Cone e tronco de cone: geratriz, planificação, volume e revolução, com questões resolvidas

1 · ELEMENTOS DO CONE

Ligue cada ponto de um círculo a um vértice fora do plano dele.

O cone circular tem uma base, que é um círculo de raio \(r\), e um vértice \(V\) fora do plano da base. Os segmentos que ligam \(V\) à circunferência da base formam a superfície lateral.

Eixo: a reta que passa por \(V\) e pelo centro \(O\) da base.
Altura \(h\): a distância de \(V\) ao plano da base. No cone reto, o eixo é perpendicular à base, e a altura é o próprio segmento \(VO\).
Geratriz \(g\): qualquer segmento de \(V\) até a circunferência da base. No cone reto, todas as geratrizes têm o mesmo tamanho.

A seção meridiana é o corte do cone por um plano que contém o eixo. No cone reto, ela é um triângulo isósceles de base \(2r\), altura \(h\) e lados \(g\). Quando esse triângulo é equilátero, o cone é chamado equilátero: \(g=2r\).

\(h\), \(r\) e \(g\) formam um triângulo retângulo dentro do cone reto.

CONE RETO
O eixo é perpendicular à base. É o cone das provas, salvo aviso.
A seção meridiana é um triângulo isósceles.
CONE OBLÍQUO
O eixo é inclinado. A altura continua sendo a distância do vértice ao plano da base, e o volume usa a mesma fórmula.
CONE E PIRÂMIDE
O cone se comporta como uma pirâmide com uma base de "infinitos lados".
Volume, cortes e tronco seguem as mesmas regras.

2 · O TRIÂNGULO RETÂNGULO E A PLANIFICAÇÃO

A lateral do cone, aberta, é um setor circular de raio \(g\).

O raio do setor é a geratriz; o arco do setor é o contorno da base.

\[g^2=h^2+r^2\]

Corte o cone ao longo de uma geratriz e abra a lateral no plano. Sai um setor circular: o raio do setor é \(g\), e o comprimento do arco é o contorno da base, \(2\pi r\). Comparando com a circunferência inteira de raio \(g\):

\[\theta=360^\circ\cdot\frac{r}{g}\qquad A_\ell=\frac{2\pi r}{2\pi g}\cdot\pi g^2=\pi r g\]

A área total soma a base: \(A_t=\pi r g+\pi r^2=\pi r(g+r)\).

Exemplo. Um cone com \(r=5\) e \(h=12\) tem \(g=13\), área lateral \(65\pi\), área total \(90\pi\) e setor de ângulo \(360^\circ\cdot\frac{5}{13}\approx138^\circ\).

Do setor para o cone. Se a questão dá o setor, o raio do setor vira a geratriz, e o arco vira \(2\pi r\). Monte a equação do arco para achar o raio da base.

ENEM 2020 · Questão 172 Fácil–média

A árvore de Natal de mangueiras

No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

Figura 1: foto de uma iluminação natalina em forma de cone ao redor de um poste, à noite. Figura 2: esquema do cone, com o poste vertical no centro C da circunferência do chão, altura h = 3 m, e várias mangueiras saindo do topo até a circunferência.

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.

Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

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Dividir a circunferência em 20 arcos usa 20 mangueiras. Quanto mede cada uma? Ela, o poste e o raio formam um triângulo retângulo.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o raio da base de um cone de altura 3 m cuja geratriz mede 100 m dividido por 20.
ESTRUTURAR
• 20 pontos na circunferência: 20 mangueiras.
• Cada mangueira: \(100 \div 20 = 5\) m.
• Altura: 3 m.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o triângulo retângulo formado por altura, raio e mangueira.
A armadilha: tomar o comprimento da mangueira como raio, o que dá 5,00 (alternativa C). A mangueira é a hipotenusa, inclinada; o raio fica no chão.
CALCULAR
\[5^2 = 3^2 + r^2\]
\[r^2 = 25 - 9 = 16 \;\Rightarrow\; r = 4\]
CONFERIR
O raio (4) é menor que a mangueira (5), como deve ser: o cateto é sempre menor que a hipotenusa.

Corte do cone: triângulo retângulo com o poste vertical de 3 m, o raio r no chão a partir do centro C e a mangueira de 5 m como hipotenusa, em dourado. Cada mangueira mede 100 dividido por 20, igual a 5 m. 5 ao quadrado é igual a 3 ao quadrado mais r ao quadrado, então r ao quadrado é 16 e r é igual a 4 m.

Resposta: A

Leve para outras questões: em cone, altura, raio e geratriz formam um triângulo retângulo com a geratriz como hipotenusa.

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ENEM 2014 · Questão 144 Fácil–média

O adesivo do cone de sinalização

Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.

Qual deverá ser a forma do adesivo?

