Números complexos: operações, conjugado, módulo e plano, com questões resolvidas

1 · O NÚMERO \(i\)

O número \(i\) é aquele cujo quadrado vale \(-1\).

\[i^2=-1\]

Todo número complexo se escreve na forma algébrica \(z=a+bi\), com \(a\) e \(b\) reais. O número \(a\) é a parte real e \(b\) é a parte imaginária.

Com \(i\), a raiz quadrada de um número negativo passa a existir: \(\sqrt{-36}=6i\). Por isso uma equação do 2º grau com \(\Delta<0\) tem duas raízes complexas. Em \(x^2-4x+13=0\):

\[\Delta=16-52=-36\]

\[x=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i\]

As potências de \(i\) se repetem de 4 em 4: \(i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i\). Para \(i^n\), use o resto da divisão de \(n\) por 4: \(i^{10}=i^2=-1\).

PAVE 2 2019 · Questão 15 Fácil

Equação do 2º grau com delta negativo

Uma estudante de uma escola estadual na cidade de Pelotas, quando estava resolvendo uma prova de matemática, se deparou com uma equação polinomial do 2º grau, dada por \(x^2 - 2x + 2 = 0\), sem solução no universo dos números reais. Sendo assim, quais foram as raízes complexas encontradas pela estudante?

Ver uma pista

Use Bhaskara normalmente. Quando aparecer \(\sqrt{-4}\), escreva como \(2i\).

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: as duas raízes complexas de \(x^2 - 2x + 2 = 0\).
ESTRUTURAR
• \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 2\).
• \(\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar Bhaskara com \(\sqrt{\Delta}\) imaginária.
A armadilha: trocar o sinal de \(-b\). Com \(b = -2\), \(-b = +2\); quem usa \(-2\) chega a \(-1 \pm i\) (alternativa A).
CALCULAR
\[\Delta = 4 - 8 = -4 \qquad \sqrt{-4} = 2i\]
\[x = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i\]
CONFERIR
Soma das raízes: \((1 + i) + (1 - i) = 2 = -\frac{b}{a}\) ✓. Produto: \((1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2 = \frac{c}{a}\) ✓.
Por que as outras tentam: A erra o sinal de \(-b\) (a soma daria \(-2\)). C divide só a parte imaginária por 2. E junta os dois erros. B ignora o termo \(-2x\): seriam as raízes de \(x^2 + 1 = 0\).

Resposta: D

Leve para outras questões: Δ negativo não trava a conta: \(\sqrt{-k} = i\sqrt{k}\). Confira as raízes pela soma \(-\frac{b}{a}\) e pelo produto \(\frac{c}{a}\), que é mais rápido que substituir.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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Multiplicar por \(i\) é girar

No plano dos complexos, \(1\) fica no eixo real e \(i\) no eixo imaginário. Multiplicar \(1\) por \(i\) leva ao ponto \(i\); multiplicar de novo leva a \(i^2=-1\), do outro lado; depois a \(i^3=-i\), embaixo; e \(i^4=1\) fecha a volta.

Vale para qualquer complexo: \(i\cdot(3+2i)=3i+2i^2=-2+3i\). O ponto \((3,2)\) foi para \((-2,3)\), girado 90° em torno da origem.

Soma de potências seguidas. Quatro potências seguidas de \(i\) somam zero: \(1+i-1-i=0\). Numa soma longa, agrupe de 4 em 4 e sobra só o resto.

Exemplo. \(i^{23}\): 23 dividido por 4 dá resto 3, então \(i^{23}=i^3=-i\). E \(i^{-1}=\frac1i=\frac{i}{i^2}=-i\).

Multiplicar por \(i\) gira o ponto 90° no sentido anti-horário. Quatro giros dão a volta inteira: por isso as potências de \(i\) se repetem de 4 em 4.

2 · OPERAÇÕES E CONJUGADO

Opere como se \(i\) fosse uma letra e troque \(i^2\) por \(-1\).

