Se \log_3 x + \log_9 x = 1, então o valor de x é
UFRGS · 2018
Questão 35 — UFRGS 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Como 9 = 3^2, \log_9 x = \frac{\log_3 x}{2}. Junte os dois termos.
Resolução
O que você precisa saber
- Mudança de base: log de x na base 9 é log de x na base 3 dividido por log de 9 na base 3.
- log₃ 9 = 2.
- Se log₃ x = k, então x = 3 elevado a k.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: resolver uma equação com logaritmos em bases 3 e 9.
ESTRUTURAR
\log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} = 1ESCOLHER ESTRATÉGIA
Passar tudo para a base 3.
A armadilha: trocar a regra e escrever \log_9 x = 2\log_3 x. Isso dá 3\log_3 x = 1 e x = \sqrt[3]{3}, alternativa C.
CALCULAR
\frac32\log_3 x = 1 \Rightarrow \log_3 x = \frac23 \Rightarrow x = 3^{\frac23} = \sqrt[3]{9}CONFERIR
\log_3 3^{\frac23} = \frac23 e \log_9 3^{\frac23} = \log_9 9^{\frac13} = \frac13. Soma: \frac23 + \frac13 = 1 ✓.
Por que as outras tentam: C vem da mudança de base invertida, \log_9 x = 2\log_3 x.
Resposta
\sqrt[3]{9}.
Alternativa correta
E