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A lateral do cone inteiro, aberta, é um setor circular. Tirar a ponta do cone (a metade de cima) é tirar um setor menor do mesmo centro.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a forma da lateral de um tronco de cone quando ela é aberta no plano.
ESTRUTURAR
- Revestir da base até a metade da altura.
- A parte revestida é a lateral de um tronco de cone.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Partir da planificação do cone e retirar a parte da ponta.
A armadilha: escolher o setor circular inteiro (alternativa D), que é a lateral do cone todo, inclusive a parte de cima que não será revestida.
CALCULAR
- Lateral do cone aberta: setor circular.
- Parte de cima (cone menor) aberta: setor menor, com o mesmo centro.
- Setor grande menos setor pequeno: faixa com arco menor em cima, arco maior embaixo e laterais retas.
CONFERIR
As duas bordas do adesivo vêm de circunferências (a da base e a do corte), então as duas têm de ser curvas ✓; a alternativa C tem o lado de cima reto.

Resposta: E

Leve para outras questões: cone planifica em setor; tronco de cone planifica em setor menos setor (parte de coroa circular).

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3 · VOLUME

Um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.

\[V=\frac{\pi r^2h}{3}\]

Como na pirâmide, o volume é a área da base vezes a altura, dividido por 3. Encher um cilindro com um cone de mesma base e mesma altura leva exatamente 3 cones de água.

Exemplo. Um cone de raio 3 cm e altura 8 cm, com \(\pi=3\), tem \(V=\frac{3\cdot9\cdot8}{3}=72\) cm³. O cilindro de mesma base e mesma altura teria 216 cm³.

A altura que entra na fórmula é a perpendicular. Se o enunciado dá a geratriz, passe pelo triângulo retângulo da seção 2 antes.

Sólido composto? Separe as partes (cilindro + cone, cone + semiesfera), calcule cada uma e some. Se uma parte foi retirada, subtraia.

Unidades. 1 dm³ = 1 L e 1 cm³ = 1 mL. Converta só no fim, depois de achar o volume.

ENEM 2016 · Questão 136 Média

O silo de grãos

Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Três silos iguais, cada um formado por um cilindro reto com um cone em cima. No silo da frente estão as medidas: raio da base 3 m, altura do cilindro 12 m e altura do cone 3 m.

Utilize 3 como aproximação para π.

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é

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O 3 m da base vai do centro até a borda: é o raio. Some o volume do cilindro com o do cone e divida por 20. Se sobrar um pouco, é preciso mais uma viagem.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do silo (cilindro mais cone) dividido pela capacidade do caminhão, arredondado para cima.
ESTRUTURAR
- Raio: 3 m (a cota da base sai do centro).
- Cilindro: altura 12 m. Cone: altura 3 m.
- Caminhão: 20 m³ por viagem. π = 3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular os dois volumes, somar, dividir por 20 e arredondar para cima.
A armadilha: arredondar 17,55 para baixo e marcar 17 viagens (alternativa C). Com 17 viagens ainda sobram 11 m³ de grãos no silo.
CALCULAR
\[V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 3^2 \cdot 12 = 324\ \text{m}^3 \qquad V_{\text{cone}} = \frac{3 \cdot 3^2 \cdot 3}{3} = 27\ \text{m}^3\]
\[V = 324 + 27 = 351\ \text{m}^3 \qquad \frac{351}{20} = 17{,}55 \;\Rightarrow\; 18\ \text{viagens}\]
CONFERIR
\(17 \cdot 20 = 340 < 351\) e \(18 \cdot 20 = 360 \ge 351\) ✓.

Resposta: D

Leve para outras questões: quando a pergunta é "número mínimo de viagens, caixas ou ônibus", qualquer sobra exige mais uma unidade.

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ENEM 2022 · Questão 153 Média

O chocolate 19% menor

Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.

Cone circular reto com o vértice para baixo, diâmetro da base de 8 cm na parte de cima e altura de 10 cm indicada por uma seta vertical ao lado.

Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.

Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a

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Com a altura fixa, o volume do cone depende do raio ao quadrado. Volume 19% menor é 81% do original. Qual número ao quadrado dá 0,81?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o novo raio que deixa o cone com 81% do volume, mantendo a altura.
ESTRUTURAR
• Raio original: 4 cm (metade do diâmetro de 8 cm). Altura: 10 cm, nas duas versões.
• Novo volume: \(0{,}81 \cdot V\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar a razão dos volumes à razão dos quadrados dos raios.
A armadilha: multiplicar o raio por 0,81, chegando a 3,24 (alternativa B), ou esquecer que 8 cm é o diâmetro e chegar a 7,20 (alternativa E).
CALCULAR
\[\frac{\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 10}{\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 10} = 0{,}81 \Rightarrow r^2 = 0{,}81 \cdot 16\]
\[r = 0{,}9 \cdot 4 = 3{,}6 \text{ cm}\]
CONFERIR
\(3{,}6^2 = 12{,}96\) e \(\frac{12{,}96}{16} = 0{,}81\): o volume ficou 81% do original, ou seja, 19% menor.

Resposta: C

Leve para outras questões: quando só o raio muda, a área da base e o volume mudam pelo quadrado do fator. Para voltar ao raio, tire a raiz.

