Sendo E, F, G e H os pontos médios dos lados de um quadrilátero ABCD, com diagonais d e 2d, o perímetro do quadrilátero EFGH é igual a 15 u.c. Nessas condições, o valor de d, em unidades de comprimento, é
PAVE 2 · 2014
Questão 19 — PAVE 2 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Pegue o triângulo ABC: o segmento que liga os pontos médios de AB e BC é paralelo à diagonal AC e mede metade dela. Faça o mesmo com os outros três lados de EFGH.
Resolução
O que você precisa saber
- Base média do triângulo: o segmento que liga os pontos médios de dois lados mede metade do terceiro lado e é paralelo a ele.
- Os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo (teorema de Varignon).
- Cada lado desse paralelogramo mede metade de uma das diagonais do quadrilátero.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de d, sabendo que o quadrilátero dos pontos médios tem perímetro 15.
ESTRUTURAR
• Dois lados de EFGH são bases médias relativas à diagonal d: medem \frac{d}{2} cada.
• Os outros dois são relativos à diagonal 2d: medem d cada.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar os quatro lados de EFGH e igualar a 15.
A armadilha: achar que os lados de EFGH são iguais às diagonais. Eles medem metade delas; em resumo, o perímetro de EFGH é a soma das diagonais.
CALCULAR
2 \cdot \frac{d}{2} + 2 \cdot d = 3d = 15 \iff d = 5CONFERIR
Atalho: perímetro de EFGH = soma das diagonais = d + 2d = 3d ✓. Com d = 5, as diagonais medem 5 e 10, e os lados de EFGH medem 2,5, 5, 2,5 e 5, somando 15 ✓.
Por que as outras tentam: A (3) sai de somar \frac{d}{2} com 2d nos dois pares de lados (5d = 15), dividindo só uma das diagonais por 2. B, C e E não saem dessa figura; as raízes de B e C não aparecem em nenhuma conta com bases médias.
Resposta
d = 5.
Alternativa correta
D