POLINÔMIOS

Muitas perguntas sobre polinômios se respondem sem resolver a equação.

Trocar \(x\) por um número dá a soma dos coeficientes e o resto de uma divisão. A forma fatorada mostra as raízes. As relações de Girard dão a soma e o produto das raízes sem calcular nenhuma. Esta página ensina essas ferramentas, com Briot-Ruffini, raízes racionais e multiplicidade, e com questões reais do PAVE e da UFRGS resolvidas.

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1 · VALOR NUMÉRICO E DIVISÃO

Trocar \(x\) por um número já responde metade das perguntas.

Um polinômio é uma soma de termos \(a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\). O grau é o maior expoente com coeficiente não nulo.

Valor numéricoO que responde
\(P(1)\)a soma dos coeficientes
\(P(0)\)o termo independente
\(P(a)\)o resto da divisão de \(P(x)\) por \(x-a\)
\(P(a)=0\)\(a\) é raiz, e \(P(x)\) é divisível por \(x-a\)
Forma fatorada: se as raízes de um polinômio de grau 3 são \(r_1,r_2,r_3\), então \(P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\). Num gráfico, as raízes são os pontos onde a curva corta o eixo \(x\), e o coeficiente \(a\) sai de um outro ponto do gráfico.

Divisão por \(x-a\): Briot-Ruffini

Escreva todos os coeficientes, incluindo os zeros dos termos que faltam. Baixe o primeiro; depois, multiplique por \(a\) e some ao próximo, até o fim. O último número é o resto.

\(x^3-6x^2+11x-6\) dividido por \(x-1\):

11−611−6
1−560

Quociente \(x^2-5x+6\), resto 0. Para dividir por \(x+2\), use \(a=-2\).

PAVE 3 2018 · Questão 11 Média

Divisão por x + 2

Dividindo o polinômio \(P(x) = 5x^5 + 3x^3 - 2x^2 + 192\) por \((x + 2)\), obtém-se:

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Use Briot-Ruffini com a raiz de \(x + 2\), que é \(-2\). Não esqueça os coeficientes zero de \(x^4\) e de \(x\).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o quociente da divisão de \(P(x) = 5x^5 + 3x^3 - 2x^2 + 192\) por \(x + 2\).

  2. ESTRUTURAR

    • Coeficientes completos de \(P\): \(5,\ 0,\ 3,\ -2,\ 0,\ 192\).

    • Raiz do divisor: \(-2\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Aplicar Briot-Ruffini: baixar o primeiro coeficiente, multiplicar por \(-2\) e somar com o próximo, até o fim.

    A armadilha: esquecer os zeros de \(x^4\) e de \(x\). Sem eles, os coeficientes caem no grau errado.

  4. CALCULAR
    \[\begin{array}{c|cccccc} -2 & 5 & 0 & 3 & -2 & 0 & 192 \\ \hline & 5 & -10 & 23 & -48 & 96 & 0 \end{array}\]

    Quociente: \(5x^4 - 10x^3 + 23x^2 - 48x + 96\); resto 0.

  5. CONFERIR

    O resto zero confere com \(P(-2) = -160 - 24 - 8 + 192 = 0\) ✓. Teste em \(x = 1\): \(P(1) = 198\) e \((1 + 2) \cdot (5 - 10 + 23 - 48 + 96) = 3 \cdot 66 = 198\) ✓.

    Por que as outras tentam: B só baixa um grau de cada termo de \(P\), como se dividir por \(x + 2\) fosse dividir por \(x\), e ainda mantém o 192. C, D e E trazem o 96 do fim (que é \(192 \div 2\)), mas erram os outros coeficientes.

Resposta: A

Leve para outras questões: em Briot-Ruffini, escreva todos os coeficientes, com zero nos graus que faltam. O resto é \(P(a)\): calcule-o à parte para conferir.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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UFRGS 2019 · Questão 36 Fácil

A soma dos coeficientes

A soma dos coeficientes do polinômio \(P(x) = \left(1 - x + x^2 - x^3 + x^4\right)^{1000}\) é

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A soma dos coeficientes de qualquer polinômio é o valor dele em \(x = 1\).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: \(P(1)\).

  2. ESTRUTURAR

    \(P(1) = (1 - 1 + 1 - 1 + 1)^{1000}\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Substituir \(x = 1\).