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4 · CORTES E RAZÕES DE SEMELHANÇA

Corte paralelo à base: em cima fica um cone menor, semelhante ao original.

Um plano paralelo à base corta o cone em um cone menor e um tronco. Os dois cones são semelhantes, com razão \(k=\frac{h}{H}\), medida a partir do vértice. Então os raios e as geratrizes também ficam na razão \(k\):

\[\frac{h}{H}=\frac{r}{R}=\frac{g}{G}=k\qquad \frac{A_{\text{pequeno}}}{A_{\text{grande}}}=k^2\qquad \frac{V_{\text{pequeno}}}{V_{\text{grande}}}=k^3\]

Exemplo. Um cone de 30 cm de altura é cortado a 10 cm do vértice. O cone pequeno tem \(k=\frac13\), e seu volume é \(\frac{1}{27}\) do original. O tronco fica com \(\frac{26}{27}\).

Copo cônico. Um copo em forma de cone, com o vértice para baixo, cheio até a metade da altura, tem só \(\left(\frac12\right)^3=\frac18\) da capacidade. O líquido é um cone semelhante ao copo.

\(\frac{h}{H}=\frac{r}{R}=k\): áreas em \(k^2\), volumes em \(k^3\).

UFRGS 2014 · Questão 45 Média–difícil

O corte em dois volumes iguais

Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e altura de 12 cm será seccionado por um plano paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes da secção tenham o mesmo volume.

A altura do cone resultante da secção deve, em cm, ser

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O cone pequeno é semelhante ao grande e tem metade do volume. Volumes estão na razão do cubo das alturas.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura \(h\) do cone pequeno com metade do volume.
ESTRUTURAR
\[\left(\frac{h}{12}\right)^3 = \frac{1}{2}\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Tirar a raiz cúbica e racionalizar.
A armadilha: cortar na metade da altura, como se o volume fosse proporcional à altura.
CALCULAR
\[h = \frac{12}{\sqrt[3]{2}} = \frac{12\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{12\sqrt[3]{4}}{2} = 6\sqrt[3]{4}\]
CONFERIR
\(6\sqrt[3]{4} \approx 6 \cdot 1{,}587 \approx 9{,}5\) cm: o corte fica bem mais perto da base, como deve ser, porque a parte de baixo é larga ✓.
Por que as outras tentam: A (6) é metade da altura; C (\(6\sqrt{2}\)) usa a raiz quadrada, como se fosse razão de áreas.

Resposta: E

Leve para outras questões: razão \(k\) nos comprimentos dá \(k^2\) nas áreas e \(k^3\) nos volumes. Metade do volume exige \(k = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\).

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5 · TRONCO DE CONE

Dois círculos paralelos, uma lateral inclinada e um trapézio no meio.

\(g^2=h^2+(R-r)^2\): a diferença dos raios é um cateto.

O tronco de cone é a parte entre a base e um corte paralelo a ela. Ele tem duas bases circulares paralelas, de raios \(R\) e \(r\), altura \(h\) e geratriz \(g\). A seção meridiana é um trapézio isósceles de bases \(2R\) e \(2r\).

\[g^2=h^2+(R-r)^2\qquad V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\qquad A_\ell=\pi(R+r)\,g\]

A lateral aberta é o setor do cone inteiro menos o setor do cone que foi retirado: uma parte de coroa circular. Por isso, em questões de planificação, complete o tronco até virar o cone inteiro.

Exemplo. \(R=6\), \(r=3\), \(h=4\): \(g=\sqrt{16+9}=5\), \(V=\frac{4\pi}{3}(36+18+9)=84\pi\) e \(A_\ell=\pi\cdot9\cdot5=45\pi\). Pela diferença: o cone inteiro tem \(H=8\) (porque \(\frac{r}{R}=\frac12\)), e \(V=\frac{\pi\cdot36\cdot8}{3}-\frac{\pi\cdot9\cdot4}{3}=96\pi-12\pi=84\pi\).

Raio, não diâmetro. Copos, canecas e coifas costumam vir com os diâmetros. Divida por 2 antes de usar qualquer fórmula.

ENEM 2013 · Questão 176 Fácil

A forma de bolo

Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Forma de bolo vista de lado: a parte externa larga em cima e mais estreita embaixo, com um tubo central que também se estreita de baixo para cima.

Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais.

Essas figuras são

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Olhe as bases de cada parte: são círculos? São do mesmo tamanho em cima e embaixo?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: reconhecer os dois sólidos da forma: a parte de fora e o tubo do meio.
ESTRUTURAR
- Parte externa: base de cima maior que a de baixo.
- Tubo central: base de baixo maior que a de cima.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Comparar os círculos de cima e de baixo de cada parte.
A armadilha: ver o tubo do meio como cilindro (alternativa A). Na figura ele é mais largo embaixo do que em cima.
CALCULAR
- Parte externa: círculos de tamanhos diferentes em cima e embaixo, tronco de cone.
- Tubo central: também tem círculos de tamanhos diferentes, outro tronco de cone.
CONFERIR
Nenhuma das partes termina em ponta (não é cone) nem tem bases iguais (não é cilindro) ✓.

