Temos, ao lado, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?
UFPR · 2016
Questão 63 — UFPR 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Com faces equiláteras, todas as arestas medem 4. A altura sai do triângulo retângulo formado por aresta lateral, meia diagonal da base e altura.
Resolução
O que você precisa saber
- Diagonal do quadrado de lado ℓ: ℓ√2.
- Volume da pirâmide: área da base × altura ÷ 3.
- Aresta lateral, altura e meia diagonal formam um triângulo retângulo.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura da pirâmide em que todas as arestas medem 4 cm.
ESTRUTURAR
• Base: quadrado de lado 4, área 16.
• Aresta lateral: 4.
• Meia diagonal: \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pitágoras para a altura e depois a fórmula do volume.
A armadilha: usar a altura do triângulo equilátero (2\sqrt{3}) como altura da pirâmide. Isso dá \frac{16 \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}, que não está nas alternativas. Sem o fator \frac{1}{3}, o volume vira 32\sqrt{2}, que também não aparece.
CALCULAR
h^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8h = 2\sqrt{2}V = \frac{16 \cdot 2\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}\ \text{cm}^3CONFERIR
Conferindo pelo apótema: altura da face 2\sqrt{3}, meio lado 2. h^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2^2 = 12 - 4 = 8. Mesma altura. Alternativa D.
Resposta
\dfrac{32\sqrt{2}}{3}\ \text{cm}^3.
Alternativa correta
D