    A armadilha: contar os 5 termos de dentro, ou usar o expoente 1000 como resposta.

  4. CALCULAR
    \[P(1) = (1 - 1 + 1 - 1 + 1)^{1000} = 1^{1000} = 1\]
  5. CONFERIR

    Num caso pequeno: \((1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2\), coeficientes \(1 - 2 + 1 = 0 = (1 - 1)^2\) ✓.

    Por que as outras tentam: B é a quantidade de termos do parêntese, e E é o expoente.

Resposta: A

Leve para outras questões: soma dos coeficientes é \(P(1)\), e o termo independente é \(P(0)\). Nunca expanda uma potência grande.

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2 · RAÍZES E FORMA FATORADA

Escrito como produto de fatores, o polinômio mostra as raízes.

Raiz dupla. Em \(P(x)=(x+1)(x-2)^2\), o fator \(x-2\) aparece duas vezes: 2 é raiz de multiplicidade 2. O grau é 3, então há três raízes contando a repetição: \(-1\), 2 e 2.

No gráfico, raiz de multiplicidade ímpar atravessa o eixo \(x\) (o sinal de \(P\) muda) e raiz de multiplicidade par só encosta (o sinal não muda).

Polinômios idênticos. Dois polinômios são iguais para todo \(x\) quando os coeficientes de mesmo grau são iguais. Se \(ax^2+(b-1)x+3=2x^2+5x+c\), então \(a=2\), \(b=6\) e \(c=3\).

Grau. No produto, os graus se somam. Na soma, o grau é no máximo o maior dos dois, e pode cair se os termos de maior grau se cancelarem.

−1 2 corta só encosta 4
\(P(x)=(x+1)(x-2)^2\): a raiz simples \(-1\) atravessa o eixo; a raiz dupla 2 só encosta e volta.
PAVE 2 2016 · Questão 18 Média

Do gráfico à soma dos coeficientes

A figura abaixo representa o gráfico de um polinômio \(P(x)\) grau três.

Gráfico de um polinômio de grau três que corta o eixo x em −3, 2 e 3 e o eixo y em 36. Uma linha tracejada marca o ponto de abscissa 1 e ordenada 16.

A soma dos coeficientes de \(P(x)\) é

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A soma dos coeficientes de qualquer polinômio é o valor dele em \(x = 1\). O gráfico mostra esse valor?

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: \(P(1)\), que é a soma dos coeficientes.

  2. ESTRUTURAR

    • Raízes: \(-3\), 2 e 3. Logo \(P(x) = a(x + 3)(x - 2)(x - 3)\).

    • O gráfico corta o eixo \(y\) em 36: \(P(0) = 36\).

    • O gráfico marca \(P(1) = 16\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Ler \(P(1)\) no gráfico e conferir com a forma fatorada.

    A armadilha: tomar o 36 (termo independente, \(P(0)\)) como a soma dos coeficientes.

  4. CALCULAR
    \[P(0) = a \cdot 3 \cdot (-2) \cdot (-3) = 18a = 36 \implies a = 2\]
    \[P(1) = 2 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 16\]
  5. CONFERIR

    Expandindo: \(P(x) = 2(x + 3)(x^2 - 5x + 6) = 2x^3 - 4x^2 - 18x + 36\). Soma dos coeficientes: \(2 - 4 - 18 + 36 = 16\) ✓, igual ao valor marcado no gráfico.

    Por que as outras tentam: C (36) é o termo independente, \(P(0)\). A (0) é o valor de \(P\) nas raízes. D e E não saem de \(P\).

Resposta: B

Leve para outras questões: soma dos coeficientes é \(P(1)\), e o termo independente é \(P(0)\). Com o gráfico e as raízes, escreva a forma fatorada e use um ponto conhecido para achar o coeficiente \(a\).

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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UFRGS 2013 · Questão 38 Fácil

As raízes do polinômio do 3º grau

As raízes do polinômio \(p(x) = x^3 + 5x^2 + 4x\) são

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Coloque x em evidência. O que sobra é uma equação do 2º grau.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: fatorar \(p(x)\) e ler as raízes.

  2. ESTRUTURAR

    \(p(x) = x(x^2 + 5x + 4)\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Resolver \(x^2 + 5x + 4 = 0\) por soma e produto.