Resposta: D

Leve para outras questões: para nomear um sólido, olhe a forma das bases e se elas têm o mesmo tamanho.

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ENEM 2021 · Questão 170 Média–difícil

A caneca em tronco de cone

Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.

Caneca em forma de tronco de cone, mais larga em cima, com uma alça em forma de coração. O diâmetro do topo é D, o diâmetro da base é d e a altura é h.

Sabe-se que \(1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}\) e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base).

Utilize 3 como aproximação para \(\pi\).

Qual é a capacidade volumétrica, em mililitro, dessa caneca?

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A caneca é um tronco de cone. Use \(V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\) com os raios 5 e 4.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume de um tronco de cone com raios 5 cm e 4 cm e altura 12 cm.
ESTRUTURAR
• \(R = 5\) cm, \(r = 4\) cm, \(h = 12\) cm.
• \(\pi = 3\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a fórmula do tronco de cone.
A armadilha: esquecer a divisão por 3, chegando a 2 196 (alternativa D), ou usar os diâmetros no lugar dos raios, chegando a 2 928 (alternativa E).
CALCULAR
\[V = \frac{3 \cdot 12}{3}(5^2 + 5 \cdot 4 + 4^2) = 12 \cdot 61 = 732 \text{ cm}^3\]
CONFERIR
O volume deve ficar entre o de um cilindro de raio 4 (\(3 \cdot 16 \cdot 12 = 576\)) e o de um cilindro de raio 5 (\(3 \cdot 25 \cdot 12 = 900\)). 732 está nessa faixa; 732 cm³ são 732 mL.

Resposta: C

Leve para outras questões: para conferir o volume de um tronco, compare com os cilindros feitos com o raio menor e o maior. A resposta tem de ficar entre eles.

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PAVE 2 2015 · Questão 18 Média–difícil

O ângulo do setor da coifa

Uma coifa no formato de um tronco de cone é obtida a partir de um setor circular, conforme desenho abaixo, estando as medidas em centímetros.

À esquerda, um tronco de cone com diâmetro de cima 40,0, diâmetro de baixo 90,0 e altura 100,0, em centímetros. À direita, a planificação da lateral: a região entre dois arcos de circunferência de mesmo centro, com o ângulo α marcado no vértice do setor, onde se encontram os prolongamentos tracejados das bordas.

Nessas condições, o valor do ângulo \(\alpha\) é

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Complete o tronco até virar um cone inteiro. O setor é a lateral desse cone: o raio do setor é a geratriz \(G\) do cone grande, e o arco maior é o comprimento da circunferência de baixo. Então \(\alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{G}\).

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ângulo central do setor que, enrolado, forma a lateral do cone do qual a coifa é um tronco.
ESTRUTURAR
• Raios: \(R = 45\) (baixo) e \(r = 20\) (cima); altura do tronco \(h = 100\).
• Geratriz do tronco: \(g = \sqrt{100^2 + 25^2} = \sqrt{10\,625} = 25\sqrt{17}\).
• Semelhança: \(\frac{G - g}{G} = \frac{20}{45}\), em que \(G\) é a geratriz do cone inteiro.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar \(G\) pela semelhança e aplicar \(\alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{G}\).
A armadilha: usar os diâmetros (40 e 90) como se fossem raios. A diferença dos raios é 25, e não 50.
CALCULAR
\[45(G - g) = 20G \iff 25G = 45g \iff G = \frac{9g}{5} = \frac{9 \cdot 25\sqrt{17}}{5} = 45\sqrt{17}\]
\[\alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{G} = 360^\circ \cdot \frac{45}{45\sqrt{17}} = \frac{360^\circ}{\sqrt{17}}\]
CONFERIR
Pela altura: o cone inteiro tem altura \(H\) com \(\frac{H - 100}{H} = \frac{20}{45}\), ou seja, \(H = 180\). Então \(G = \sqrt{180^2 + 45^2} = 45\sqrt{16 + 1} = 45\sqrt{17}\) ✓. O ângulo vale cerca de \(\frac{360^\circ}{4{,}12} \approx 87^\circ\), um pouco menos que um ângulo reto, como no desenho ✓.
Por que as outras tentam: E (\(\frac{360^\circ}{\sqrt5}\)) sai de usar os diâmetros no lugar dos raios: geratriz do tronco \(\sqrt{100^2 + 50^2} = 50\sqrt5\), cone inteiro com geratriz \(90\sqrt5\) e \(\alpha = 360^\circ \cdot \frac{90}{90\sqrt5}\). As outras (\(\sqrt{15}\), \(\sqrt{12}\), \(\sqrt7\)) não saem dessa figura.

