As raízes do polinômio P(x) = x^4 - 1 são
(A)
\{i;\,-i;\,0\}.
(B)
\{1;\,-1;\,0\}.
(C)
\{1;\,-1;\,i;\,-i\}.
(D)
\{i;\,-i;\,1 + i;\,1 - i\}.
(E)
\{i;\,-i;\,-1 + i;\,-1 - i\}.
UFRGS · 2018
Questão 36 — UFRGS 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
As raízes do polinômio P(x) = x^4 - 1 são
Pista
Fatore como diferença de quadrados duas vezes: x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1).
Resolução
O que você precisa saber
- a² − b² = (a − b)(a + b).
- x² + 1 = 0 tem as raízes i e −i.
- Um polinômio de grau 4 tem 4 raízes complexas, contando repetições.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: as quatro raízes de x^4 = 1.
ESTRUTURAR
x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fatorar e zerar cada fator.
A armadilha: incluir o 0 como raiz. P(0) = -1 \ne 0, o que elimina A e B na hora.
CALCULAR
x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm1.
x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm i.
CONFERIR
i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 ✓ e (-1)^4 = 1 ✓. Em D, (1 + i)^2 = 2i e (1 + i)^4 = -4 \ne 1 ✓.
Por que as outras tentam: A e B colocam o 0, e não têm 4 raízes; D e E trocam as raízes reais por complexos que não satisfazem a equação.
Resposta
\{1;\,-1;\,i;\,-i\}.
Alternativa correta
C