    A armadilha: trocar os sinais das raízes do trinômio.

  4. CALCULAR

    Dois números com soma −5 e produto 4: −1 e −4.

    \[p(x) = x(x + 1)(x + 4) \ \Rightarrow\ x = 0,\ -1,\ -4\]
  5. CONFERIR

    \(p(-1) = -1 + 5 - 4 = 0\) ✓ e \(p(-4) = -64 + 80 - 16 = 0\) ✓.

    Por que as outras tentam: B, D e E trazem raízes positivas, mas com todos os coeficientes positivos, \(p(1) = 10\) e \(p(4) = 64 + 80 + 16 = 160\) não se anulam.

Resposta: A

Leve para outras questões: se todos os coeficientes de um polinômio são positivos, ele não tem raiz positiva.

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UFRGS 2018 · Questão 36 Fácil

As quatro raízes

As raízes do polinômio \(P(x) = x^4 - 1\) são

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Fatore como diferença de quadrados duas vezes: \(x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: as quatro raízes de \(x^4 = 1\).

  2. ESTRUTURAR
    \[x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Fatorar e zerar cada fator.

    A armadilha: incluir o 0 como raiz. \(P(0) = -1 \ne 0\), o que elimina A e B na hora.

  4. CALCULAR

    \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm1\).

    \(x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm i\).

  5. CONFERIR

    \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\) ✓ e \((-1)^4 = 1\) ✓. Em D, \((1 + i)^2 = 2i\) e \((1 + i)^4 = -4 \ne 1\) ✓.

    Por que as outras tentam: A e B colocam o 0, e não têm 4 raízes; D e E trocam as raízes reais por complexos que não satisfazem a equação.

Resposta: C

Leve para outras questões: um polinômio de grau \(n\) tem \(n\) raízes. Uma alternativa com menos raízes, ou com um número que não zera o polinômio, cai na hora.

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3 · RAÍZES RACIONAIS E RELAÇÕES DE GIRARD

Dá para saber a soma e o produto das raízes sem calcular nenhuma.

Para \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), com raízes \(r_1,r_2,r_3\):

\[r_1+r_2+r_3=-\frac{b}{a}\qquad r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=\frac{c}{a}\qquad r_1r_2r_3=-\frac{d}{a}\]

Os sinais alternam: menos, mais, menos. No 2º grau é o conhecido soma \(=-\frac{b}{a}\) e produto \(=\frac{c}{a}\).

Exemplo: \(x^3-6x^2+11x-6=0\) tem soma 6, soma dos produtos dois a dois 11 e produto 6. As raízes são 1, 2 e 3.

  • RAÍZES COMPLEXAS VÊM EM PARESSe um polinômio de coeficientes reais tem a raiz \(1+i\), então \(1-i\) também é raiz.
  • RAÍZES RACIONAISSe \(\frac{p}{q}\) é raiz de uma equação de coeficientes inteiros, \(p\) divide o termo independente e \(q\) divide o coeficiente do maior grau. Teste só esses candidatos.
  • RAÍZES COMO MEDIDASSe as raízes são as dimensões de uma caixa, Girard dá direto a soma das arestas, a área total (\(2\times\) soma dois a dois) e o volume (produto).

Exemplo de raízes racionais. \(2x^3-3x^2-3x+2=0\). Os candidatos são \(\pm1,\ \pm2,\ \pm\frac12\) (divisores de 2 sobre divisores de 2). Testando, \(x=2\) zera: \(16-12-6+2=0\).

Briot-Ruffini com \(a=2\) dá o quociente \(2x^2+x-1\), cujas raízes são \(\frac12\) e \(-1\). As três raízes: \(2,\ \frac12,\ -1\).

Confira por Girard. Soma: \(2+\frac12-1=\frac32=-\frac{-3}{2}\) ✓. Produto: \(2\cdot\frac12\cdot(-1)=-1=-\frac{2}{2}\) ✓.