Corte do cone completo: raio da base 45, altura 180 e geratriz 45√17; o cone cortado em cima tem raio 20, altura 80 e geratriz 20√17. O setor da planificação tem ângulo 360° · 45/(45√17) = 360°/√17.

Resposta: A

Leve para outras questões: tronco de cone se resolve "completando o cone" e usando semelhança. Na planificação, \(\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{R}{G}\): a fração da volta é raio da base sobre geratriz.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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6 · SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Gire uma figura plana em torno de um eixo e descubra quais sólidos aparecem.

Retângulo girando em torno de um lado vira cilindro. Triângulo retângulo girando em torno de um cateto vira cone. Semicírculo girando em torno do diâmetro vira esfera. Figuras mais complicadas viram somas e diferenças desses sólidos.

Exemplo. O triângulo retângulo de catetos 3 e 4, girando em torno do cateto 4, gera um cone de raio 3 e altura 4: \(V=\frac{\pi\cdot9\cdot4}{3}=12\pi\). Girando em torno do cateto 3, o cone tem raio 4 e altura 3: \(V=16\pi\).

Cada ponto descreve uma circunferência com raio igual à sua distância ao eixo.

O raio é a distância ao eixo. Cada ponto da figura descreve uma circunferência cujo raio é a sua distância até o eixo de rotação.

Desenhe o espelho. Reflita a figura do outro lado do eixo: o contorno das duas juntas é o corte do sólido.

ENEM 2024 · Questão 144 Fácil

O trapézio na vareta

Para obter um sólido de revolução (rotação de 360° em torno de um eixo fixo), uma professora realizou as seguintes etapas:

recortou o trapézio retângulo PQRS de um material rígido;
afixou o lado PS do trapézio em uma vareta fixa retilínea (eixo de rotação);
girou o trapézio 360° em torno da vareta e obteve um sólido de revolução.

Observe a figura que apresenta o trapézio afixado na vareta e o sentido de giro.

Trapézio retângulo PQRS azul, com o lado vertical PS preso a uma vareta vertical. P fica em cima e S embaixo, ambos com ângulo reto; Q fica no alto à esquerda, mais perto da vareta, e R embaixo à esquerda, mais longe. Setas curvas indicam o giro em torno da vareta.

O sólido obtido foi um(a)

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Ao girar, os lados PQ e SR, que saem da vareta, desenham círculos. Esses dois círculos têm o mesmo tamanho?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: imaginar o trapézio girando e reconhecer o sólido.
ESTRUTURAR
- PQ, em cima, é o lado curto: vira um círculo pequeno.
- SR, embaixo, é o lado comprido: vira um círculo grande.
- QR, inclinado, vira a superfície lateral que liga os dois círculos.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Duas bases circulares de tamanhos diferentes, ligadas por uma superfície inclinada: é um tronco de cone.
A armadilha: pensar em pirâmide ou tronco de pirâmide. Rotação em torno de um eixo sempre gera faces curvas e bases circulares, nunca faces planas com quinas.
CONFERIR
Se PQ e SR tivessem o mesmo tamanho, a figura seria um retângulo e daria um cilindro. Se PQ não existisse (Q em cima de P), seria um triângulo e daria um cone. Como os dois lados existem e são diferentes, sai o meio-termo: o tronco de cone ✓.

Resposta: D

Leve para outras questões: em sólido de revolução, olhe os lados perpendiculares ao eixo. Cada um vira um círculo, e o número e o tamanho desses círculos dizem qual é o sólido.

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UFRGS 2024 · Questão 55 Média

O quadrilátero que gira

Considere o quadrilátero ABCD abaixo e a reta r que passa pelos pontos A e B. As medidas dos lados \(\overline{AB}\) e \(\overline{AD}\) são iguais a 1, e a medida do lado \(\overline{DC}\) é igual a 2.

Quadrilátero ABCD sombreado: A e B sobre a reta r horizontal, com AB = 1; D acima de A, com AD = 1 e ângulo reto em A e em D; DC = 2, horizontal, e o lado BC inclinado.

O volume do sólido gerado pela rotação do quadrilátero ABCD em torno da reta r é

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Complete o quadrilátero até virar um retângulo de 2 por 1. O que você acrescentou é um triângulo, que girando vira um cone.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do sólido gerado por ABCD, que é um cilindro com um cone tirado.
ESTRUTURAR
- O retângulo de lados 2 e 1 (D, C e a projeção de C em r) gira e gera um cilindro de raio 1 e altura 2.
- O triângulo entre B, C e a projeção de C em r tem catetos 1 e 1, e gira formando um cone de raio 1 e altura 1.
- ABCD é o retângulo menos esse triângulo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Cilindro menos cone.
A armadilha: somar o cone em vez de tirar, ou calcular só o cilindro sobre AB. O cone sozinho dá \(\frac{\pi}{3}\), alternativa A.
CALCULAR
\[V = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 - \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 1}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\]
CONFERIR
Por partes: o trecho sobre AB é um cilindro de volume \(\pi\); o trecho de B até a projeção de C dá \(\pi - \frac\pi3 = \frac{2\pi}{3}\). Somando, \(\frac{5\pi}{3}\) ✓.