SOMA
Real com real, imaginária com imaginária.
\((2+3i)+(1-5i)=3-2i\)
PRODUTO
Distributiva e \(i^2=-1\).
\((1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=5+5i\)
CONJUGADO
Troca o sinal da parte imaginária.
\(z=4-7i\Rightarrow\bar z=4+7i\)

Divisão: multiplique pelo conjugado do denominador

O produto de um número pelo seu conjugado é sempre real: \((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\). Por isso, para dividir, multiplica-se em cima e embaixo pelo conjugado de baixo:

\[\frac{5+5i}{1+2i}=\frac{(5+5i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{15-5i}{5}=3-i\]

Igualdade de complexos

Dois complexos são iguais quando as partes reais são iguais e as imaginárias também. Uma equação com \(z\) vira duas equações com números reais:

\[a+bi=8+0i\ \Rightarrow\ a=8\ \text{e}\ b=0\]

PAVE 2 2024 · Questão 19 Fácil

O mês de aniversário do Joaquim

Os alunos de uma turma de segundo ano do Ensino Médio estavam organizando comemorações mensais para os aniversariantes. Todos estavam informando o mês do seu aniversário, mas quando chegou a vez de Joaquim, ele lançou uma “charada” envolvendo o conteúdo que estavam estudando nas aulas de Matemática.

Joaquim disse: “O meu mês de aniversário corresponde à parte real do número complexo resultante do produto de \((3 - i)\) pelo conjugado de \((2 - 2i)\)”.

Em que mês Joaquim faz aniversário?

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Primeiro troque \(2 - 2i\) pelo seu conjugado (mude o sinal da parte imaginária). Depois multiplique e lembre que \(i^2 = -1\).

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a parte real de \((3 - i) \cdot \overline{(2 - 2i)}\), lida como número do mês.
ESTRUTURAR
• \(\overline{2 - 2i} = 2 + 2i\).
• Produto pedido: \((3 - i)(2 + 2i)\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a distributiva e substituir \(i^2\) por \(-1\).
A armadilha: esquecer o conjugado e multiplicar por \(2 - 2i\) mesmo. Aí a parte real dá 4 (abril).
CALCULAR
\[(3 - i)(2 + 2i) = 6 + 6i - 2i - 2i^2 = 6 + 4i + 2 = 8 + 4i\]
A parte real é 8: o mês 8 é agosto.
CONFERIR
Atalho para a parte real de \((a + bi)(c + di)\): \(ac - bd\). Aqui, \(3 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 = 6 + 2 = 8\) ✓.
Por que as outras tentam: D (abril) sai sem o conjugado, já que \((3 - i)(2 - 2i) = 4 - 8i\). O mesmo 4 aparece com o conjugado certo se a pessoa usar \(i^2 = 1\): \(6 - 2 = 4\). As outras alternativas não saem de um erro direto dessa conta.

Resposta: B

Leve para outras questões: em produto de complexos, a parte real é \(ac - bd\) e a imaginária é \(ad + bc\). Faça primeiro o que o enunciado pede sobre cada fator (aqui, o conjugado).

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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UFRGS 2019 · Questão 27 Fácil–média

Quando o produto é real

Dados os números complexos \(z_1 = (2, -1)\) e \(z_2 = (3, x)\), sabe-se que \(z_1 \cdot z_2 \in \mathbf{R}\). Então \(x\) é igual a

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O par \((a, b)\) é o complexo \(a + bi\). Multiplique \((2 - i)(3 + xi)\) e exija parte imaginária zero.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de \(x\) que zera a parte imaginária do produto.
ESTRUTURAR
\(z_1 = 2 - i\) e \(z_2 = 3 + xi\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar, separar parte real e parte imaginária e igualar a imaginária a zero.
A armadilha: zerar a parte real em vez da imaginária. Isso dá \(x = -6\), alternativa A, e o produto fica imaginário puro.
CALCULAR
\[(2 - i)(3 + xi) = 6 + 2xi - 3i - xi^2 = (6 + x) + (2x - 3)i\]
\[2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac32\]
CONFERIR
\((2 - i)\left(3 + \frac32 i\right) = 6 + 3i - 3i + \frac32 = \frac{15}{2}\), real ✓.
Por que as outras tentam: A zera a parte real; B vem de um erro de sinal (\(2x + 3 = 0\)).