Uma raiz abre o caminho. Achou uma raiz de um polinômio de grau 3? Divida por \(x-r\) e sobra uma equação do 2º grau, que se resolve por Bhaskara.
PAVE 2 2013 · Questão 16 Média

Teorema das raízes racionais

Pelo teorema das raízes racionais, se uma equação polinomial

\[a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0 \quad (a_n \neq 0),\]

de coeficientes inteiros, admite uma raiz racional \(p/q\), onde \(p\) é inteiro, \(q\) é inteiro positivo, não nulo, e \(p\) e \(q\) são primos entre si, então \(p\) é divisor de \(a_0\) e \(q\) é divisor de \(a_n\). Sabendo também que a equação

\[6x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0\]

possui duas raízes complexas e uma raiz racional, pode-se dizer que esta última encontra-se no intervalo:

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Os candidatos são \(\frac{p}{q}\) com \(p\) dividindo 1 e \(q\) dividindo 6. Teste \(\frac12\). Ou agrupe: \(6x^3 - 3x^2 = 3x^2(2x - 1)\).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: achar a raiz racional de \(6x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0\) e ver em que intervalo ela cai.

  2. ESTRUTURAR

    • \(a_0 = -1\): \(p \in \{\pm 1\}\).

    • \(a_n = 6\): \(q \in \{1, 2, 3, 6\}\).

    • Candidatas: \(\pm 1, \pm\frac12, \pm\frac13, \pm\frac16\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Testar as candidatas, começando pela que a fatoração sugere, \(\frac12\).

    A armadilha: confundir os papéis e montar \(\frac{q}{p}\) (candidatos \(\pm 6, \pm 3, \pm 2\)). O numerador vem do termo independente e o denominador vem do coeficiente líder.

  4. CALCULAR
    \[6x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 3x^2(2x - 1) + (2x - 1) = (2x - 1)(3x^2 + 1)\]
    \[2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2} = \frac{5}{10}\]

    \(3x^2 + 1 = 0\) dá \(x = \pm\frac{i}{\sqrt3}\), as duas raízes complexas.

  5. CONFERIR

    \(6 \cdot \frac18 - 3 \cdot \frac14 + 2 \cdot \frac12 - 1 = \frac34 - \frac34 + 1 - 1 = 0\) ✓. E \(\frac{4}{10} \leq \frac{5}{10} < \frac{6}{10}\) ✓.

    Por que as outras tentam: B termina em \(\frac{5}{10}\), mas o intervalo é aberto nesse extremo, então não contém \(\frac12\). A contém \(x = 1\), que dá \(6 - 3 + 2 - 1 = 4 \neq 0\). C e E contêm \(-\frac16\) e \(-\frac13\), que também não zeram o polinômio.

Resposta: D

Leve para outras questões: antes de testar todas as candidatas, procure um agrupamento. E, com intervalos semiabertos, confira se o extremo está incluído.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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UFRGS 2016 · Questão 36 Fácil–média

O volume da caixa

Uma caixa com a forma de um paralelepípedo retangular tem as dimensões dadas por \(x\), \(x + 4\) e \(x - 1\).

Se o volume desse paralelepípedo é 12, então as medidas das dimensões da caixa são

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Teste valores inteiros de \(x\) em \(x(x + 4)(x - 1) = 12\), lembrando que \(x - 1 > 0\).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o valor de \(x\) que dá volume 12 e as três dimensões.

  2. ESTRUTURAR
    \[x(x + 4)(x - 1) = 12 \Rightarrow x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0\]
  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Testar divisores de 12 e fatorar.

    A armadilha: escolher uma alternativa só porque o produto dá 12, sem conferir a forma \(x - 1\), \(x\), \(x + 4\).

  4. CALCULAR

    \(x = 2\): \(2 \cdot 6 \cdot 1 = 12\) ✓.

    \[x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)\]

    As outras raízes são negativas. Dimensões: \(x - 1 = 1\), \(x = 2\), \(x + 4 = 6\).

  5. CONFERIR

    \(1 \cdot 2 \cdot 6 = 12\) e as diferenças conferem: \(2 - 1 = 1\) e \(6 - 2 = 4\) ✓.

    Por que as outras tentam: A, C e D também têm produto 12, mas não seguem o padrão \(x - 1\), \(x\), \(x + 4\).

Resposta: B

Leve para outras questões: em alternativas numéricas, confira todas as condições, e não só uma. Agrupar termos ajuda a fatorar: \(x^2(x + 3) - 4(x + 3)\).