O quadrilátero ABCD e seu reflexo em relação à reta r formam a seção do sólido: um cilindro de raio 1 e altura 2 (volume 2π) com um cone tracejado de raio 1 e altura 1 retirado (volume π/3). Volume 5π/3.

Resposta: C

Leve para outras questões: em sólido de revolução de figura irregular, complete até virar retângulo (cilindro) e tire as sobras (cones ou troncos).

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UFRGS 2025 · Questão 70 Média

O quadrado girando na diagonal

O volume do sólido gerado pela rotação de um quadrado de lado \(a\) em torno de uma de suas diagonais é

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Desenhe o quadrado com a diagonal na vertical. Cada metade do quadrado é um triângulo que, ao girar, forma um cone. São dois cones iguais, unidos pela base.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume de dois cones iguais, com raio e altura iguais a meia diagonal.
ESTRUTURAR
• Eixo: uma diagonal, de comprimento \(a\sqrt2\).
• Altura de cada cone: \(h = \frac{a\sqrt2}{2}\).
• Raio da base: a outra meia diagonal, \(r = \frac{a\sqrt2}{2}\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular um cone e dobrar.
A armadilha: calcular um cone só e esquecer o outro. O resultado é \(\frac{a^3\pi\sqrt2}{12}\) (alternativa A), a metade da resposta.
CALCULAR
\[V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt2}{2} = \frac{a^3\pi\sqrt2}{12}\]
\[V = 2 \cdot \frac{a^3\pi\sqrt2}{12} = \frac{a^3\pi\sqrt2}{6}\]
CONFERIR
Com \(a = 1\): \(V \approx 0{,}74\). O sólido cabe num cilindro de raio e altura \(\frac{\sqrt2}{2}\) e \(\sqrt2\), de volume \(\approx 2{,}22\), e o volume dos cones é um terço disso ✓.
Por que as outras tentam: \(\frac{a^3\pi\sqrt2}{2}\) (E) é o volume de dois cilindros, ou seja, esquecer o \(\frac13\) do cone.

Quadrado de lado a girando em torno de uma diagonal vertical: forma dois cones unidos pela base, cada um com raio e altura a√2/2. Um cone tem volume πa³√2/12; os dois, πa³√2/6.

Resposta: B

Leve para outras questões: em sólido de revolução, desenhe a figura e o eixo. Cada triângulo com um lado no eixo vira um cone, e cada retângulo vira um cilindro.

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UFRGS 2022 · Questão 55 Média

O triângulo e a reta paralela

Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1.

Triângulo equilátero ABC com o lado BC vertical, de medida 1, à direita, e o vértice A à esquerda. Uma reta tracejada vertical r passa por A, paralela a BC.

O volume do sólido obtido ao girar o triângulo ABC em torno da reta r que passa pelo vértice A e é paralela ao lado \(\overline{BC}\), mantendo o paralelismo da reta r com o lado \(\overline{BC}\) do triângulo, é

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O lado BC gira e forma a lateral de um cilindro. O sólido é esse cilindro sem os dois cones que os lados AB e AC "cavam".

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume gerado pelo triângulo, que é um cilindro menos dois cones.
ESTRUTURAR
• Raio: distância de A até BC, que é a altura do triângulo, \(\frac{\sqrt3}{2}\).
• Cilindro: raio \(\frac{\sqrt3}{2}\) e altura 1.
• Cada cone: vértice em A, raio \(\frac{\sqrt3}{2}\) e altura \(\frac12\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o cilindro e tirar os dois cones.
A armadilha: tirar só um cone, ou parar no cilindro (\(\frac{3\pi}{4}\)) ou nos cones (\(\frac{\pi}{4}\), alternativa C). O sólido é o espaço entre eles.
CALCULAR
\[V_{\text{cil}} = \pi \cdot \frac34 \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}\]
\[V_{\text{cones}} = 2 \cdot \frac13 \cdot \pi \cdot \frac34 \cdot \frac12 = \frac{\pi}{4}\]
\[V = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\]
CONFERIR
Pelo teorema de Pappus: área do triângulo \(\frac{\sqrt3}{4}\), centro de gravidade a \(\frac23 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{3}\) do eixo. \(V = 2\pi \cdot \frac{\sqrt3}{3} \cdot \frac{\sqrt3}{4} = \frac{\pi}{2}\) ✓.
Por que as outras tentam: \(\frac{\pi}{4}\) é o volume dos dois cones, a parte que sai. \(2\pi\) e \(\frac{3\pi}{2}\) passam do volume do cilindro que envolve o sólido (\(\frac{3\pi}{4}\)), então são impossíveis.

O retângulo que o giro preenche: um cilindro de raio √3/2 e altura 1 em torno da reta r. As partes douradas são os dois cones com vértice em A, que ficam de fora do sólido. V = 3π/4 − π/4 = π/2.