Resposta: D

Leve para outras questões: "produto real" pede parte imaginária nula; "imaginário puro" pede parte real nula. Separe as duas antes de igualar.

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PAVE 2 2014 · Questão 18 Fácil

Módulo, conjugado e divisão

Sendo \(z = \sqrt{3} - i\), com \(i = \sqrt{-1} \in \mathbb{C}\), o número \(w = \frac{2|z|}{\bar{z}}\) é igual a

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Calcule \(|z|\) e escreva \(\bar z\). Para dividir por um complexo, multiplique em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o número \(w = \frac{2|z|}{\bar z}\) na forma \(a + bi\).
ESTRUTURAR
• \(|z| = \sqrt{3 + 1} = 2\), então \(2|z| = 4\).
• \(\bar z = \sqrt3 + i\).
• \(w = \frac{4}{\sqrt3 + i}\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar numerador e denominador por \(\sqrt3 - i\), o conjugado de \(\bar z\).
A armadilha: marcar o próprio \(\bar z = \sqrt3 + i\) (A), que aparece no meio da conta.
CALCULAR
\[w = \frac{4}{\sqrt3 + i} \cdot \frac{\sqrt3 - i}{\sqrt3 - i} = \frac{4(\sqrt3 - i)}{3 + 1} = \sqrt3 - i\]
CONFERIR
Atalho: \(\frac{1}{\bar z} = \frac{z}{z\bar z} = \frac{z}{|z|^2}\), então \(w = \frac{2|z| \cdot z}{|z|^2} = \frac{2z}{|z|}\). Como \(|z| = 2\), \(w = z = \sqrt3 - i\) ✓.
Por que as outras tentam: A é \(\bar z\). B, D e E não saem de uma conta correta com esses dados.

Resposta: C

Leve para outras questões: para dividir por um complexo, use o conjugado do denominador. E lembre \(z \cdot \bar z = |z|^2\): isso encurta muitas contas com módulo e conjugado.

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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3 · MÓDULO E PLANO DE ARGAND-GAUSS

Todo complexo é um ponto do plano, e o módulo é a distância até a origem.

O número \(z=a+bi\) corresponde ao ponto \((a,b)\): a parte real no eixo horizontal e a imaginária no vertical.

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\qquad |3+4i|=\sqrt{9+16}=5\]

O argumento \(\theta\) é o ângulo entre o eixo real positivo e o segmento que liga a origem ao ponto, medido no sentido anti-horário. Ele sai da trigonometria: \(\cos\theta=\frac{a}{|z|}\) e \(\operatorname{sen}\theta=\frac{b}{|z|}\).

CONJUGADO NO PLANO\(\bar z\) é o reflexo de \(z\) no eixo real.
ATALHO ÚTIL\(z\cdot\bar z=|z|^2\).

O módulo é a hipotenusa do triângulo de catetos 3 e 4.

PAVE 2 2013 · Questão 18 Média

Equação com módulo e conjugado

Considere a equação

\[|Z|^2 + 2\overline{Z} = 8,\]

onde \(Z\) é um número complexo, \(|Z|\) e \(\overline{Z}\) representam, respectivamente, o módulo e o conjugado do mesmo número. Sendo assim, é correto afirmar que a soma das raízes dessa equação é:

