PAVE 2 · 2015

Questão 19 — PAVE 2 2015

Polinômios: relações de Girard e área total do paralelepípedo Fácil–média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

A equação x^3 - 11x^2 + 38x - 40 = 0 possui três raízes reais que são as dimensões de um paralelepípedo retângulo. Nessas condições, a superfície total desse paralelepípedo é

(A)

11 u.a.

(B)

76 u.a.

(C)

40 u.a.

(D)

22 u.a.

(E)

38 u.a.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Área total do paralelepípedo de dimensões a, b, c: 2(ab + bc + ca).
Girard no grau 3 (x³ + px² + qx + r): soma das raízes = −p; soma dos produtos dois a dois = q; produto = −r.
O produto abc é o volume, não a área.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: 2(ab + bc + ca), em que a, b e c são as raízes da equação.

ESTRUTURAR

• Soma das raízes: a + b + c = 11.

• Soma dos produtos dois a dois: ab + bc + ca = 38.

• Produto: abc = 40.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Usar a segunda relação de Girard e dobrar.

A armadilha: marcar 38 e esquecer que cada face aparece duas vezes no paralelepípedo.

CALCULAR

S = 2(ab + bc + ca) = 2 \cdot 38 = 76\ \text{u.a.}

CONFERIR

Achando as raízes: x = 2 zera a equação (8 - 44 + 76 - 40 = 0); dividindo, sobra x^2 - 9x + 20 = 0, com raízes 4 e 5. Dimensões 2, 4 e 5: 2(8 + 20 + 10) = 76 ✓.

Por que as outras tentam: E (38) é ab + bc + ca sem o fator 2. C (40) é o produto abc, o volume. A (11) é a soma das dimensões, e D (22) é o dobro dela.

Resposta

76 u.a.

Alternativa correta B