Resposta: E

Leve para outras questões: figura girando em torno de um eixo que não toca o lado oposto gera "cilindro menos cones". Desenhe o retângulo que o giro preenche e veja o que falta.

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PAVE 2 2016 · Questão 17 Difícil

A região R que gira

Considere a região hachurada R, na figura abaixo.

Região R hachurada em preto no primeiro quadrante, com eixo vertical e. Ela fica entre x = 0 e x = 2, acima de um quarto de circunferência de raio 2 com centro na origem, e abaixo de um segmento que vai de (0, 6) até (2, 3); o lado direito é o segmento vertical x = 2 de 0 a 3.

O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo \(e\), em unidades de volume, é

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Gire a figura mentalmente. Até a altura 3 forma-se um cilindro; de 3 a 6, um cone. E o buraco branco embaixo, ao girar, vira o quê?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume do sólido que R gera ao girar em torno do eixo \(e\).
Lendo a figura: o arco é um quarto de circunferência de raio 2 com centro na origem (ele vai de 2 no eixo \(e\) até 2 no eixo horizontal, com a marca de ângulo reto na origem). A região R está acima desse arco e abaixo da linha que liga \((0, 6)\) a \((2, 3)\).
ESTRUTURAR
• Retângulo de 0 a 3 (largura 2) → cilindro de \(r = 2\) e \(h = 3\).
• Triângulo de 3 a 6 → cone de \(r = 2\) e \(h = 3\).
• Quarto de círculo de raio 2 (fora de R) → semiesfera de raio 2, que deve ser retirada.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Volume = cilindro + cone − semiesfera.
A armadilha: retirar a esfera inteira, e não a semiesfera. O quarto de círculo girando em torno do eixo gera só a metade de cima de uma esfera.
CALCULAR
\[V_{\text{cil}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = 12\pi \qquad V_{\text{cone}} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}{3} = 4\pi\]
\[V_{\text{semiesf}} = \frac{2\pi \cdot 2^3}{3} = \frac{16\pi}{3}\]
\[V = 12\pi + 4\pi - \frac{16\pi}{3} = \frac{48\pi - 16\pi}{3} = \frac{32\pi}{3}\]
CONFERIR
O resultado é positivo e menor que o sólido sem buraco (\(16\pi = \frac{48\pi}{3}\)) ✓.
Por que as outras tentam: A (\(\frac{16\pi}{3}\)) retira a esfera inteira: \(16\pi - \frac{32\pi}{3}\). B (\(\frac{20\pi}{3}\)) esquece o cone: \(12\pi - \frac{16\pi}{3}\). C e E não saem dessa decomposição.

Corte do sólido de revolução: um cilindro de raio 2 e altura 3, com um cone de altura 3 em cima e uma semiesfera de raio 2 retirada embaixo. Volume 12π + 4π − 16π/3 = 32π/3.

Resposta: D

Leve para outras questões: em sólido de revolução, decomponha a região em retângulos, triângulos e partes de círculo: eles geram cilindros, cones e partes de esfera. Some o que é cheio e subtraia o que é buraco.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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7 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de cone.

Esquecer o \(\frac13\) e calcular o volume do cilindro no lugar do cone. Veja na questão do silo.
Reduzir o raio na mesma porcentagem do volume. Veja na questão do chocolate.
Tomar a geratriz pelo raio ou pela altura. Veja na questão da árvore de Natal.
Usar diâmetros no lugar de raios. Veja na questão da coifa.
Calcular o tronco como se fosse um cilindro. Veja na questão da caneca.
Usar como raio um lado que não é a distância até o eixo num sólido de revolução. Veja na questão do quadrado.

8 · DESAFIO

Uma escultura feita de cone, tronco e cilindro. Quanto ela pesa?

Use semelhança para achar a medida que falta, calcule o volume de cada parte e transforme em massa pela densidade. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2023 · Questão 136 Média–difícil

A escultura de madeira

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

À esquerda, cone reto de altura 36 cm e diâmetro da base 18 cm; perto do vértice, um círculo tracejado de diâmetro 6 cm marca o corte do cone menor. Uma seta leva à direita, onde aparece o tronco de cone com um furo cilíndrico escuro no centro, de base a base.

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para \(\pi\).