Ver uma pista

Escreva \(Z = a + bi\). Então \(|Z|^2 = a^2 + b^2\) e \(\overline{Z} = a - bi\). Separe parte real e parte imaginária: o lado direito, 8, não tem parte imaginária.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: todos os complexos \(Z\) que satisfazem a equação, e a soma deles.
ESTRUTURAR
• \(Z = a + bi\), com \(a, b\) reais.
• \((a^2 + b^2) + 2(a - bi) = 8 + 0i\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar partes reais e imaginárias.
A armadilha: tratar \(Z\) como número real desde o início, ou marcar só uma raiz (2). Há duas raízes, e a pergunta é a soma delas.
CALCULAR
Parte imaginária: \(-2b = 0 \iff b = 0\).
Parte real: \(a^2 + 2a = 8 \iff a^2 + 2a - 8 = 0 \iff (a + 4)(a - 2) = 0\)
\[Z = 2 \quad \text{ou} \quad Z = -4\]
\[\text{soma} = 2 + (-4) = -2\]
CONFERIR
\(Z = 2\): \(4 + 4 = 8\) ✓. \(Z = -4\): \(16 - 8 = 8\) ✓. Pela soma das raízes de \(a^2 + 2a - 8 = 0\): \(-\frac{2}{1} = -2\) ✓.
Por que as outras tentam: C (2) é uma das raízes, ou a soma com o sinal trocado. B, D e E supõem uma parte imaginária que a equação não permite: como \(b = 0\), as raízes são reais.

Resposta: A

Leve para outras questões: equação com \(|Z|\) e \(\overline{Z}\) se resolve com \(Z = a + bi\) e duas equações reais (parte real e parte imaginária).

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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UFRGS 2024 · Questão 49 Fácil–média

Três afirmações sobre complexos

Considere as seguintes afirmações sobre números complexos.

I. O módulo de \(z = 3 + 4i\) é \(|z| = 5\).

II. Se \(u = 1 + i\) e \(v = 1 - i\), então \(|u \cdot v| = |u| \cdot |v|\).

III. Para que \(w = (x - 3) + (x + 4)i\) seja um número real, é necessário e suficiente que \(x = 3\).

Quais estão corretas?

Ver uma pista

Na III, um complexo é real quando a parte imaginária é zero. Qual é a parte imaginária de \(w\)?

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: conferir três propriedades básicas dos complexos.
ESTRUTURAR
• I: \(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2}\).
• II: \(u \cdot v\) e os módulos de \(u\) e \(v\).
• III: parte real \(x - 3\), parte imaginária \(x + 4\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular a I e a II; na III, zerar a parte certa.
A armadilha: na III, zerar a parte real. Com \(x = 3\), \(w = 7i\), que é imaginário puro, e não real.
CALCULAR
I. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Verdadeira.
II. \(u \cdot v = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2\), então \(|u \cdot v| = 2\). E \(|u| \cdot |v| = \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\). Verdadeira.
III. \(w\) é real quando \(x + 4 = 0\), ou seja, \(x = -4\). Falsa.
CONFERIR
I e II corretas: alternativa C.
Por que as outras tentam: quem zera a parte real na III marca a III como certa e cai em B, D ou E.

Resposta: C

Leve para outras questões: "real" pede parte imaginária zero; "imaginário puro" pede parte real zero (e imaginária diferente de zero). Leia qual dos dois a questão quer.

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Forma trigonométrica: módulo e argumento juntos

Como \(a=|z|\cos\theta\) e \(b=|z|\operatorname{sen}\theta\), todo complexo não nulo também se escreve como

\[z=|z|\,(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)\]

Exemplo. \(z=1+i\): \(|z|=\sqrt2\) e \(\cos\theta=\operatorname{sen}\theta=\frac{\sqrt2}{2}\), então \(\theta=45^\circ\) e \(z=\sqrt2(\cos45^\circ+i\operatorname{sen}45^\circ)\).

Na multiplicação, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Para potências, isso vira a fórmula de De Moivre:

\[z^n=|z|^n\,(\cos n\theta+i\operatorname{sen}n\theta)\]

\((1+i)^8=(\sqrt2)^8(\cos360^\circ+i\operatorname{sen}360^\circ)=16\). Pela forma algébrica seriam oito multiplicações.

Ache o quadrante antes do ângulo. O sinal de \(a\) e de \(b\) diz o quadrante; o valor de \(\cos\theta\) dá o ângulo de referência.

UFRGS 2018 · Questão 28 Fácil–média

Produto, soma e módulo

Considere as seguintes afirmações sobre números complexos.

I) \((2 + i)(2 - i)(1 + i)(1 - i) = 10\).

