Sendo z = \sqrt{3} - i, com i = \sqrt{-1} \in \mathbb{C}, o número w = \frac{2|z|}{\bar{z}} é igual a
PAVE 2 · 2014
Questão 18 — PAVE 2 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule |z| e escreva \bar z. Para dividir por um complexo, multiplique em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.
Resolução
O que você precisa saber
- |a + bi| = √(a² + b²).
- O conjugado de a + bi é a − bi.
- z · z̄ = |z|².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o número w = \frac{2|z|}{\bar z} na forma a + bi.
ESTRUTURAR
• |z| = \sqrt{3 + 1} = 2, então 2|z| = 4.
• \bar z = \sqrt3 + i.
• w = \frac{4}{\sqrt3 + i}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar numerador e denominador por \sqrt3 - i, o conjugado de \bar z.
A armadilha: marcar o próprio \bar z = \sqrt3 + i (A), que aparece no meio da conta.
CALCULAR
w = \frac{4}{\sqrt3 + i} \cdot \frac{\sqrt3 - i}{\sqrt3 - i} = \frac{4(\sqrt3 - i)}{3 + 1} = \sqrt3 - iCONFERIR
Atalho: \frac{1}{\bar z} = \frac{z}{z\bar z} = \frac{z}{|z|^2}, então w = \frac{2|z| \cdot z}{|z|^2} = \frac{2z}{|z|}. Como |z| = 2, w = z = \sqrt3 - i ✓.
Por que as outras tentam: A é \bar z. B, D e E não saem de uma conta correta com esses dados.
Resposta
w = \sqrt{3} - i.
Alternativa correta
C