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

Ver uma pista

O cone retirado é semelhante ao cone inteiro: o raio caiu de 9 para 3, então a altura também cai para um terço. Depois, o furo cilíndrico atravessa só o tronco, então a altura dele é a altura do tronco, não 36 cm.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o volume de madeira que sobra (cone grande menos cone pequeno menos cilindro do furo) e, depois, a massa desse volume.
ESTRUTURAR
• Cone grande: raio 9 cm e altura 36 cm.
• Cone pequeno retirado: raio 3 cm, semelhante ao grande.
• Furo: cilindro de raio 3 cm, com a altura do tronco.
• Densidade: 0,6 g por centímetro cúbico; \(\pi \approx 3\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar a altura do cone pequeno por semelhança, calcular os três volumes e subtrair.
A armadilha: dar ao cilindro a altura de 36 cm do cone original. O furo vai de base a base do tronco, que tem 36 − 12 = 24 cm. Outro tropeço é esquecer de tirar o cone pequeno: sobram 2 268 cm³, que dão 1 360,8 g (alternativa C).
CALCULAR
\[\frac{h}{36} = \frac{3}{9} \Rightarrow h = 12 \text{ cm}\]
\[V_{\text{grande}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9^2 \cdot 36 = 2\,916 \text{ cm}^3\]
\[V_{\text{pequeno}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 12 = 108 \text{ cm}^3\]
\[V_{\text{furo}} = 3 \cdot 3^2 \cdot 24 = 648 \text{ cm}^3\]
\[V = 2\,916 - 108 - 648 = 2\,160 \text{ cm}^3\]
\[m = 0{,}6 \cdot 2\,160 = 1\,296 \text{ g}\]
CONFERIR
O tronco sozinho tem 2 808 cm³; o furo tira 648 cm³, menos de um quarto. A massa de 1 296 g é coerente com uma peça de cerca de 2 litros de madeira.

Corte do cone pelo eixo, com medidas em centímetros. O cone inteiro tem altura 36 e raio 9. No topo, em cinza, o cone retirado, de raio 3 e altura 12, achada por semelhança: h dividido por 36 igual a 3 dividido por 9. No centro, em azul, o furo cilíndrico de raio 3 e altura 24. Em amarelo, a madeira que sobra: 2 916 menos 108 menos 648 igual a 2 160 centímetros cúbicos; massa 0,6 vezes 2 160 igual a 1 296 gramas.

Resposta: B

Leve para outras questões: quando um cone é cortado paralelamente à base, use semelhança para achar a altura do pedaço de cima. E sempre confira qual é a altura real de cada sólido retirado.

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9 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Desenhe o triângulo de \(h\), \(r\) e \(g\) antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Um cone tem raio 6 e geratriz 10. Qual a altura?
Ver resposta
\(\sqrt{100-36}=8\).
2
Qual a área lateral desse cone?
Ver resposta
\(\pi\cdot6\cdot10=60\pi\).
3
E a área total?
Ver resposta
\(\pi\cdot6\cdot(10+6)=96\pi\).
4
E o volume?
Ver resposta
\(\dfrac{\pi\cdot36\cdot8}{3}=96\pi\).
5
Um cone tem raio 4 e geratriz 8. Qual o ângulo do setor da planificação?
Ver resposta
\(360^\circ\cdot\dfrac48=180^\circ\): um semicírculo.
6
O setor que forma a lateral de um cone tem raio 9 e ângulo de 120°. Qual o raio da base do cone?
Ver resposta
\(2\pi r=\dfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot9\Rightarrow r=3\).
7
Um cone equilátero tem raio 3. Quanto medem a geratriz e a altura?
Ver resposta
\(g=6\) e \(h=\sqrt{36-9}=3\sqrt3\).
8
Um copo cônico de 18 cm de altura tem líquido até 6 cm de altura, a partir do vértice. Que fração da capacidade está ocupada?
Ver resposta
\(\left(\dfrac{6}{18}\right)^3=\dfrac{1}{27}\).
9
Qual o volume de um tronco de cone com \(R=4\), \(r=2\) e \(h=3\)? Deixe em função de \(\pi\).
Ver resposta
\(\dfrac{\pi\cdot3}{3}(16+8+4)=28\pi\).
10
Um retângulo 2 × 5 gira em torno do lado de medida 5. Qual o volume do sólido?
Ver resposta
Cilindro de raio 2 e altura 5: \(20\pi\).

RESUMO PARA REVISAR

Cone em seis linhas.

\(g^2=h^2+r^2\); cone equilátero: \(g=2r\).
Planificação: setor de raio \(g\) e ângulo \(360^\circ\cdot\frac{r}{g}\); \(A_\ell=\pi r g\).
\(V=\frac{\pi r^2h}{3}\), um terço do cilindro.
Corte paralelo: \(k\) nas medidas, \(k^2\) nas áreas, \(k^3\) nos volumes.
Tronco: \(g^2=h^2+(R-r)^2\), \(V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\), \(A_\ell=\pi(R+r)g\).
Revolução: o raio é a distância até o eixo.

Treinar cone no Banco Ver a área completa

Um círculo, um vértice e uma lateral que abre em setor.

Ligue cada ponto de um círculo a um vértice fora do plano dele.

A lateral do cone, aberta, é um setor circular de raio \(g\).

Um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.

Corte paralelo à base: em cima fica um cone menor, semelhante ao original.

Dois círculos paralelos, uma lateral inclinada e um trapézio no meio.

Gire uma figura plana em torno de um eixo e descubra quais sólidos aparecem.

Os seis erros que mais derrubam questão de cone.

Uma escultura feita de cone, tronco e cilindro. Quanto ela pesa?

Dez contas para fixar, com resposta.

Cone em seis linhas.