Na figura abaixo, o retângulo ABCD tem lados que medem 6 e 9.
Se a área do paralelogramo sombreado é 6, o cosseno de \alpha é
UFRGS · 2014
Questão 39 — UFRGS 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Tome como base o lado do paralelogramo que está sobre AB. A altura é 6. Quanto mede essa base?
Resolução
O que você precisa saber
- Área do paralelogramo: base vezes altura.
- Com a base sobre AB, a altura é a distância entre AB e DC.
- Cosseno: cateto adjacente sobre hipotenusa.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar onde o lado inclinado do paralelogramo encontra AB, para formar um triângulo retângulo com α.
ESTRUTURAR
Seja E o vértice do paralelogramo sobre AB, com AE = x.
\text{área} = x \cdot 6 = 6 \Rightarrow x = 1ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o triângulo retângulo EBC, com ângulo α em E.
A armadilha: calcular o seno em vez do cosseno.
CALCULAR
EB = 9 - 1 = 8, BC = 6:
EC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\cos\alpha = \frac{EB}{EC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}CONFERIR
\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{36}{100} + \frac{64}{100} = 1 ✓.
Por que as outras tentam: A (\frac{3}{5}) é o seno de α; E (\frac{8}{9}) divide 8 pelo lado 9 do retângulo, e não pela hipotenusa.
Resposta
\frac{4}{5}.
Alternativa correta
D