Uma coifa no formato de um tronco de cone é obtida a partir de um setor circular, conforme desenho abaixo, estando as medidas em centímetros.
Nessas condições, o valor do ângulo \alpha é
PAVE 2 · 2015
Questão 18 — PAVE 2 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Complete o tronco até virar um cone inteiro. O setor é a lateral desse cone: o raio do setor é a geratriz G do cone grande, e o arco maior é o comprimento da circunferência de baixo. Então \alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{G}.
Resolução
O que você precisa saber
- Planificação da lateral do cone: setor circular de raio igual à geratriz G e arco igual a 2πR.
- Ângulo do setor: α = 360° · R/G.
- Cone menor e cone maior são semelhantes: as razões entre raios, alturas e geratrizes são iguais.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ângulo central do setor que, enrolado, forma a lateral do cone do qual a coifa é um tronco.
ESTRUTURAR
• Raios: R = 45 (baixo) e r = 20 (cima); altura do tronco h = 100.
• Geratriz do tronco: g = \sqrt{100^2 + 25^2} = \sqrt{10\,625} = 25\sqrt{17}.
• Semelhança: \frac{G - g}{G} = \frac{20}{45}, em que G é a geratriz do cone inteiro.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar G pela semelhança e aplicar \alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{G}.
A armadilha: usar os diâmetros (40 e 90) como se fossem raios. A diferença dos raios é 25, e não 50.
CALCULAR
45(G - g) = 20G \iff 25G = 45g \iff G = \frac{9g}{5} = \frac{9 \cdot 25\sqrt{17}}{5} = 45\sqrt{17}\alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{G} = 360^\circ \cdot \frac{45}{45\sqrt{17}} = \frac{360^\circ}{\sqrt{17}}CONFERIR
Pela altura: o cone inteiro tem altura H com \frac{H - 100}{H} = \frac{20}{45}, ou seja, H = 180. Então G = \sqrt{180^2 + 45^2} = 45\sqrt{16 + 1} = 45\sqrt{17} ✓. O ângulo vale cerca de \frac{360^\circ}{4{,}12} \approx 87^\circ, um pouco menos que um ângulo reto, como no desenho ✓.
Por que as outras tentam: E (\frac{360^\circ}{\sqrt5}) sai de usar os diâmetros no lugar dos raios: geratriz do tronco \sqrt{100^2 + 50^2} = 50\sqrt5, cone inteiro com geratriz 90\sqrt5 e \alpha = 360^\circ \cdot \frac{90}{90\sqrt5}. As outras (\sqrt{15}, \sqrt{12}, \sqrt7) não saem dessa figura.
Resposta
\alpha = \frac{360^\circ}{\sqrt{17}}.
Alternativa correta
A