II) \(\left(\frac72 + \frac13 i\right) + \left(\frac32 + \frac23 i\right) = \frac52 + \frac12 i\).

III) Se o módulo do número complexo \(z\) é 5, então o módulo de \(2z\) é 10.

Quais afirmações estão corretas?

Ver uma pista

Na I, agrupe os conjugados: \((a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\). Na II, some as partes reais e as imaginárias separadamente.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: conferir três contas com complexos.
ESTRUTURAR
- I: dois pares de conjugados.
- II: soma de complexos.
- III: módulo de um múltiplo.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fazer cada conta.
A armadilha: na II, olhar só a parte imaginária, que dá \(\frac13 + \frac23 = 1\), e não conferir a parte real.
CALCULAR
I. \((2 + i)(2 - i) = 4 + 1 = 5\) e \((1 + i)(1 - i) = 2\). Produto: 10. Verdadeira.
II. \(\frac72 + \frac32 = 5\) e \(\frac13 + \frac23 = 1\). A soma é \(5 + i\), e não \(\frac52 + \frac12 i\). Falsa.
III. \(|2z| = 2|z| = 10\). Verdadeira.
CONFERIR
Na II, o valor \(\frac52 + \frac12 i\) é a metade da soma correta \(5 + i\): é a média dos dois números, e não a soma ✓.
Por que as outras tentam: quem confunde soma com média aceita a II e cai em B ou E.

Resposta: D

Leve para outras questões: produto de um complexo pelo conjugado é \(a^2 + b^2\). Procure pares de conjugados antes de multiplicar tudo.

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4 · ARMADILHAS DE PROVA

Os cinco erros que mais derrubam questão de números complexos.

Esquecer que \(i^2=-1\). O termo com \(i^2\) muda de sinal e passa para a parte real. Veja na questão de 2024.
Usar o número em vez do conjugado. Leia se a questão pede \(z\) ou \(\bar z\) antes de multiplicar ou dividir. Veja na questão de 2014.
Zerar a parte errada. Imaginário puro tem a parte real igual a zero. Veja na questão da UFRGS 2024.
Confundir soma com média ao somar complexos. Veja na questão da UFRGS 2018.
Pegar o setor errado. Dois pontos no círculo formam dois arcos; a questão pode pedir o maior. Veja no desafio.

5 · DESAFIO

Módulo, argumento e uma área no plano complexo.

A questão do PAVE 2 2016 marca números complexos no plano e pede a área de um setor circular. É preciso achar o raio pelo módulo e o ângulo pelos argumentos. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

PAVE 2 2016 · Questão 14 Média

Setor circular no plano complexo

Considere os números complexos \(Z_1 = 4\) e \(Z_2 = -2\sqrt{3} - 2i\) e, no plano de Argand Gauss, o disco D com centro na origem O, cuja circunferência passa por \(Z_1\) e \(Z_2\).

A maior área, dentre as áreas dos setores circulares do disco D determinados pelos segmentos \(\overline{OZ_1}\) e \(\overline{OZ_2}\) é

Ver uma pista

O raio do disco é o módulo de \(Z_1\) (e de \(Z_2\)). Depois ache o argumento de \(Z_2\): os dois segmentos dividem o disco em dois setores, um de cada lado.

Ver resolução

INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do maior dos dois setores em que os raios \(OZ_1\) e \(OZ_2\) dividem o disco.
ESTRUTURAR
• \(|Z_1| = 4\); \(|Z_2| = \sqrt{12 + 4} = 4\). O raio é 4 e a área do disco é \(16\pi\).
• \(Z_1\) está no semieixo real positivo: argumento \(0^\circ\).
• \(Z_2\) está no 3º quadrante, com \(\cos\theta = -\frac{\sqrt3}{2}\) e \(\operatorname{sen}\theta = -\frac12\): \(\theta = 210^\circ\).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Os setores têm \(210^\circ\) e \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\). Calcular a área do de \(210^\circ\).
A armadilha: calcular o comprimento do arco (\(\theta \cdot r\)) no lugar da área (\(\frac{\theta r^2}{2}\)).
CALCULAR
\[A = \frac{210^\circ}{360^\circ} \cdot 16\pi = \frac{7}{12} \cdot 16\pi = \frac{28\pi}{3}\]
CONFERIR
O setor menor tem \(\frac{150}{360} \cdot 16\pi = \frac{20\pi}{3}\), e \(\frac{28\pi}{3} + \frac{20\pi}{3} = 16\pi\), a área do disco ✓.
Por que as outras tentam: A (\(\frac{14\pi}{3}\)) é o comprimento do arco maior, \(\frac{7\pi}{6} \cdot 4\), e não a área. As outras (\(\frac{25\pi}{3}\), \(\frac{17\pi}{3}\), \(\frac{22\pi}{3}\)) não correspondem a nenhum dos setores.