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PAVE 2 2015 · Questão 19 Fácil–média

Raízes que são dimensões de uma caixa

A equação \(x^3 - 11x^2 + 38x - 40 = 0\) possui três raízes reais que são as dimensões de um paralelepípedo retângulo. Nessas condições, a superfície total desse paralelepípedo é

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A área total é \(2(ab + bc + ca)\). Pelas relações de Girard, \(ab + bc + ca\) está escrito na própria equação.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: \(2(ab + bc + ca)\), em que \(a\), \(b\) e \(c\) são as raízes da equação.

  2. ESTRUTURAR

    • Soma das raízes: \(a + b + c = 11\).

    • Soma dos produtos dois a dois: \(ab + bc + ca = 38\).

    • Produto: \(abc = 40\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Usar a segunda relação de Girard e dobrar.

    A armadilha: marcar 38 e esquecer que cada face aparece duas vezes no paralelepípedo.

  4. CALCULAR
    \[S = 2(ab + bc + ca) = 2 \cdot 38 = 76\ \text{u.a.}\]
  5. CONFERIR

    Achando as raízes: \(x = 2\) zera a equação (\(8 - 44 + 76 - 40 = 0\)); dividindo, sobra \(x^2 - 9x + 20 = 0\), com raízes 4 e 5. Dimensões 2, 4 e 5: \(2(8 + 20 + 10) = 76\) ✓.

    Por que as outras tentam: E (38) é \(ab + bc + ca\) sem o fator 2. C (40) é o produto \(abc\), o volume. A (11) é a soma das dimensões, e D (22) é o dobro dela.

Resposta: B

Leve para outras questões: com as dimensões dadas como raízes de uma cúbica, use Girard sem resolver a equação: soma das raízes → soma das arestas (vezes 4), soma dos produtos dois a dois → área (vezes 2), produto → volume.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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UFRGS 2023 · Questão 48 Fácil

Soma das raízes

Se \(p = 10\) e \(q\) são as raízes reais da equação \(x^2 - Sx + 20 = 0\), então o valor de \(S\) é

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Em \(x^2 - Sx + P = 0\), o S é a soma das raízes e o 20 é o produto. Use o produto para achar q.

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: a soma das raízes, sabendo uma delas e o produto.

  2. ESTRUTURAR

    • Produto: \(p \cdot q = 20\).

    • Soma: \(p + q = S\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Achar q pelo produto e somar.

    A armadilha: marcar 10, alternativa D. O 10 é a raiz dada, não a soma.

  4. CALCULAR
    \[10 \cdot q = 20 \Rightarrow q = 2 \qquad S = 10 + 2 = 12\]
  5. CONFERIR

    \(x^2 - 12x + 20 = (x - 10)(x - 2)\) ✓. Teste: \(100 - 120 + 20 = 0\) ✓.

Resposta: E

Leve para outras questões: a equação escrita como \(x^2 - Sx + P = 0\) já entrega soma e produto. Com uma raiz e o produto, a outra sai numa divisão.

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4 · ARMADILHAS DE PROVA

Os cinco erros que mais derrubam questão de polinômios.

  1. Esquecer os coeficientes zero no Briot-Ruffini. Termo que falta entra como 0. Veja na questão do PAVE 3.
  2. Responder o número de termos ou o expoente quando a pergunta é a soma dos coeficientes. Veja na questão da UFRGS 2019.
  3. Trocar os sinais das raízes ao passar da forma fatorada para as raízes: o fator \(x+4\) dá a raiz \(-4\). Veja na questão da UFRGS 2013.
  4. Marcar a raiz dada quando a pergunta é a soma das raízes. Veja na questão da UFRGS 2023.
  5. Esquecer a raiz conjugada. Com coeficientes reais, cada raiz complexa traz a sua conjugada. Veja no desafio.
5 · DESAFIO

Duas raízes dadas, quatro raízes usadas.

A questão dá duas raízes de uma equação de grau 4. As outras duas estão escondidas na regra das conjugadas, e o produto das quatro dá o valor pedido. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

PAVE 2 2015 · Questão 16 Média

As raízes conjugadas escondidas

Se os números \(1 + i\) e \(1 - 2i\) são raízes da equação \(x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + m = 0\) onde \(m\) é um número real, então o valor de \(m\) é

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Os coeficientes são reais, então os conjugados \(1 - i\) e \(1 + 2i\) também são raízes. Com as quatro raízes, o termo independente \(m\) é o produto delas (o grau é par e o coeficiente líder é 1).

