Considere o paralelepípedo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices B, F, G, H, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir.
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é
UFRGS · 2019
Questão 41 — UFRGS 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use como base o triângulo FGH, que é metade da face de cima. A altura é a aresta GB.
Resolução
O que você precisa saber
- O volume da pirâmide é um terço da área da base vezes a altura.
- A diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos de mesma área.
- O volume do paralelepípedo é a área da base vezes a altura.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: que fração do paralelepípedo é o "canto" BFGH.
ESTRUTURAR
Arestas a = GH, b = GF, c = GB, perpendiculares duas a duas.
- Base FGH: \frac{ab}{2}.
- Altura: c.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o volume da pirâmide e dividir por abc.
A armadilha: usar a face inteira como base. Isso dá \frac13, alternativa D; a base é só metade da face.
CALCULAR
V_{\text{pir}} = \frac13 \cdot \frac{ab}{2} \cdot c = \frac{abc}{6} \qquad \frac{V_{\text{pir}}}{V_{\text{par}}} = \frac16CONFERIR
Num cubo de aresta 1: a pirâmide de canto tem volume \frac13 \cdot \frac12 \cdot 1 = \frac16 ✓, e a conta não depende das medidas.
Por que as outras tentam: D usa a face inteira como base; E usa só a base triangular, sem o \frac13.
Resposta
\frac16.
Alternativa correta
A