Resposta: C

Leve para outras questões: no plano de Argand-Gauss, módulo é raio e argumento é ângulo. Para o argumento, marque o ponto e use o ângulo de referência (aqui, \(30^\circ\) abaixo do semieixo negativo: \(180^\circ + 30^\circ\)).

Sobre a alternativa (F) I.R.: no PAVE, I.R. quer dizer "ignoro a resposta". Uma alternativa marcada errada desconta pontos; o I.R. não soma nem desconta. Marque I.R. quando não tiver como decidir entre as alternativas.

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6 · TREINO RÁPIDO

Dez contas para fixar, com resposta.

Faça no papel antes de abrir a resposta. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Quanto vale \(i^{10}\)?
Ver resposta
10 dividido por 4 deixa resto 2: \(i^{10}=i^2=-1\).
2
Calcule \((2+3i)+(1-5i)\).
Ver resposta
\(3-2i\).
3
Calcule \((1+2i)(3-i)\).
Ver resposta
\(3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i\).
4
Qual é o conjugado de \(4-7i\)?
Ver resposta
\(4+7i\).
5
Qual é o módulo de \(6+8i\)?
Ver resposta
\(\sqrt{36+64}=10\).
6
Calcule \(\dfrac{5+5i}{1+2i}\).
Ver resposta
Multiplique pelo conjugado \(1-2i\): \(\frac{15-5i}{5}=3-i\).
7
Resolva \(x^2+4x+13=0\).
Ver resposta
\(\Delta=-36\): \(x=\frac{-4\pm6i}{2}=-2\pm3i\).
8
Quanto vale \(i^{2025}\)?
Ver resposta
2025 dividido por 4 deixa resto 1: \(i^{2025}=i\).
9
Calcule \((1+i)^2\).
Ver resposta
\(1+2i+i^2=1+2i-1=2i\).
10
Qual é o módulo e o argumento de \(\sqrt3+i\)?
Ver resposta
\(|z|=\sqrt{3+1}=2\). \(\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}\) e \(\operatorname{sen}\theta=\frac12\), então \(\theta=30^\circ\).

RESUMO PARA REVISAR

Números complexos em seis linhas.

\(i^2=-1\), e as potências de \(i\) se repetem de 4 em 4.
\(z=a+bi\): \(a\) é a parte real, \(b\) a imaginária. Dois complexos são iguais quando as duas partes são iguais.
Conjugado \(\bar z=a-bi\); \(z\cdot\bar z=a^2+b^2\).
Divisão: multiplique em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) é a distância até a origem no plano.
\(z=|z|(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)\): no produto, módulos multiplicam e argumentos somam.

Treinar números complexos no Banco Voltar para a trilha de Equações

Quando o delta é negativo, a equação continua tendo raízes.

O número \(i\) é aquele cujo quadrado vale \(-1\).

Multiplicar por \(i\) é girar

Opere como se \(i\) fosse uma letra e troque \(i^2\) por \(-1\).

Divisão: multiplique pelo conjugado do denominador

Igualdade de complexos

Todo complexo é um ponto do plano, e o módulo é a distância até a origem.

Forma trigonométrica: módulo e argumento juntos

Os cinco erros que mais derrubam questão de números complexos.

Módulo, argumento e uma área no plano complexo.

Dez contas para fixar, com resposta.

Números complexos em seis linhas.