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  1. INTERPRETAR

    O que a questão quer de verdade: o termo independente \(m\) de um polinômio de grau 4 do qual conhecemos duas raízes complexas.

  2. ESTRUTURAR

    • Raízes: \(1 + i\), \(1 - i\), \(1 - 2i\), \(1 + 2i\).

    • Produto das raízes \(= \frac{m}{1} = m\).

  3. ESCOLHER ESTRATÉGIA

    Agrupar cada raiz com o seu conjugado e multiplicar.

    A armadilha: usar só as duas raízes dadas. Num polinômio de coeficientes reais elas vêm em pares, e o produto precisa das quatro.

  4. CALCULAR
    \[(1 + i)(1 - i) = 1 + 1 = 2 \qquad (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5\]
    \[m = 2 \cdot 5 = 10\]
  5. CONFERIR

    Montando o polinômio: \((x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 5) = x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + 10\). Os coeficientes \(-4\), \(11\) e \(-14\) batem com o enunciado ✓, e \(m = 10\).

    Por que as outras tentam: D (14) copia o coeficiente de \(x\). As outras (16, 8, 20) não saem do produto das raízes.

Resposta: C

Leve para outras questões: raiz complexa em polinômio de coeficientes reais traz o conjugado junto. Cada par \(a \pm bi\) gera o fator \(x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)\); multiplicar os fatores confere o enunciado inteiro.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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6 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

  1. 1

    \(P(x)=2x^3-x+5\). Qual é a soma dos coeficientes? E o resto da divisão por \(x-2\)?

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    Soma: \(P(1)=6\). Resto: \(P(2)=16-2+5=19\).

  2. 2

    Divida \(x^3-6x^2+11x-6\) por \(x-1\).

    Ver resposta

    Briot-Ruffini: 1, −5, 6 e resto 0. Quociente \(x^2-5x+6\).

  3. 3

    Qual é o resto da divisão de \(x^3+x+1\) por \(x+1\)?

    Ver resposta

    \(P(-1)=-1-1+1=-1\).

  4. 4

    Quais são as raízes de \((x-1)(x+3)(2x-1)=0\)?

    Ver resposta

    \(1\), \(-3\) e \(\frac12\).

  5. 5

    Em \(P(x)=(x-3)^2(x+1)\), quantas raízes há contando as repetidas? O gráfico atravessa o eixo em 3?

    Ver resposta

    Três raízes: 3, 3 e \(-1\). Em 3 a raiz é dupla: o gráfico só encosta no eixo.

  6. 6

    Se \(ax^2+bx+3=2x^2-5x+c\) para todo \(x\), quanto valem \(a\), \(b\) e \(c\)?

    Ver resposta

    \(a=2\), \(b=-5\) e \(c=3\).

  7. 7

    Qual é o grau do produto de um polinômio de grau 3 por um de grau 2?

    Ver resposta

    Os graus se somam: 5.

  8. 8

    Quais são os candidatos a raiz racional de \(x^3-2x^2-5x+6\)? Algum deles é raiz?

    Ver resposta

    \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6\). \(x=1\) é raiz: \(1-2-5+6=0\).

  9. 9

    Para \(x^3-2x^2-5x+6=0\), quanto valem a soma e o produto das raízes?

    Ver resposta

    Soma \(=-\frac{-2}{1}=2\). Produto \(=-\frac{6}{1}=-6\).

  10. 10

    Uma equação de coeficientes reais tem a raiz \(2+i\). Qual outra raiz ela tem com certeza?

    Ver resposta

    \(2-i\), o conjugado.

RESUMO PARA REVISAR

Polinômios em seis linhas.

  • \(P(1)\) = soma dos coeficientes; \(P(0)\) = termo independente; \(P(a)\) = resto da divisão por \(x-a\).
  • Briot-Ruffini: escreva todos os coeficientes, inclusive os zeros.
  • Forma fatorada: \(P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots\). O fator \(x-r\) dá a raiz \(r\).
  • Raiz de multiplicidade par só encosta no eixo; ímpar atravessa.
  • Raízes racionais \(\frac{p}{q}\): \(p\) divide o termo independente, \(q\) divide o coeficiente líder.
  • Girard no 3º grau: soma \(-\frac{b}{a}\), dois a dois \(\frac{c}{a}\), produto \(-\frac{d}{a}\).
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