver resposta
\(\dfrac{100\cdot12}{3}=400\).
5
Pirâmide quadrangular regular com aresta da base 4 e aresta lateral 6. Qual a altura?
Ver resposta
\(R=2\sqrt2\): \(h=\sqrt{36-8}=2\sqrt7\).
6
Qual a área total de um tetraedro regular de aresta 6?
Ver resposta
\(6^2\sqrt3=36\sqrt3\).
7
Pirâmide hexagonal regular com aresta da base 2 e altura 3. Qual o volume?
Ver resposta
\(A_b=\dfrac{3\cdot4\sqrt3}{2}=6\sqrt3\): \(V=\dfrac{6\sqrt3\cdot3}{3}=6\sqrt3\).
8
Num cubo de aresta 3, qual o volume da pirâmide com base em uma face inteira e vértice em um vértice da face oposta?
Ver resposta
\(\dfrac{9\cdot3}{3}=9\), um terço do cubo.
9
Uma pirâmide é cortada na metade da altura por um plano paralelo à base. Que fração do volume fica no tronco?
Ver resposta
\(1-\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac78\).
10
Qual o volume de um tronco de pirâmide de bases quadradas com lados 5 e 3 e altura 6?
Ver resposta
\(\dfrac63(25+9+15)=98\).

RESUMO PARA REVISAR

Pirâmide em seis linhas.

Base com \(n\) lados: \(n+1\) faces, \(2n\) arestas, \(n+1\) vértices.
Triângulos de dentro: \(a^2=h^2+m^2\), \(l^2=h^2+R^2\), \(l^2=a^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2\).
\(A_\ell=n\cdot\frac{\ell a}{2}\) e \(V=\frac{A_b\,h}{3}\).
Pirâmide no prisma: escolha uma face como base e use uma aresta como altura.
Corte paralelo: razão \(k\) nas alturas, \(k^2\) nas áreas, \(k^3\) nos volumes.
Tronco: \(V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_BA_b}\right)\), ou grande menos pequena.

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Uma base, um vértice e três triângulos retângulos escondidos dentro.

Ligue cada vértice de um polígono a um ponto fora do plano dele.

Altura, apótemas e arestas se ligam por três triângulos retângulos.

A área soma as faces; o volume é um terço do prisma.

A questão favorita da UFRGS: uma pirâmide desenhada com vértices do prisma.

Corte paralelo à base: em cima fica uma miniatura da pirâmide.

Duas bases semelhantes, faces laterais em trapézio e um triângulo retângulo no meio.

Os seis erros que mais derrubam questão de pirâmide.

Seis pontos médios de um cubo e um vértice. Qual o volume da pirâmide?

Dez contas para fixar, com resposta.

Pirâmide em seis linhas.